Что значит операторы коммутируют

Коммутирующие операторы

В предыдущей главе мы установили, что классические динамические пе-ременные заменяются в квантовой механике на операторы, действующиена волновую функцию. Результатами измерения некой величины А все-гда будут собственные значения соответствующего оператора: А п =Ап п. Если система находится в каком-нибудь собственном состоянии п оператора А, то измерение наверняка дает собственное значение Ап.Если же система находится в каком-то другом состоянии, то измерениеА с определенной вероятностью дает какое-то из собственных значений,причем эта вероятность зависит от волновой функции состояния и, ра-зумеется, от измеряемой величины А.

Пусть система находится в состоянии с определенным значением ве-личины А. Это значит, что ее волновая функция является собственной

Глава 31. Теория атома

функцией оператора А. Может ли другая величина В также иметь опре-деленное значение? Иначе, может ли состояние быть собственным сразуи для оператора А, и для В?

Правило 3 Два оператора А и В имеют общий набор собственных со-стояний тогда и только тогда, когда они коммутируют:

Иначе: если результат последовательного действия двух операторов независит от порядка, то соответствующие величины могут одновременноиметь определенные значения. Рассмотрим пример:

то есть для любой функции

Поскольку эти операторы не коммутируют, то координата и проекцияимпульса на ту же ось не измеримы одновременно. Этот вывод и естьистинный источник соотношения неопределенностей Гейзенберга, физи-ческий смысл которых разобран выше.

Особое значение имеет свойство коммутации операторов с гамильто-нианом, т.е. с оператором полной энергии . Если какой-то оператор коммутирует с , то существует общее собственное состояние, котороестационарно по определению. В стационарном же состоянии система пре-бывает неограниченно долго. Это означает одновременно и сохранениевеличины А. Таким образом, утверждение о сохранении некой величиныэквивалентно тому, что она может иметь определенное значение вместес энергией, т.е. соответствующий ей оператор коммутирует с гамильто-нианом.

Дата добавления: 2016-01-26 ; просмотров: 3199 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Коммутатор операторов

Коммутатором операторов и в алгебре, а также квантовой механике называется оператор . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Содержание

Тождества с коммутатором

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора физической величины на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам , при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) и соответствующей координаты (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

и определения полной производной оператора по времени

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

из классической механики, где <,>— скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

— оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; — дельта Кронекера; — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента:

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины

Некоммутирующими величинами A и B называются величины, коммутатор которых .

Источник

Основные операторы квантовой механики

Оператор координаты

Оператор координаты — просто координата. Его действие на любую функцию заключается в умножении ее на x.

Оператор импульса

Оператор импульса определяется через операторы его проекций. Операторы проекций импульса и координат подчиняются определённым правилам перестановки, которые очень облегчают расчеты с ними.

Проверим, коммутируют ли операторы координаты и импульса:

Операторы импульса и координаты не коммутируют.

Оператор кинетической энергии

Вывод оператора кинетической энергии:

Чтобы построить оператор, нужно записать классическое выражение для этой величины, а затем выразить через импульсы и координаты.

Можем предположить, что операторы импульса и кинетической энергии коммутируют, т.к. порядок дифференцирования не имеет значения.

Однако, т.к. оператор импульса и координаты не коммутируют, то оператор кинетической энергии тоже не коммутирует с оператором координаты.

Оператор потенциальной энергии

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия:

Свойства этого оператора проверяются как для оператора координаты.

Оператор полной энергии системы

Полная энергия представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий.

Линейность и самосопряженность вытекает из линейности и сопряженности составляющих.

О коммутации — сложно сказать. Однако в общем случае Гамильтониан не коммутирует ни с одним оператором:

Источник

Практические занятия по дисциплине Квантовая механика

Практические занятия по дисциплине Квантовая механика

Практическое занятие № 1.

Тема: Операторы в квантовой механике. Коммутационные соотношения

Задача 1. Проверить линейность операторов:

1.

2.

3.

4.

