Что значит одночлен в стандартном виде
Одночлен и его стандартный вид
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.
Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.
Стандартный вид одночлена
Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.
Что такое одночлен стандартного вида?
Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).
Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.
Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.
-12a 3 b 2 (-4b 7 )=48a 3 b 9
Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.
Степень одночлена
Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.
Рассмотрим, как найти степень одночлена.
– 113с 3 х 6
У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9. Пример №5.
18ху
У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.
Понятие одночлена. Стандартный вид, коэффициент, степень
Содержание
Одночлен – одно из основополагающих понятий в алгебре. Данный урок поможет вам разобраться с его определением, а также со стандартным видом одночлена, степенью и коэффициентом.
Что такое одночлен
$$-5,5y^<12>\times 84b\times 302$$ То есть, в одночлен могут входить как несколько множителей, так и одно число или переменная.
Таким образом, запомним определение:
Числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также различные виды произведений, составленные из этих переменных, чисел и степеней, называют одночленами.
$$\frac<5^9>
Стандартный вид одночлена
Для удобства математических вычислений одночлен принято приводить к стандартному виду. Разберемся, что это значит.
Стандартный вид одночлена подразумевает его запись с соблюдением нескольких правил:
Коэффициент
Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, который записан в стандартном виде.
Заметим, что после тождественных преобразований можно привести к стандартному виду абсолютно любой одночлен.
Пример
Степень одночлена
Таким образом, запомним:
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, будет сумма показателей степеней всех переменных, которые в него входят.
Одночлены
Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.
Выражения x + 2 или 
не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.
Число 0 называют нулевым одночленом.
Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы — буквенными множителями одночлена.
Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.
Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c:
Числовой множитель: 5.
Стандартный вид одночлена
Стандартный вид одночлена — это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.
А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:
так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.
Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.
Коэффициент одночлена
Коэффициент одночлена — это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.
Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит.
Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.
Пример. В одночлене 
коэффициент означает, что от x 2 берётся 
, потому что 
, а умножить на значит взять от множимого.
Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.
Приведение одночлена к стандартному виду
С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.
Привести одночлен к стандартному виду — значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:
Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:
Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены
Перечень рассматриваемых вопросов:
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).
Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.
Правило приведения одночлена к стандартному виду:
Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:
Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Известное изречение гласит: «Теория без практики – мертва, практика без теории – слепа».
И сегодня мы найдём ту «золотую середину», между теорией и практикой, при дальнейшем изучении одночленов.
Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.
Стандартный вид одночлена – это такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных букв. При этом каждая буква участвует в записи один раз, а все буквы записаны в алфавитном порядке.
Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.
Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).
А одночлены 14ac 5 ax и 3k4k 2 записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, а буквенные множители повторяются.
Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.
Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
12a 2 bc 3 – одночлен 6-й степени.
xy 4 – одночлен 5-й степени
1,2cp 8 – одночлен 9-й степени
Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.
Это одночлены 0 степени.
У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.
Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.
• перемножить все числовые множители;
• поставить полученный коэффициент на первое место;
• получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.
Привести одночлен 4ac(-3)a 2 ck к стандартному виду.
Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы c – она равна двум.
Поставим полученное числовое значение в начало, буквенные множители запишем в алфавитном порядке.
Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.
Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.
Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.
Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:
1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;
2. привести все одночлены к стандартному виду;
3. сложить (вычесть) их коэффициенты;
4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.
Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.
Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.
Сумма подобных одночленов:
Разность подобных одночленов:
Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.
Действия над одночленами.
Усложним задачу. Приведём подобные одночлены:
-(-7)aaa · (bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a
Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.
Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.
Далее рассмотрим букву k, её степень находится как произведение степени 1 и 5, т.е. степень буквы k равна 5. Итак, первый одночлен в стандартном виде выглядит так: 448a 8 b 3 c 6 k 5
Второй одночлен записан в стандартном виде.
А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.
-(-7)aaa · 2(bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a = 448a 8 b 3 c 6 k 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 14a 8 b 3 c 6 k 5 = (448 + 2 – 14)a 8 b 3 c 6 k 5 = 436a 8 b 3 c 6 k 5
Таким образом, мы привели подобные одночлены.
Разбор заданий тренировочного модуля.
№1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах
Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.
Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.
Приведение одночлена к стандартному виду, примеры, решения.
Изучая начальные сведения об одночленах, мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду. В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.
Навигация по странице.
Что значит привести одночлен к стандартному виду?
С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде. Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования. Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.
Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.
Как привести одночлен к стандартному виду?
Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.
Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?
Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду, состоящим из двух шагов:
В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.
Примеры, решения
Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.