Что значит ортогональная проекция
Ортогональная проекция
Проекция (лат. projectio — выбрасывание вперёд) — изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости.
Термин проекция также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод.
Принцип
Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Соединив эти точки прямыми линиями в том же порядке, как они соединены в предмете, получим на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.
Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции, а если при этом проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции.
Проекция широко применяется в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии.
Изучением проекций и методов проектирования занимается начертательная геометрия.
В оптике и технике
Проекция, проецирование в оптике и технике — процесс получения изображения на удалённом от оптического прибора экране методом геометрической проекции (кинопроектор, фотоувеличитель, диаскоп и т. п.) или (реже) синтезом изображения (лазерный проектор).
Предназначенный для этого прибор (если не имеет специального названия) называется проектор.
Источники
Полезное
Смотреть что такое «Ортогональная проекция» в других словарях:
ортогональная проекция — Перспективная азимутальная картографическая проекция, получаемая при расположении точки зрения на бесконечно большом расстоянии от центра шара. → Рис. 233, с. 515 Syn.: ортографическая проекция … Словарь по географии
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — (прямоугольная проекция) частный случай параллельной проекции, когда проектирующие лучи перпендикулярны оси проекций или плоскости проекций; используется в графических конструкторских и архитектурных работах … Большая политехническая энциклопедия
ортогональная проекция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN orthogonal projection … Справочник технического переводчика
ортогональная проекция — stačiakampė projekcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal projection; rectangular projection vok. rechteckige Projektion, f; rechtschnittige Projektion, f rus. ортогональная проекция, f; прямоугольная проекция, f pranc.… … Fizikos terminų žodynas
Ортогональная проекция — частный случай параллельной проекции (См. Проекция), когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования … Большая советская энциклопедия
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — см. Проекция … Большой энциклопедический политехнический словарь
ПРОЕКЦИЯ — (от лат. projectio букв. бросание вперед), изображение пространственных фигур на плоскости (или на какой либо другой поверхности). Центральная проекция: из определенной точки О (центра проекции) через все точки данной фигуры проводятся лучи до… … Большой Энциклопедический словарь
Проекция (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция. Проекции Параллельная Прямоугольная (ортогональная) Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая Триметрическая Косоугольная Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая… … Википедия
проекция — и; ж. [от лат. projectio бросание вперёд, вдаль] 1. Матем. Изображение пространственных фигур на плоскости. Картографические проекции. Горизонтальная, вертикальная п. П. пирамиды. Вычертить детали по трём проекциям. 2. Спец. Изображение на экране … Энциклопедический словарь
ПРОЕКЦИЯ — (1) результат (см.) в виде (см.) на плоскости (поверхности) точки, линии, пространственного предмета и др. объектов; (2) один из способов получения в определённом масштабе изображения любого объёмного предмета (объекта) на плоскости.… … Большая политехническая энциклопедия
Ортогональное проецирование
Теоретические свойства построения чертежа в инженерной графике базируются на правилах построения изображений, основанных на методе проекций. Изображение объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования.
Проецирование – это процесс, в результате которого получают изображения, представляющие собой проекции на плоскости.
Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты – точки А, В, проецирующие лучи i и плоскость проекции п’, на которой получается изображение объектов. Процесс проецирования заключается в проведении проецирующих лучей через заданные точки до встречи с плоскостью проекций. Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций и определяет проекцию этой точки. Так, проекцией точки А является точка А’, т. е. [i
A; i ^ п’ = А’]. Проекцией точки В является точка В’, хотя проекция точки В, лежащей в плоскости п’, совпала с самой точкой. Чтобы получить проекцию какой-либо фигуры, необходимо построить проекции ее характерных точек и соединить их на чертеже соответствующими линиями.