5.

Решение. Чтобы определить является оператор линейным или нет, необходимо проверить удовлетворяет ли он условиям

Проверяя линейность оператора возведения в квадрат , подействуем им на сумму функций ψ и φ:

Таким образом, данный оператор линейным не является.

Все остальные операторы линейны. Действительно,

Задача 2. Показать, что операторы координат коммутируют между собой.

откуда заключаем, что

Задача 3. Показать, что операторы проекций импульса коммутируют

Решение. Рассмотрим, например, операторы . Имеем:

Поскольку смешанные производные равны, то

Задача 4. Найти коммутатор .

Решение. Действуя оператором на функцию ψ, находим:

или

Задача 5. Доказать тождество

Решение. По определению

В правую часть равенства добавим и вычтем оператор . Получим

Практическое занятие № 2.

Тема: Волновая функция. Среднее значение и дисперсия физических величин

Задача 1. Показать, что необходимым и достаточным условием вещественности среднего значения величины F является эрмитовость (самосопряженность) ее оператора

Решение. Докажем сначала достаточность, т. е. докажем вещественность среднего значения F, считая эрмитовым оператором. Пользуясь определениями среднего значения и эрмитова оператора, имеем:

Теперь перейдем к доказательству необходимости. Пусть . Обозначим посредством среднее значение величины F в состоянии ψ, а посредством — среднее значение величины F в состоянии φ, т. е.

Рассмотрим функцию , где λ – произвольное комплексное число, C – константа, позволяющая нормировать функцию Ψ на 1. Среднее значение величины F в состоянии ψ есть

(1)

Перейдем к комплексно-сопряженному выражению для , учитывая, что

Вычитая из данного равенства равенство (1), получаем:

(2)

Следовательно,

Задача 2. Найти связь между средними значениями координаты и импульса двух частиц, волновые функции которых Ψ1 и Ψ2 связаны соотношением

Решение. Среднее значение координаты первой частицы

Учитывая полученное соотношение, найдем среднее значение координаты второй частицы:

Для среднего значения импульса первой частицы имеем:

Тогда среднее значение импульса второй частицы

Практическое занятие № 3.

Тема: Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов

Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z, который в сферических координатах имеет вид

где φ – полярный угол.

Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции в данном случае запишется как

Это дифференциальное уравнение первого порядка, решением которого является функция

где C– некоторая константа. Для того чтобы функция ψ(φ) была однозначной необходимо выполнение условия

Таким образом, спектр оператора дискретный и невырожденный. Константу C находим из условия нормировки:

и, следовательно, собственные функции

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции оператора проекции импульса

Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции имеет вид:

(1)

где C – нормировочная константа. Решение (1) удовлетворяет требованиям однозначности, непрерывности и ограниченности при любом действительном значении px, то есть оператор обладает непрерывным спектром.

Для определения константы C воспользуемся условием :

(2)

Сравнивая данное выражение с (2), находим:

Таким образом, собственными функциями оператора проекции импульса на ось x являются функции

Задача 3. Найти собственные функции оператора координаты

Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции оператора есть

(1)

Здесь посредством r0 обозначены конкретные значения координаты в отличие от переменной r. Видно, что при r0≠r функция ψ(r) должна быть равна нулю, а при r0=r функция ψ(r) не определена. Из (1) следует:

(2)

Под dr в последнем равенстве понимается элемент объема dr = dxdydz. Решение уравнения (2) можно представить в виде

где C – нормировочная константа, которую определяем из условия (спектр оператора координаты очевидно является непрерывным):

откуда следует, что C =1.

Таким образом, собственные функции оператора суть

(3)

Функции (3) являются обобщенными функциями и не принадлежат к классу рассматривавшихся до сих пор классических функций.

Практическое занятие № 4.

Тема: Уравнение Шредингера. Изменение квантовых состояний во времени

Задача 1. Построить гамильтониан атома гелия

В соответствии с гамильтониан атома гелия имеет вид

Задача 2. Доказать, что для средних значений координаты и импульса частицы массы M выполняется соотношение

Решение. Продифференцируем выражение для среднего значения координаты

(1)

(2)

Из следует, что комплексно-сопряженная функция Ψ* удовлетворяет уравнению

(3)

Выражая производные в (2) с помощью и (3), имеем:

(4)

Пользуясь тем, что оператор эрмитов, перепишем (4) в виде

(5)

Используя выражение для гамильтониана и учитывая, что найдем:

(6)

С учетом (6) из (5) получаем:

что и требовалось доказать.

Практическое занятие № 5.

Тема: Одномерное движение. Непрерывный спектр

Задача 1. Найти значения энергии и волновые функции стационарных состояний одномерного свободного движения частицы массы М.

Решение. Поскольку движение свободное, то и из уравнения имеем:

Частные решения этого уравнения можно записать в виде

(1)

Решение соответствует частице, движущейся вправо (ось x считаем направленной вправо), а решение описывает частицу, движущуюся влево. Таким образом, стационарные состояния c энергией E будут двукратно вырождены.

Решения (1) будут однозначными, непрерывными и ограниченными при любых действительных значениях импульса px, а следовательно, и при любых действительных значениях E>0. Это означает, что спектр свободного движения частицы является непрерывным.

С учетом нормировочной константы волновая функция для свободной частицы, движущейся вправо, запишется в виде:

Эта функция также является собственной функции оператора проекции импульса . Данный факт есть следствие возможности одновременного измерения кинетической энергии свободной частицы и ее импульса (операторы коммутируют).

Задача 2. Найти коэффициент отражения частицы, налетающей на “потенциальную ступеньку”

Энергия частицы E0 0) обозначим цифрой II и будем отмечать соответствующие ей решения индексом 2.

Уравнение Шрёдингера для частицы в таком силовом поле имеет вид:

и запишем уравнения Шрёдингера для областей I и II в новых обозначениях:

Решениями данных уравнений являются

Первое слагаемое в волновой функции описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x из −∞ к ступеньке, т. е. слева направо (падающая волна). Аналогично, второе слагаемое описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x в отрицательном направлении (отражённая волна).

Поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в выражении для волновой функции неограниченно возрастает при x →+∞, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент A2 перед этим слагаемым был равен нулю.

В силу того, что потенциальная ступенька имеет конечную высоту, волновая функция на границе раздела областей I и II должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т. е. иметь непрерывную производную. Приравнивание волновых функций и их производных на границе раздела двух областей, в которых волновая функция имеет разный вид, получило название условий сшивания. В данном случае условия сшивания имеют вид

(1)

Таким образом, волновые функции частицы равны:

Найдем плотности потоков вероятности:

Коэффициент отражения примет значение:

Полученный результат означает, что как и в классической механике, частицы со стопроцентной вероятностью отразятся от потенциальной ступеньки. Отличие от классического случая в данной задаче заключается в том, что частица с отличной от нуля вероятностью может оказаться в области II, т. е. под барьером. Действительно, волновая функция , а с ней и плотность вероятности нахождения частицы в области барьера , отличны от нуля и убывают по экспоненциальному закону с возрастанием x. Поэтому хоть отражение и является полным, оно не обязательно происходит на границе раздела областей I и II. С определенной вероятностью частица может проникнуть в область II и затем выйти из нее/

Практическое занятие № 6.

Тема: Частицы в потенциальных ямах

Задача 1. Найти собственные значения энергии и собственные функции частицы, находящейся в потенциальной яме шириной a с бесконечно высокими стенками:

Поскольку нас интересуют только конечные решения, экспонента со знаком плюс в показателе должна быть отброшена. Таким образом, решение уравнения (3) ведет себя при ξ → ±∞ как В связи с этим при произвольном ξ будем искать решение в виде

(4)

Подставляя (4) в (3), получаем:

(5)

где введено обозначение

(6)

Из (6) следует, что собственные значения энергии при этом равны

(7)

Энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантны, т. е. расстояния между любыми соседними уровнями одинаковы и равны

Можно отметить следующие отличия энергетического спектра квантового осциллятора от классического:

1. энергетический спектр квантового осциллятора является дискретным, т. е. в отличие от классического случая частица не может иметь произвольные значения энергии;

2. энергия основного состояния квантового осциллятора отлична от нуля и

равна ;

3. энергия квантового осциллятора в отличие от классического зависит от частоты, а не от амплитуды, которая в квантовой теории вообще не определена.

Собственными функциями уравнения (5) являются полиномы Эрмита, определяемые формулой

В соответствии с (4) собственные функции осциллятора имеют вид:

(8)

где Cn – нормировочные постоянные.

Так как спектр гармонического осциллятора является дискретным, собственные функции ψn должны быть нормированы на единицу, т. е.

Таким образом, волновые функции гармонического осциллятора

Поскольку каждому значению энергии En соответствует только одна волновая функция ψn, то уровни энергии осциллятора являются невырожденными.

Практическое занятие № 8.

Тема: Элементы теории момента импульса

Задача 1. Найти следующие коммутаторы:

Решение. а) Используя правила раскрытия коммутаторов, имеем:

(1)

Второй и третий из четырёх членов в правой части (1) оказываются равными нулю, поскольку оператор координаты и оператор проекции импульса на другую координату коммутируют между собой, а также коммутируют друг с другом операторы проекций импульса.

Найдем теперь значения первого и последнего членов в правой части равенства (1):

(2)

(3)

В равенствах (2) и (3) мы учли, что

Таким образом, окончательно получаем:

(4)

Аналогично получаем для б и в

Это доказывает, что операторы проекций момента импульса на разные координаты не коммутируют друг с другом.

Задача 2. Показать, что каждый из операторов проекций момента импульса коммутирует с оператором квадрата момента импульса.

Решение. Рассмотрим, например, коммутатор

Коммутаторы, стоящие в правой части этого выражения, равны:

Аналогично можно показать, что

Задача 3. Вычислить коммутаторы:

Практическое занятие № 9.

Тема: Стационарная теория возмущений

Задача 1. Найти общий вид поправок к волновой функции и энергии в первом порядке теории возмущений

Решение. Подставляя и в стационарное уравнение Шрёдингера , получим

(1)

Ограничимся в (1) членами, порядок малости которых не превышает первого, т. е. членами, содержащими Тогда из (1) имеем:

Отметим, что члены содержат по два множителя первого порядка малости, являясь, тем самым, членами второго порядка малости, и, следовательно, ими также надо пренебречь. Принимая также во внимание уравнение Шрёдинегра для невозмущенной системы , получим:

(2)

Волновую функцию будем искать в виде разложения по собственным функциям невозмущенного оператора :

(3)

Подставим (3) в (2), умножим полученное равенство на и проинтегрируем по всему пространству. Уравнение (2) в этом случае примет вид:

(4)

Отсюда для m=n получаем:

(5)

представляет собой матричный элемент оператора по невозмущенным волновым функциям (оператор предполагается эрмитовым, т. е. ). Отметим, что равняется среднему значению «возмущения» в состоянии .

Уравнение (4), однако, не позволяет найти коэффициент , и нам придётся определить его из условия нормировки волновой функции :

Здесь штрих у знака суммы означает пропуск слагаемого с m=n или k=n. В силу ортонормированности функций все суммы во втором и третьем членах равны нулю. Отсюда получаем, что

Ограничиваясь первым порядком малости, мы должны пренебречь членом , который является величиной второго порядка малости. Отсюда получаем, что . Таким образом,

Задача 2. Показать, что поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.

Решение. Энергия основного состояния минимальна. Поэтому, если индекс n примет значение, отвечающее основному состоянию, то во всех слагаемых выражения

будет Поэтому, поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.

Практическое занятие № 10.

Тема: Контрольная работа

Текст контрольной работы расположен в папке фонды оценочных средств.

Источник