Что значит однородное уравнение

Однородное уравнение

Смотреть что такое «Однородное уравнение» в других словарях:

однородное уравнение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN homogeneous equation … Справочник технического переводчика

Однородное уравнение — Однородным уравнением n й степени, называется уравнение вида: Такое уравнение после исключения отдельно рассматриваемого случая и деления уравнения на сводится с помощью замены к алгебраическому уравнению … Википедия

Уравнение Коши — Эйлера — В математике ( дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с… … Википедия

Уравнение теплопроводности — Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки. Уравнение теплопроводности важное уравнение в частных производных, которое описывает распространение тепла в заданной… … Википедия

Уравнение Коши — В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному… … Википедия

Уравнение диффузии — Механика сплошных сред … Википедия

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обыкновенное дифференциальное уравнение вида: где искомая функция, её тая производная, фиксированные числа … Википедия

Источник

Что значит однородное уравнение

Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки \(y = ux,\) которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида \[\left( <x + y + > \right)dx + \left( <x + y + > \right)dy = 0\] преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной: \[z = ax + by.\]

Нетрудно заметить, что многочлены \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right),\) соответственно, при \(dx\) и \(dy,\) являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.

Интегрируем последнее выражение: \[\int = 2\int <\frac<>> \;\;\text<или>\;\;u = 2\ln \left| x \right| + C,\] где \(C\) − постоянная интегрирования.

Возвращаясь к старой переменной \(y,\) можно записать: \[y = ux = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right).\] Таким образом, уравнение имеет два решения: \[y = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right),\;\;x = 0.\]

Заметим, что корень \(x = 0\) не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме: \[y’ = \frac\ln \frac = f\left( <\frac> \right).\] Как видно, уравнение является однородным.

Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде: \[ >><>> > = <\frac<<\frac<<>><<>>>><<\frac<><<>> + \frac<<>><<>>>> > = <\frac<<<<\left( <\frac> \right)>^2>>><<\frac + <<\left( <\frac> \right)>^2>>> > = > \right).> \] Сделаем подстановку \(y = ux.\) Тогда \(y’ = u’x + u.\) Подставляя \(y\) и \(y’\) в исходное уравнение, получаем: \[ <\left( > \right)\left( \right) = ,>\;\; <\Rightarrow u\left( \right)\left( \right) = .> \] Разделим обе части уравнения на \(u.\) Заметим, что корень \(x = 0\) не является решением, но можно убедиться, что корень \(u = 0\) (или \(y = 0\)) будет одним из решений данного дифференциального уравнения.

Источник

Как определить однородное уравнение

Дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции одинакового измерения, то есть

Как определить, что дифференциальное уравнение — однородное? На практике проверку уравнения на однородность проводят следующим образом: вместо каждого x подставляют λx, вместо каждого y — λy. При этом y’, dx и dy не трогают. После этого упрощают уравнение. Если после упрощения удается сократить на λ (или n- ю степень λ) и получить исходное уравнение, то это и означает, что данное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка.

Другая форма записи: y’=f(x;y). Это уравнение является однородным, если функция f(x;y) является однородной функцией нулевого порядка. Это означает, что f(λx;λy)=f(x;y).

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:

Выносим лямбда в квадрате за скобки и сокращаем на него:

Пришли к исходному уравнению, а это значит, что данное уравнение — однородное.

2) (x-y)ydx-x²dy=0.

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy: (λx-λy)λydx-(λx)²dy=0. Теперь выносим общий множитель λ² за скобки: λ²((x-y)ydx-x²dy)=0. Делим обе части уравнения на λ²:

(x-y)ydx-x²dy=0. Пришли к исходному уравнению, значит, это уравнение — однородное. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 2й степени).

Наличие дроби y/x уже косвенно указывает на то, что уравнение может быть однородным. Проверим, так ли это:

После сокращения на λ получаем исходное уравнение:

а это значит, что данное уравнение является однородным.

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:

Делим обе части уравнения на лямбда в 4й степени:

Получили исходное уравнение, а значит, оно является однородным. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 4й степени).

Источник

Однородные уравнения (ЕГЭ 2022)

В этой статье ты научишься решать однородные уравнения.

В частности, тригонометрические и показательные.

И это не так сложно, как выглядит!

Потому что алгоритм решения однородных уравнений один и тот же!

Для этого эти уравнения и выделили в одну группу – чтобы было легче решать. По одному алгоритму.

Читай статью, решай примеры и все поймешь!

Однородные уравнения — коротко о главном

Определение однородных уравнений

Однородные уравнения – это уравнения вида \( <_<0>><^>+<_<1>><^>y+<_<2>><^><^<2>>+…+<_>x<^>+<_><^>=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

Алгоритм решения однородных уравнений

Однородные уравнение — подробнее

Что такое однородные уравнения? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида \( <_<0>><^>+<_<1>><^>y+<_<2>><^><^<2>>+…+<_>x<^>+<_><^>=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример №1

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

На первом месте должна идти первая переменная в степени \( n\) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это \( 1\cdot <^<2>>,\ \ k=1,\ \ x=a,\ \ n=2\)

Дальше идет первая переменная в степени \( n-1\) и вторая переменная в первой степени.

