Что значит образующая цилиндра

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Цилиндр

Цилиндром ( прямым круговым цилиндром ) называется тело, состоящее из двух кругов ( оснований цилиндра ), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.

Вот другое определение:

Цилиндр — тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.

Цилиндрическая поверхность — поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию — направляющей цилиндрической поверхности.

Боковая поверхность цилиндра — часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.

Основания цилиндра — части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.

Цилиндр называется прямым (См.Рис.1), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным.

Круговой цилиндр — цилиндр, основания которого являются кругами.

Прямой круговой цилиндр ( просто цилиндр ) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1.

Радиус цилиндра – радиус его основания.

Образующая цилиндра — образующая цилиндрической поверхности.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.

Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра. См.Рис.2.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая — многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.

Источник

Цилиндры

Основные определения и свойства цилиндра

Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

Замечание 3. Прямая OO₁ является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO₁ является центром симметрии цилиндра.

Сечения цилиндра

Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра

Для цилиндра с радиусом r и высотой h (рис. 5)

введем следующие обозначения

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Источник

Геометрические тела. Цилиндр.

Цилиндр − это геометрическое тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и 2-мя плоскостями, которые параллельны и пересекают ее.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра.

Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой – направляющей. Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

Прямой цилиндр – это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр.

Круговой цилиндр – цилиндр, основанием которого является круг.

Круглый цилиндр – такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.

Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L, которая равна высоте цилиндра H.

Призма – это частный случай цилиндра.

Формулы нахождения элементов цилиндра.

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра:

Объем прямого кругового цилиндра:

Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием либо кратко скошенный цилиндр определяют с помощью радиуса основания R, минимальной высоты h₁ и максимальной высоты h₂.

Площадь боковой поверхности скошенного цилиндра:

Площадь оснований скошенного цилиндра:

Площадь полной поверхности скошенного цилиндра:

Объем скошенного цилиндра:

Источник

Цилиндр

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости. К телам вращения относятся цилиндр, конус и шар.

Возьмем прямоугольник АВСD. Будем вращать этот прямоугольник против часовой стрелки вокруг стороны АD.

Определение

Объем цилиндра

Доказательство:

Дано: цилиндр с площадью основания S, высотой h и объемом V.

Доказать: V = Sh.

Доказательство:

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Рассмотрим цилиндр с радиусом r и высотой h.

Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из его образующих АD и развернули так, что получился прямоугольник АDА₁D₁, стороны АD и А₁D₁ которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Сторона АА₁ прямоугольника АDА₁D₁ равна длине окружности основания, а сторона АD равна высоте цилиндра, т.е. АА₁ = 2r, АВ = h. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, значит, площадь прямоугольника АDА₁D₁ равна 2rh.

Площадь Sбок боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т.е. Sбок = 2rh.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Содержание:

Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через его сторону (рис. 26). На рисунке 27 показано образование цилиндра при вращении прямоугольника

Образующая цилиндра является его высотой.

Поверхность цилиндра можно развернуть на плоскость, в результате получится прямоугольник, представляющий боковую поверхность цилиндра, и два круга, представляющих его основания. На рисунке 30 показан цилиндр и его развертка.

Теорема 4.

Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания и образующей:

На плоскости важной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание окружности с прямой. Подобной пространственной конфигурацией является сочетание цилиндра с плоскостью.

Если цилиндр пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг, равный основанию (рис. 31), а если плоскостью, перпендикулярной основанию, то — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра (рис. 32). Осевое сечение цилиндра, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру его основания (рис. 33).

Будем двигать плоскость, проходящую через ось цилиндра, параллельно самой себе (рис. 34). При этом две противолежащие стороны прямоугольника-сечения цилиндра, являющиеся хордами оснований, будут уменьшаться, а две другие стороны, которые являются образующими цилиндра, — сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, содержащую образующую цилиндра и не имеющую с ним других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью цилиндра. Любая прямая, проведенная в касательной плоскости цилиндра и отличная от образующей, имеет с цилиндром единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой цилиндра.

Теорема 5.

Если плоскость касается цилиндра по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось цилиндра.

Доказательство:

Пусть плоскость касается цилиндра с осью по образующей (рис. 35). Докажем, что плоскость, содержащая образующую и ось , перпендикулярна плоскости .

Проведем прямую , которая пересекает прямую в точке , прямую в точке и перпендикулярна оси . Через точку проведем плоскость , перпендикулярную образующей . Эта плоскость пересекает цилиндр по кругу, центр которого находится в точке , а плоскость — по прямой , касающейся окружности с центром . Учитывая свойство касательной к окружности, можем утверждать, что прямая перпендикулярна радиусу окружности с центром в точке . Кроме того, поскольку прямая параллельна прямой , то прямая перпендикулярна прямой . Получили, что прямая перпендикулярна как прямой , так и прямой , которые пересекаются и лежат в плоскости . Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости . Но плоскость, содержащая образующую и ось , проходит и через прямую . Поэтому она, по признаку перпендикулярности плоскостей, перпендикулярна плоскости .

Теорема 5 выражает свойство касательной плоскости цилиндра.

Теорема 6.

Плоскость касается цилиндра, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, содержащей эту образующую и ось цилиндра.

Доказательство:

Пусть плоскость содержит образующую цилиндра и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось (рис. 36). Докажем, что плоскость не имеет с цилиндром других общих точек, кроме точек образующей .

Пусть — точка плоскости , не принадлежащая образующей . Через эту точку проведем плоскость , перпендикулярную оси . Она пересечет цилиндр по кругу с центром , образующую в некоторой точке и плоскость по прямой . Поскольку плоскости и обе перпендикулярны плоскости , то их линия пересечения также перпендикулярна плоскости , а потому . Учитывая, что и — соответственно гипотенуза и катет прямоугольного треугольника , получим, что . Значит, точка не принадлежит цилиндру с осью .

