Что значит обратная теорема
ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА
Том 23. Москва, 2013, стр. 536-537
Скопировать библиографическую ссылку:
ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключение – условием. Обратной к О. т. является исходная (прямая) теорема. Т. о., прямая и О. т. взаимно обратны. Напр., теоремы «если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны» и «если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны» являются обратными друг другу. Из справедливости к.-л. теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Напр., теорема «если число делится на 6, то оно делится и на 3» верна, а О. т. «если число делится на 3, то оно делится и на 6» неверна. Даже если О. т. верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Напр., в евклидовой геометрии верны как теорема «две прямые, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются», так и обратная к ней теорема «две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр». Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме о параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В геометрии Лобачевского вторая теорема просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение первой теоремы, то неверно и её условие. Известный способ «доказательства от противного» как раз представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия ).
Что значит обратная теорема
ТЕМА УРОКА: Обратная теорема
Обратная теорема, теорема, условием которой служит заключение исходной теоремы, а заключением — условие. Обратной к Обратная теорема будет исходная теорема. Таким образом, Обратные теоремы взаимно обратны. Например, теоремы: «если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны» и «если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны» — являются обратными друг другу. Из справедливости какой-нибудь теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема: «если число делится на 6, то оно делится на 3» — верна, а Обратная теорема: «если число делится на 3, то оно делится на 6» — неверна. Даже если Обратная теорема верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Например, в евклидовой геометрии верны как теорема «две прямые на плоскости, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются», так и обратная к ней теорема «две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр». Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В Лобачевского геометрии вторая просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. Обратная теорема равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и её условие. Известный способ «доказательства от противного» как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения.
Что же такое необходимое и достаточное условие.
Необходимые и достаточные условия. Необходимыми условиями правильности утверждения называются такие условия, без соблюдения которых утверждение заведомо не может быть верным, а достаточными условиями правильности утверждения называются условия, при выполнении которых утверждение заведомо верно. Например, необходимым условием делимости целого числа на 2 является то, чтобы число, будучи записано в десятичной системе счисления, не кончалось цифрой 7. Условие это необходимо, но не достаточно, так как, например, число 23 не кончается цифрой 7 и всё-таки не делится на 2. Достаточным условием делимости числа на 2 является то, чтобы оно кончалось цифрой 0. Это условие достаточно, но не необходимо, так как число 38 не кончается цифрой 0 и все-таки делится на 2. Обычно употребляемый признак делимости на 2 (чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра делилась на 2) является примером условия одновременно необходимого и достаточного. Часто выражение «необходимо и достаточно» заменяется выражением «тогда и только тогда» или же выражением «в том и только в том случае».
Необходимые и достаточные условия обладают наибольшей познавательной ценностью. В сложных математических проблемах разыскание удобных для пользования необходимые и достаточные условия бывает иногда чрезвычайно трудным. В таких случаях достаточные условия стараются сделать, возможно, более широкими, т. е. охватывающими возможно большее число случаев, в которых интересующий нас факт всё ещё имеет место, а необходимые условия — возможно более узкими, т. е. охватывающими возможно меньше лишних случаев, в которых изучаемый факт уже не имеет места. Таким образом, достаточные условия постепенно сближаются с необходимыми.
Теперь немного подробней рассмотрим Лобачевского геометрию, о какой мы вспоминали выше.
Лобачевского геометрия, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. В Лобачевского геометрия вместо неё принимается следующая аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Казалось бы, эта аксиома противоречит чрезвычайно привычным представлениям. Тем не менее как эта аксиома, так и вся Лобачевского геометрия имеет вполне реальный смысл.
Рассмотрим реальный примет обратной теоремы с доказательством.
Файл:T.gif Теорема о трех перпендикулярах.
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной.
Файл:T.gif Обратная теореме о трех перпендикулярах.
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
Пусть АВ – перпендикуляр к плоскости «a», АС – наклонная и «с» – прямая в плоскости «a», проходящая через основание наклонной СK. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости «a» (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой «с». Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость «b» (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая «с» перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости «b», это АС по условию и СК по построению, значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой «с», лежащей в плоскости «a».
Еще один вид интерпретации данной теоремы:
Файл:T.gif Теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. 
Аналогично теореме о трех перпендикулярах если прямая с перпендикулярна наклонной CA, то она, будучи перпендикулярна и прямой CA`, перпендикулярна плоскости β, а значит, и проекции наклонной BC. Теорема доказана.
Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют тре-бованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми на-чинается первая книга «Начал».
Такие определения нельзя считать логически конкретными.
Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, грани-ца и т.д.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует.
В-третьих, не-которые его определения туманны и непонятны, например, 4 и 7. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.
Список использованных источников:
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
Обратная теорема
Полезное
Смотреть что такое «Обратная теорема» в других словарях:
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Большой Энциклопедический словарь
обратная теорема — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN converse theorem … Справочник технического переводчика
обратная теорема — теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие. * * * ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Энциклопедический словарь
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием к рой служит заключение теоремы исходной (прямой), а заключением условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема, так что прямая и О. т. взаимно обратны. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е.… … Математическая энциклопедия
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием к рой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Естествознание. Энциклопедический словарь
Теорема Фалеса — Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему. Теорема Фалеса одна из теорем планиметрии. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести… … Википедия
Теорема — (греч. theorema, от theoréo рассматриваю, исследую) предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция), устанавливаемое при помощи Доказательства. Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая… … Большая советская энциклопедия
Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ — воздействие результатов к. л. процесса на его протекание. Если при этом интенсивность процесса возрастает, то О. с. наз. п о л о ж и т е л ь н о й, а в противопол. случае о т р и ц а т е л ь н о й. Отрицат. О. с. может обеспечить автоматич.… … Физическая энциклопедия
обратная предельная теорема — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN converse limit theorem … Справочник технического переводчика
Что значит «обратная теорема»
Энциклопедический словарь, 1998 г.
Большая Советская Энциклопедия
теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением ≈ условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и О. т. взаимно обратны. Например, теоремы: «если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны» и «если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны» ≈ являются обратными друг другу. Из справедливости какой-нибудь теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема: «если число делится на 6, то оно делится на 3» ≈ верна, а О. т.: «если число делится на 3, то оно делится на 6» ≈ неверна. Даже если О. т. верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Например, в евклидовой геометрии верны как теорема «две прямые на плоскости, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются», так и обратная к ней теорема «две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр». Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В Лобачевского геометрии вторая просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и её условие. Известный способ «доказательства от противного» как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия ).
Транслитерация: obratnaya teorema
Задом наперед читается как: амероет яантарбо
Обратная теорема состоит из 15 букв
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА
Смотреть что такое «ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА» в других словарях:
Обратная теорема — теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и О. т. взаимно обратны. Например, теоремы: «если два угла треугольника… … Большая советская энциклопедия
обратная теорема — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN converse theorem … Справочник технического переводчика
обратная теорема — теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие. * * * ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Энциклопедический словарь
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием к рой служит заключение теоремы исходной (прямой), а заключением условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема, так что прямая и О. т. взаимно обратны. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е.… … Математическая энциклопедия
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием к рой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Естествознание. Энциклопедический словарь
Теорема Фалеса — Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему. Теорема Фалеса одна из теорем планиметрии. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести… … Википедия
Теорема — (греч. theorema, от theoréo рассматриваю, исследую) предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция), устанавливаемое при помощи Доказательства. Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая… … Большая советская энциклопедия
Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ — воздействие результатов к. л. процесса на его протекание. Если при этом интенсивность процесса возрастает, то О. с. наз. п о л о ж и т е л ь н о й, а в противопол. случае о т р и ц а т е л ь н о й. Отрицат. О. с. может обеспечить автоматич.… … Физическая энциклопедия
обратная предельная теорема — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN converse limit theorem … Справочник технического переводчика