Как мы выяснили, \( n=2\), значит здесь степень \( n-1=1\) при первой переменной \( \left( a \right)\) – сходится.

Первая переменная \( \left( a \right)\) в степени \( n-2=0\), и вторая переменная \( \left( b \right)\) в квадрате, с коэффициентом \( \left( 3 \right)\). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные \( (a\) и \( b)\). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

\( 3<^<2>>\) — сумма степеней равна \( 2\).

Как видишь, все сходится! Это однородное уравнение.

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи какие из уравнений — однородные

Однородные уравнения — уравнения под номерами:

Рассмотрим отдельно \( 11\) уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим:

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

Пример №2

Найдите \( \displaystyle \frac\).

Разделим уравнение на \( <^<2>>\).

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна \( 0\). Например, если нас просят найти \( \frac\), то мы сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна \( 0\).

У нас по условию y не может быть равен \( 0\). Поэтому мы можем смело делить на \( <^<2>>\)

Произведя замену \( t=\frac\), мы получим простое квадратное уравнение:

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

Произведя обратную замену, получаем ответ

Ответ: \( 2;5\)

Пример №3

Нужно найти: \( \displaystyle \ \frac.\)

Решение:

Разделим уравнение на \( <^<2>>\) (\( y\ne 0\) по условию).

Произведем замену \( \displaystyle t=\frac\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №4

Здесь нужно не делить, а умножать.

Умножим все уравнение на \( <^<2>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение однородных тригонометрических уравнений

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше.

Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример №5

Решите уравнение \( <<\sin >^<2>>x-3\sin x\cdot \cos x-4<<\cos >^<2>>x=0\).

Мы видим типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на \( <<\cos >^<2>>x\), рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\)

В этом случае уравнение примет вид: \( <<\sin >^<2>>x=0\), значит \( \sin x=0\). Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( <<\cos >^<2>>x+<<\sin >^<2>>x=1\). Поэтому \( \cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №6

Решите уравнение \( 5<<\sin >^<2>>x-2\sin x\cdot \cos x-3<<\cos >^<2>>x=0\).

Как и в примере \( 5\), нужно разделить уравнение на \( <<\cos >^<2>>x\).

Рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\) :

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( <<\cos >^<2>>x+<<\sin >^<2>>x=1\).

Поэтому \( \cos x\ne 0\).

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение однородных показательных уравнений

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №7

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней \( 2x\). Разделим уравнение на \( <<18>^<2x>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №8

Разделим уравнение на \( <<16>^<2x>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №9

На примере этой задачи повторим, что такое однородные уравнения и как их решать.

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на \( <^<2>>\), получим:

То есть, теперь нет отдельных \( a\) и \( b\), – теперь переменной в уравнении является искомая величина \( \frac\). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно \( 2\), а сумма \( 3\) – это числа \( 2\) и \( 1\).

Ответ: \( 1;\text< >2.\)

называется однородным.

То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \( 2\).

Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

И последующей заменой переменных: \( t=\frac\). Таким образом получаем уравнение \( n\) степени с одной неизвестной \( t\):

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

\( \displaystyle \Leftrightarrow\ a<^<2>>+bt+c=0\).

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!

Например, если нас просят найти \( \displaystyle \frac\), сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение \( <<\sin >^<2>>x+3\sin x\cdot \cos x+2<<\cos >^<2>>x=0\).

Пример №10

Видим здесь типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Но, прежде чем разделить на \( <<\cos >^<2>>x\) и получить квадратное уравнение относительно \( \displaystyle \frac<\sin x><\cos x>\), мы должны рассмотреть случай, когда \( \cos x=0\).

Источник

Однородное уравнение

Одноро́дным уравнением n-й степени, называется уравнение вида:

Такое уравнение после исключения отдельно рассматриваемого случая и деления уравнения на сводится с помощью замены к алгебраическому уравнению -ой степени

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Однородное уравнение» в других словарях:

однородное уравнение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN homogeneous equation … Справочник технического переводчика

Однородное уравнение — уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех (или только некоторых) неизвестных на одно и то же произвольное число. Во втором случае уравнение называется однородным по отношению к соответствующим неизвестным. Так,… … Большая советская энциклопедия

Уравнение Коши — Эйлера — В математике ( дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с… … Википедия

Уравнение теплопроводности — Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки. Уравнение теплопроводности важное уравнение в частных производных, которое описывает распространение тепла в заданной… … Википедия

Уравнение Коши — В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши Эйлера (Эйлера Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному… … Википедия

Уравнение диффузии — Механика сплошных сред … Википедия

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обыкновенное дифференциальное уравнение вида: где искомая функция, её тая производная, фиксированные числа … Википедия

Источник