Теорема 6 выражает признак касательной плоскости цилиндра.

Если цилиндр описан около призмы, то основания цилиндра описаны около оснований призмы, а боковая поверхность цилиндра содержит боковые ребра призмы.

Подобным образом вводится понятие призмы, описанной около цилиндра, и цилиндра, вписанного в призму (рис. 38). Если призма описана около цилиндра, то ее основания описаны около оснований цилиндра, а боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра.

Теорема 7.

Объем цилиндра равен произведению площади его основания и образующей:

Доказательство:

Пусть имеется цилиндр с осью (рис. 39). В него впишем правильную призму и, кроме того, около него опишем правильную призму . В соответствии с теоремой 3 объем первой призмы равен произведению площади многоугольника и высоты призмы, которая равна боковому ребру , а объем второй — произведению площади многоугольника и той же высоты. Объем самого цилиндра заключен между этими объемами.

Будем количество сторон оснований призмы делать все большим и большим. Тогда объем первой призмы увеличивается, объем второй — уменьшается, а разность между ними стремится к нулю, если количество сторон становится неограниченно большим. То число, к которому приближаются объемы обеих призм, принимается за объем цилиндра.

В описанном процессе высота призмы остается равной боковому ребру, которое равно образующей цилиндра, а площади многоугольников и стремятся к площади круга, лежащего в основании цилиндра. Значит, объем цилиндра равен произведению площади основания и образующей цилиндра:

Поверхность цилиндра

Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют цилиндром (точнее, прямой круговой цилиндр) (рис. 75). При вращении прямоугольника одна его сторона остаётся неподвижной. Её называют осью цилиндра. Поверхность, образованную при вращении противоположной стороны прямоугольника называют цилиндрической поверхностью, а саму сторону образующей цилиндра. Две другие стороны прямоугольника при этом вращении образуют два равных круга, которые называют основаниями цилиндра (рис. 76).

Замечание. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют прямым круговым цилиндром. Более широкое понятие цилиндра вводят следующим образом.

Пусть в пространстве параллельный перенос переводит плоскую фигуру F₁, в фигуру F2. Тело, состоящее из этих фигур и отрезков, соединяющих их соответствующие точки, называют цилиндром (рис. 77).

Если фигура F₁ является кругом, то цилиндр называют круговым цилиндром.

Только прямой круговой цилиндр является телом вращения. В дальнейшем мы будем рассматривать прямые круговые цилиндры, которые для краткости будем называть цилиндрами.

Основания цилиндра являясь равными кругами, лежат на параллельных плоскостях. Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания на другое, называют его высотой.

Расстояние между параллельными плоскостями равно высоте цилиндра. Ось цилиндра также является его высотой.

Образующие цилиндра параллельны и равны. Точно также, длины высоты, оси и образующих цилиндра будут равны между собой.

В частности, осевое сечение также прямоугольник, образованный сечением цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 79.b).

Диагонали осевого сечения цилиндра проходят через точку являющуюся серединой отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. Следовательно, эта точка Q есть центр симметрии цилиндра (рис. 79.с).

Плоскость, проходящая через точку Q перпендикулярно оси цилиндра является его плоскостью симметрии (рис. 80). Любая плоскость, проходящая через ось цилиндра также будет ось симметрии цилиндра (рис. 81).

Пример:

Решение:

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру

основания. Поэтому его площадь равна

Докажите самостоятельно эту теорему пользуясь рисунком 82.

Следствие. Полная поверхность цилиндра равна сумме его боковой поверхности и площадей двух его оснований:

или

Пусть дан произвольный цилиндр. Впишем в одно из его оснований многоугольник (рис. 83). Через вершины многогранника проведём образующие цилиндра , другие концы которых и последовательно соединим отрезками. В результате получим призму . Эту призму называют призмой, вписанной в цилиндр. А цилиндр называют цилиндром, вписанным в призму. Если призма вписана в цилиндр, то основание призмы будет вписано в основание цилиндра и боковые рёбра призмы будут лежать на боковой поверхности цилиндра.

Ясно, что если вокруг основания призмы можно описать окружность, то вокруг призмы можно описать цилиндр.

Аналогично вводятся понятия призмы, описанной вокруг цилиндра и цилиндра, вписанного в призму (рис. 84). Если призма описана вокруг цилиндра, то основание призмы будет описано вокруг основания цилиндра и боковые грани призмы будут касаться боковой поверхности цилиндра.

Ясно, что если в основание призмы можно вписать окружность, то вокруг цилиндра можно описать призму.

Объём цилиндра

Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади его основания и образующей цилиндра:

Будем всё больше и больше увеличивать число n сторон оснований призм. Тогда объём вписанной призмы будет увеличиваться, а объём описанной призмы уменьшаться. Если число n сторон увеличивать неограниченно, то разность между объёмами будет стремится к нулю. Число, к которому приближаются объёмы вписанной и описанной призм, принимают за объём данной призмы. При этом площади многогранников и будут стремиться к площади S круга, лежащего в основании цилиндра. Следовательно,

Исторические сведения:

В произведении Абу Райхна Беруни «Книга о началах искусства астрономии» («Астрономия») как введение в стереометрию в разделе о геометрии приводятся следующие определения фигур:

В произведении Аль Каши «Книга счёта» приведёт много примеров расчета площадей поверхностей и объёмов тел. Благодаря своим глубоким знаниям в математике, геометрии, тригонометрии, механике и астрономии он пользовался вниманием и уважением Улугбека. Аль Каши наряду с многоугольниками изучачл призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, усечённые конусы.

Таблица приближенных значений тригонометрических функций:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник