Что значит объединение промежутков

Числовые промежутки. Пересечение и объединение числовых промежутков.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

School at Kazakh-American University

Пересечение и объединение Урок:

Преподаватель: Минаш А.К Уч.год: 2017 – 2018

1. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ УРОКА.

На рисунках изображены множество чисел х, для которых выполняется неравенство х

Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают А∩В. Промежуток [3;5] является пересечением промежутков [-1;5] и [3;7]. Это можно записать так: [-1;5]∩[3;7]=[3;5].

Промежутки [0;4] и [6;10] не имеют общих элементов. Если множество не имеет общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто. Значит, пересечение промежутков [0;4]∩[6;10]=0.

Объединение числовых промежутков

Каждое число из промежутка [1;7] принадлежит хотя бы одному из промежутков [1;5] и [3;7], то есть, либо промежутку [1;5], либо промежутку [3;7], либо им обоим.

Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, называют объединением этих множеств обозначают AB.

Промежуток [1;7] является объединением промежутков [1;5] и [3;7]. Это можно записать так:

Заметим, что объединение промежутков не всегда представляет собой промежуток, например множество не является промежутком.

1. Числовым промежутком называется множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству.

2. Знак равенства в неравенстве обозначается квадратной скобкой в указании промежутка.

3. Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают А∩В.

2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

v Найдите объединение промежутков [-5; 9] и [7; 12]

v Найдите пересечение отрезков [-3;5] и [-1;9]

v Количество целых решений неравенства: 10

v Найдите разницу наибольшего и наименьшего целых чисел в промежутке [-10;8)

Источник

Интервалы и область определения-2

Если необходимо искать несколько промежутков, то лучше использовать «навесы», чтобы визуально легче найти решение.

Например, здесь у нас есть два промежутка: (1; 4] и (2; 5)

Если нам надо найти пересечение промежутков, т.е. область, которая соответствует и первому и второму промежутку, то мы записываем так (выгнутой буквой П)

(1; 4] (2; 5) ∈ (2; 4]

Видно, что 2 не включена во вторую область, поэтому мы ставим её в круглых скобках, а 4 включено и в первую и вторую, поэтому мы ставим её в квадратных.

Говоря словами: «пересечение промежутков один-четыре и два-пять является область от 2 до 4, не включая 2».

Если мы хотим найти объединение промежутков, то мы используем обрезанное сверху знак похожий на латинскую «U» и на графике берем все точки под всеми навесами:

(1; 4] (2; 5) ∈ (1; 5)

Если возникает такая ситуация:

То пересечений («П») здесь нет:

(-∞; 0) [1; 4) ∈ Ø и мы это обозначаем, как пустое множество Ø.

А если от нас захотят узнать объединение этих промежутков, мы просто запишем в ответе так: (-∞; 0] ​​​​​​​ [1; 4)

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

При правильном ответе Вы получите 2 балла

Какие точки входят в данный интервал: (-4; 2] (1; 5)

Выберите те ответы, которые считаете верными.

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Источник

Нахождение пересечения и объединения числовых множеств.

Решение некоторых математических задач заставляет находить пересечение и объединение числовых множеств. Мы уже познакомились с принятыми обозначениями числовых множеств, а в этой статье мы тщательно и на примерах разберемся с нахождением пересечения и объединения числовых множеств. Эти навыки пригодятся, в частности, в процессе решения неравенств с одной переменной и их систем.

Навигация по странице.

Простейшие случаи

Под простейшими случаями мы будем понимать нахождение пересечения и объединения числовых множеств, являющихся набором отдельных чисел. В этих случаях достаточно использовать определения пересечения и объединения множеств.

объединением двух множеств является множество, каждый элемент которого является элементом какого-либо из исходных множеств, а пересечением множеств называется множество, состоящее из всех общих элементов исходных множеств.

Из данных определений несложно получить следующие правила нахождения пересечения и объединения множеств:

Действительно, полученное по первому правилу множество будет состоять из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств, поэтому будет объединением этих множеств по определению. А множество, составленное по второму правилу, будет содержать все общие элементы исходных множеств, то есть, будет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим на конкретных примерах применение озвученных правил для нахождения пересечения и объединения множеств.

Однако на практике для нахождения пересечения трех, четырех и т.д. простейших числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, удобно использовать правила, схожие с указанными выше правилами.