В основу построения объекта на плоскости положен метод проекций. Проецирование – это построение объекта на плоскости при помощи проецирующих лучей, исходящих из точки. Плоскость, на которую падают лучи – проецирующая плоскость.
| Способы проецирования | |
| I. Центральное проецирование : проецирующие лучи выходят из одной точки (центра). Размеры предмета на плоскости проекций искажаются (рис.1). | II. Параллельное проецирование : проецирующие лучи параллельны и составляют с плоскостью угол 90 градусов (прямоугольное проецирование или ортогональное рис.2) и угол отличный от 90 градусов (косоугольное проецирование рис.3). |
 |  |
 |
Аппарат проецирования включает в себя:
Пi – плоскость проекций,
S – центр проецирования,
А – объект проецирования (точка),
SA – проецирующую прямую,
Ai – проекцию точки А.
Ортогональное проецирование – это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.
Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.
Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.
Чтобы получить ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, перпендикулярные П1. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся ортогональные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив ортогональные проекции А1 и В1 получим ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ.
Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.
Свойство ортогонального проецирования:
Для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:
Теорема: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Доказательство:
Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.
Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т.е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т.е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.
Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж, дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.
В промышленности весьма широко используются так называемые плоские детали (пластины, уголки, прокладки, решетки, лекала швейного и обувного производств и т. д.), имеющие простую или сложную конфигурацию при незначительной толщине самих деталей (рис 1). Для отображения их на чертеже достаточно построения одной проекции.
Рис. 1. Плоские детали: а — «Пластины»; б — «Уголок», в — «Прокладки»; г — «Решетки»
При прямоугольном проецировании на одну плоскость проекций деталь следует расположить таким образом, чтобы полученное изображение давало наибольшую информацию о ее форме (рис. 2).
Рис. 2. Расположение детали относительно плоскости проекций: а — правильное расположение;
б — неправильное расположение; в — процесс и результат проецирования
Выберем для получения изображения вертикальную (фронтальную) плоскость проекций (К). Перед ней мысленно расположим деталь «Уголок» (рис. 2, в) так, чтобы формообразующая грань стала параллельно плоскости проекций. В результате прямоугольного (ортогонального) проецирования получим изображение детали, на котором грани предмета, параллельные плоскости проекций, отобразятся в натуральную величину. Боковые грани, перпендикулярные плоскости проекций, спроецируются в отрезки прямых. Ребра, параллельные фронтальной плоскости проекций, изобразятся в натуральную величину, а ребра, перпендикулярные ей, в точки.
Цилиндрические отверстия «Уголка» спроецируются в виде окружностей. Полученное изображение называется фронтальной проекцией. Эта проекция содержит основную информацию о форме детали, воспроизводит ее контур, дает представление о высоте и длине, не передавая при этом толщину или ширину.
1.4 Ортогональное проецирование
Как уже было сказано выше ортогональное проецирование — это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.
Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.
Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.
Чтобы получить ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, перпендикулярные П1. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся ортогональные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив ортогональные проекции А1 и В1 получим ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ.
Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.
Свойства ортогонального проецирования:
1. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.
2. Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:
Теорема: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Доказательство:
Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.
Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.
Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.
Более подробно остановимся на изучении прямоугольных проекций и аксонометрическом чертеже.
Ортогональная проекция
Резюме
Чертеж ортогональной проекции
Ортогональная проекция в «элементарной» аффинной геометрии
Плоская геометрия
Ортогональная проекция на линию, расстояние
Простейший пример проекции расположен в обычной плоскости (евклидова аффинная): ортогональная проекция на прямую (D) точки A, отмеченная p (D) (A), является точкой H, принадлежащей (D) такой, что линии (D) и (AH) перпендикулярны :
Выражение «опустить перпендикуляр от A» часто используется для построения H, что можно сделать с помощью линейки и циркуля. Аналитически H можно найти, выполнив скалярное произведение:
Общий случай сразу выводится из случая унитарности. Продемонстрируем последнее. v → <\ displaystyle <\ vec 
B ЧАС → знак равно B ЧАС ¯ v → знак равно ( B ЧАС → ⋅ v → ) v → <\ displaystyle <\ overrightarrow <\ mathrm .
Обратите внимание, что у нас есть
Тогда расстояние AH меньше, чем расстояние AM для других точек M из (D), строго за исключением случаев, когда M = H.
