Что значит определить знак выражения в алгебре 7 класс

Числовые выражения – как решить задачу (алгебра 7 класс) по вычислению значений числового выражения

Одним из понятий алгебры 7 класса являются числовые выражения. Они используются для решения задач. Что собой представляют числовые выражения и как их использовать?

Определение понятия

Какое выражение является числовым в алгебре? Так обозначают запись, составленную из цифр, скобок и знаков вычитания, умножения, деления, сложения.

Понятие числового выражения допустимо только в том случае, если запись несет смысловую нагрузку. К примеру, запись 4-) не является числовым выражением, так как она бессмысленна.

Примеры числовых выражений:

Характеристики понятия

Числовое выражение имеет несколько свойств, которые используются в решении примеров и задач. Рассмотрим эти свойства подробнее. Для этого возьмем такой пример – 45+21-(6х2).

Значение

Так как числовое выражение содержит знаки различных арифметических действий, их можно выполнить и получить в результате какое-то число. Оно называется значением числового выражения. Как производится вычисление значений числового выражения? Оно соответствует правилам выполнения арифметических действий:

Применим эти правила к нашему примеру.

Итак, число 54 будет являться значением выражения 45+21-(6х2).

Для того, чтобы правильно прочитать числовое выражение нужно определить, какое действие будет являться последним в подсчетах. В выражении 45+21-(6х2) последним действием было вычитание. Соответственно, называть это выражение нужно “разность”. Если бы вместо знака “-” стоял знак “+”, выражение называли бы суммой.

Если у выражения невозможно произвести подсчет значения, его называют не имеющим смысла. Например, смысла не имеет такое выражение: 12:(4-4). В скобках разность равна нулю. А по правилам математики на нуль делить нельзя. Значит, найти значение выражения невозможно.

Равенство

Так называют запись, в которой два числовых выражения разделены знаком “=”. Например, 45+21-(6х2)=66-12. Обе части записи равны числу 54, а значит, они равны друг другу. Такое равенство называют верным.

Если же написать 45+21-(6х2)=35+12, это равенство будет неверным. В левой части равенства значение выражения равно 54, а в правой – 57. эти числа не равны друг другу, значит, и равенство неверное.

Пример задачи

Для того, чтобы лучше понять тему, рассмотрим пример решения задачи. Как решить задачу числовым выражением?

Дано: две машины выезжают из одного пункта в другой. Они поедут по разным дорогам. Одной машине предстоит проехать 35 км., а другой – 42 км. Первая машина едет со скоростью 70 км/ч, а вторая – 84 км/ч Окажутся ли они в конечном пункте в одно и то же время?

Решение: нужно составить два числовых выражения, чтобы найти время в пути у каждой машины. Если они окажутся одинаковыми, значит, машины придут в конечный пункт одновременно. Для того, чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. 35 км:70 км/ч=0,5 ч. 42 км:84 км/ч=0,5 ч.

Итак, обе машины приехали в конечный пункт через полчаса.

Что мы узнали?

Из темы по алгебре, изучаемой в 7 классе, мы узнали, что числовое выражение – это запись из цифр и знаков арифметических действий. С помощью числовых выражений можно решать задачи. Если последним действием в числовом выражении было вычитание, то его называют “разность”. Если вместо знака “-” стоит знак “+”, выражение называется суммой.

Источник

Общие сведения

Многие начинающие математики часто путают два понятия: числовые и алгебраические выражения. Между ними существует разница, которая заключается в определениях. Числовое выражение — вид математического тождества, состоящего только из чисел, скобок и знаков арифметических операций. Например, тождество «5+8/3−4*2» является числовым выражением. Оно означает последовательность математических знаков, объединенных в одну логическую цепочку.

Алгебраическим называется совокупность переменных и числовых выражений, имеющих логическое завершение. Объяснение смысла логики выражения имеет такой вид: совокупность чисел и переменных, связанных между собой арифметическими операциями умножения, деления, сложения и вычитания. Например, выражение «5t-2/3» — алгебраическое, поскольку в нем присутствует переменная «t».

Произведение — вид арифметической операции, позволяющей умножить одну величину на другую. Она состоит из трех основных элементов. К ним относятся: I множитель, II множитель и произведение (результат). Математики утверждают, что для сокращения сложения применяется умножение, то есть 3+3+3+3+3+3=3*6=18. Если рассчитать оба выражения, то они будут равными между собой.

Деление — арифметическая операция, используемая для поиска сомножителей искомого числа. Она состоит из следующих обязательных компонентов: делимого, делителя и частного. Первый элемент — составное значение, второй — один из множителей первого, а частное — результат операции деления.

Сложение — простейшая арифметическая операция, составление которой осуществляется минимум из трех элементов и позволяющая увеличивать искомую величину на определенное значение. Компоненты имеют следующие названия: два слагаемых и результат, который называется суммой.

Вычитание — операция, необходимая для уменьшения искомого числа на заданную величину. Она состоит из трех компонентов: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Первое — числовое значение, от которого отнимается вычитаемое.

Однако у каждой операции есть определенный приоритет.

Приоритет операций

При вычислении математических выражений существует определенный приоритет арифметических операций. Сначала выполняются умножение и деление. Они обладают максимальной величиной приоритета. Иногда для оптимизации вычислений можно выполнять действие над числами или переменными в любой последовательности, то есть пример «2*26/13» можно решить двумя способами:

В первом случае операция займет больше ресурсов: сначала требуется 2 умножить на 26, высчитать результат, а затем его поделить на 13. Это не слишком удобно. Однако для оптимизации вычислений рекомендуется применять второй способ, поскольку особого труда не составляет 26 разделить на 13, а затем результат перемножить с двойкой.

Сложение и вычитание имеют также одинаковый уровень приоритета. Можно сначала для удобства выполнить сложение, а затем вычитание или наоборот. Специалисты рекомендуют руководствоваться важным принципом: вычисления должны быть максимально упрощены. Чтобы задать приоритет какому-либо математическому действию, необходимо взять часть выражения в скобки (сгруппировать). В результате этого первой будет выполняться операция, находящаяся в скобках.

Для примера нужно найти значение выражения: 2*2−2 (3−2)*7/14−25/5. Решать его правильно по такой методике с учетом приоритета:

Если не учитывать приоритет выполнения операций, то найти значение числового выражения можно по такой схеме:

Если сравнить два результата, то они не совпадают. На основании этого можно сделать вывод, что приоритет имеет значение при выполнении вычислений и нарушать его нельзя, поскольку исчезнет логика выражения. Однако не только скобки позволяют установить очередность операций. Существуют некоторые исключения.

Частные случаи или исключения

В алгебре, как и во всех дисциплинах с физико-математическим уклоном, учитывается скорость вычислений. Это существенно влияет на время выполнения какого-либо задания. В некоторых случаях выражение можно упростить, используя формулы сокращенного умножения и выполняя математические преобразования с элементами тождества. Для этих целей рекомендуется пользоваться соответствующими правилами:

Следует отметить, что в первом случае обязательно требуется проверить равенство знаменателя нулевому значению. Для этого следует указать величину переменной, которая не должна превращать знаменатель в 0.

Методика вычисления

Математики разработали специальную методику нахождения значения выражения. Она сводится к разбиению числового выражения на части. Этот подход впервые использовал Пифагор. Суть его состоит в следующем:

Для демонстрации алгоритма необходимо решить пример: 9*7−21 (74/(43+31))/7−64-(27−3*9). Практическая реализация методики имеет следующий вид:

Следует отметить, что этот алгоритм позволяет реализовать принцип «дробления» задания на несколько компонентов. Разбивать тождество можно в произвольном порядке.

Таким образом, для расчета значения числового выражения нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который позволит существенно оптимизировать вычисления.

Источник

Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Пример 1. Значение числового выражения

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Начинаем вычислять по порядку.

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

Исходное выражение принимает вид:

Вычислим значение этого выражения:

Выражения с логарифмами

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

По свойству логарифмов:

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

Пример 14. Значение числового выражения

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

С учетом этого, запишем все выражение:

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Источник

Числовые и буквенные выражения

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Числовые выражения: что это

Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.

Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.

Например:

Это простые числовые выражения.

Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:

Это сложные числовые выражения.

Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».

Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.

11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.

При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:

Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)

Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.

Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.

Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2

14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2

Буквенные выражения

Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.

В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.

Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.

Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.

У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:

Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.

Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).

Выражения с переменными

Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.

Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.

Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.

5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a

Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.

Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.

Задание раз.

Задание два.

Составьте буквенное выражение:

Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.

Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.

Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?

150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.

Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.

Источник

Виды числовых выражений в математике и их преобразование

Числовые выражения — что это такое

Выражения в математике определяют как запись утверждения с помощью чисел, букв алфавитов или переменных и знаков, которые обозначают действия.

Математические выражения бывают:

Маша решает 5 однотипных заданий за час. Сколько заданий может решить Маша за 2 часа?

Чтобы узнать, сколько заданий может решить Маша, нужно 5 заданий умножить на 2 часа усилий. Значит, 10 заданий Маша решит за два часа.

Числовые выражения записываются с помощью чисел.

Числовым выражением называется запись, которою составили с помощью чисел, арифметических знаков и скобок.

Число — это абстрактное выражения количества чего-либо. Не несет определяющей смысловой нагрузки о качественной характеристике объекта или предмета.

К арифметическим знакам относят — плюс, минус, деление, умножение.

Действия выполняются по арифметическим правилам слева направо. Сначала выполняют умножение / деление по порядку. После этого — сложение или вычитание.

Первыми выполняют действия в скобках, если они есть. При этом сохраняются правила «старшинства»: сначала умножение / деление, потом сложение / вычитание.

После выполнения действий в правильном порядке, получают число, которое называют значением числового выражения.

Значением числового выражения называют конечный результат вычисления.

Рассмотрим равенство 3+11=14.

3+11 — пример числового выражения.

Число 14 — значение выражения 3+11.

В случае, если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет числового значения. На нуль делить нельзя. Такие выражения не имеют смысла.

Виды числовых выражений в математике и их преобразование

Преобразование числовых выражений заключается в выполнении действий, которые даны в выражении.

Действия выполняют согласно правилам, применимым в математической науке.

Правила или свойства преобразования выражений:

Порядок действий, сравнение и решение

Чтобы упростить числовое выражение, нужно:

Действуем по алгоритму и получаем:

1 действие — 3456-235 — считаем разность чисел 3456 и 235, записываем, сколько получится в скобках.

3 действие — находим частное двух чисел 45 и 9: 45:9.

4 действие — считаем разность двух чисел 547 и 345 — 547-345.

5 действие — к результату 4 действия прибавляем результат 2 действия.

6 действие — из числа, которое получили в пятом действии, вычитаем результат 3 действия.

7 действие — записываем ответ.

Найдите значение выражения: 4,37+15,4.

Значением данного выражения будет результат суммы чисел 4,37 и 15,4.

Чтобы сложить десятичные дроби, нужно уравнять количество знаков после запятой. В числе 4,37 — два знака после запятой, в 15,4 — один знак. Тогда дописываем нуль в 15,4. Получим дробь 15,40.

Считаем в столбик: записываем числа друг под другом — разряд под разрядом, запятая под запятой.

Числовые выражения можно сравнивать между собой.

Чтобы сравнить числовые выражения между собой:

Сравните выражения: 45+36 и 45-56.

Примеры для 7 класса, таблица

Упростите выражение: 21,97-17,88.

Чтобы найти разность десятичных дробей, нужно:

Уравниваем количество знаков после запятой в двух дробях. Записываем пример в столбик разряд под разрядом, запятая под запятой.

Чтобы умножить десятичную дробь на число, нужно:

При делении двух отрицательных чисел, получаем положительное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на число:

Расставляем порядок действий. Первым действием будет произведение чисел 2,7 и 2. Вторым действием — сумма результата и 1,53.

Выполните действия: 3,73:3-0,75.

Первое действие — частное чисел 3,73 и 3. Находим значение данного выражения — 1,25.

Второе действие — от результата первого действия (1,25) отнимаем 0,75. Получаем 0,5.

Чтобы разделить два смешанных числа, нужно сначала их перевести в неправильные дроби.

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь:

6 2 3 = 6 * 3 + 2 3 = 20 3

2 4 7 = 2 * 7 + 4 7 = 18 7

Записываем деление: 20 3 : 18 7

Чтобы разделить две обыкновенные дроби: первую дробь переписываем и умножаем на обратную второй дроби (перевернутую вторую).

20 3 : 18 7 = 20 * 7 3 * 18 = 10 * 7 3 * 9 = 70 27

Вся цепочка решения: 6 2 3 : 2 4 7 = 6 * 3 + 2 3 : 2 * 7 + 4 7 = 20 3 : 18 7 = 20 * 7 3 * 18 = 10 * 7 3 * 9 = 70 27 = 2 16 27

Запишите в виде выражения:

Источник