Это расстояние называется расстоянием от точки A до линии (D) и часто обозначается d (A, (D)):
Точка A находится на прямой (D) тогда и только тогда, когда она равна своей проекции
или тогда и только тогда, когда его расстояние до (D) равно нулю:
В аналитической геометрии, если отметить
Ортогональная проекция прямой на другую.
Геометрия в космосе
Ортогональная проекция на линию, расстояние
Ортогональная проекция на плоскость, расстояние
Тогда расстояние AH меньше, чем расстояние AM для других точек M от P, строго за исключением случая, когда M = H. Это расстояние называется расстоянием от точки A до плоскости P и часто обозначается d (A, P):
Ортогональная проекция в доильбертовском векторном пространстве
Ортогональная проекция на векторную линию
Икс знак равно Икс F + Икс ⊥ <\ Displaystyle х = х _ <\ mathrm с участием Икс F знак равно ( Икс ⋅ в ) ‖ в ‖ 2 в <\ displaystyle x _ <\ mathrm
Поэтому всегда можно выполнить ортогональную проекцию на векторную линию.
Транзитивность
Наличие ортогональной проекции
Этот пример поразителен: в то время как линия всегда имеет ортогональное дополнение (более того, уникальное), гиперплоскость вполне может не иметь ортогонального дополнения. В такой ситуации сложно нарисовать убедительную картину!
В более общем плане у нас есть эквивалентность следующих свойств:
Попутно это показывает, что ортогональное дополнение, если оно существует, единственно.
Важный случай существования
Общей чертой двух указанных выше достаточных условий является то, что они влекут за собой полноту F (любое конечномерное подпространство предгильберта является полным, а также любое замкнутое подпространство гильберта). На самом деле этого более слабого предположения достаточно:
Минимизация расстояния
Расстояние вектора х на подпространство F есть по определению нижняя грань расстояний от х до всех векторов F:
Характеристики среди проекторов
По подчиненному стандарту
Затем мы можем сформулировать характеристику:
Будучи помощником
Ортогональное проецирование:
Параллельное проецирование, направление которого перпендикулярно плоскости проекции, называется ортогональным проецированием. Проекция фигуры, образующаяся при ортогональном проецировании, называется ортогональной проекцией, или просто проекцией этой фигуры.
Поскольку ортогональное проецирование является особым видом параллельного проецирования, то для него выполняются все свойства последнего. Ортогональной проекцией прямой 
Отметим, что прямые, перпендикулярные одной из параллельных плоскостей, перпендикулярны и остальным, поэтому ортогональное проецирование на одну из таких плоскостей будет ортогональным и на остальные плоскости. Очевидно, что ортогональные проекции фигуры на параллельные плоскости равны между собой.
Ортогональное проецирование также имеет только ему присущие свойства. Одно из них выражает теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.
Площадь ортогональной проекции
Теорема 5
Площадь ортогональной проекции произвольного многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Как пример многоугольника возьмем 
(рис. 6.41). Проекцией 
на плоскость 
является 
. Проведем высоту 
треугольника 
. По теореме
о трех перпендикулярах 
— высота 
. Угол 
— угол между плоскостью 
и плоскостью проекции. Пусть 
. Тогда
Учитывая, что 
прямоугольный 
, имеем:
. Поэтому
Итак, 
. Теорема доказана.
Чтобы доказать теорему для произвольного многоугольника, его разбивают на треугольники. Тогда для каждого треугольника и его проекции можно записать равенство
где 
поскольку угол между плоскостями этих треугольников и плоскостью их проекций будет один и тот же. Все эти равенства сложим почленно:
Т.е. и для этого случая теорема истинна.
Пример:
Ортогональной проекцией треугольника является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Плоскость треугольника образует с плоскостью проекции угол 60°. Вычислите площадь данного треугольника.
Воспользуемся рисунком 6.41. Известно, что площадь проекции треугольника вычисляют по формуле:
где 
— угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции.
По формуле Герона найдем площадь 
:
где 
— полупериметр треугольника, 
— его стороны. 
Тогда 
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.