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Как находится пересечение и объединение посредством изображений числовых множеств

С нахождением пересечения и объединения числовых множеств удобно и наглядно разбираться, отталкиваясь от изображения этих множеств на координатной прямой, если, конечно, речь не идет об элементарных случаях, рассмотренных в первом пункте этой статьи. Дадим общий подход, позволяющий получить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Представим его в виде алгоритма. Озвучивая шаги алгоритма, будем сразу приводить решение следующего примера: «Найдите пересечение и объединение числовых множеств A=(7, +∞) и B=[−3, +∞) ».

На первом шаге исходные числовые множества изображают на координатных прямых. Их располагают друг под другом и считают, что их начала отсчета совпадают, и сохраняется расположение точек друг относительно друга по принципу любая точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой. При этом, если нас интересует объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности, а если пересечение – то фигурной скобкой системы.

В нашем примере имеем записи

и

для пересечения и объединения числовых множеств соответственно.

И остается лишь по очереди проверить вхождение каждого из записанных множеств в искомое пересечение или объединение. Все сделанные выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: если промежуток входит в пересечение или объединение, то над ним изображается штриховка, если точка входит в пересечение или объединение, то обозначающий ее штрих заменяем на сплошную точку, если не входит – то делаем ее выколотой. При этом следует придерживаться следующих правил:

Оно входит в множество B (над этим интервалом есть штриховка), но не входит в множество A (над этим интервалом нет штриховки), поэтому, не будет входить и в пересечение. Следовательно, на нижней координатной прямой ничего не отмечаем:

Интервал (−3, 7) тоже входит в B (есть штриховка над этим интервалом), следовательно, он будет составной частью искомого объединения:

Множество <7>тоже будет входить в искомое объединение, так как оно входит в числовое множество B :

Получив некоторый практический опыт, проверку вхождения отдельных промежутков и чисел в состав пересечения или объединения можно будет проводить устно. Благодаря этому, Вы сможете очень быстро записывать результат. Покажем, как будет выглядеть решение примера, если не давать пояснения.

Найдите пересечение и объединение множеств A=(−∞, −15)∪<−5>∪[0, 7]∪ <12>и B=(−20, −10)∪<−5>∪(2, 3)∪ <17>.

Изобразим данные числовые множества на координатных прямых, это позволит нам получить изображения их пересечения и объединения:

Построим геометрические образы числовых множеств A и B :

Остается лишь обговорить, как находить пересечение и объединение трех и большего количества числовых множеств. Эту задачу можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств: сначала первого со вторым, дальше полученного результата с третьим, дальше полученного результата с четвертым и так далее. А можно использовать алгоритм, аналогичный уже озвученному. Единственное его отличие в том, что проверку вхождения промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел, нужно проводить не по двум, а по всем исходным множествам. Рассмотрим пример нахождения пересечения и объединения трех множеств.

Сначала, как обычно, изображаем числовые множества на координатных прямых, и ставим слева от них фигурную скобку, обозначающую пересечение, и квадратную скобку для объединения, а снизу изображаем координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

В свою очередь искомое объединение будут составлять множества (−∞, −3) (входит в A ), <−3>(входит в A ), (−3, 12) (входит в A ), <12>(входит в A ), (12, 25) (входит в B ), <25>(входит в B ) и <40>(входит в D ). Таким образом, A∪B∪D=(−∞, 25]∪ <40>.

В заключение заметим, что пересечение числовых множеств частенько является пустым множеством. Это отвечает случаям, когда исходные множества не имеют элементов, одновременно принадлежащих всем им.

Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых, и изобразим штрихами граничные точки этих множеств на отдельной прямой.

Источник

Как пересекать промежутки?

Операции над числовыми промежутками.

Операций над промежутками совсем немного. Всего две. Это пересечение и объединение. При решении серьёзных заданий с неравенствами эти две операции над промежутками необходимо проделывать постоянно. В самых разных сочетаниях. По своей сути это очень простые операции. Но, справедливости ради, эти самые операции являются вторым источником досадных ошибок при решении неравенств после тождественных преобразований. Разберёмся?

Пересекать и объединять числовые промежутки, проще всего при помощи числовой оси. Начнём с пересечения, оно хоть и проще в визуальном восприятии, но простора для ошибок даёт больше…

Как пересекать промежутки?

Сама по себе операция пересечения промежутков совсем простая. Тем не менее, именно пересечение промежутков — самая богатая на сюрпризы операция, которая столько людей ушибла! И очень больно ушибла. Но мы-то с вами — люди думающие и осторожные! С сюрпризами разберёмся, да и под ноги смотреть будем.) И не споткнёмся на ровном месте.

Итак, для начала запоминаем:

Пересечением двух числовых промежутков называется их общая часть.

И всё! Смутить могут только слова «общая часть». Всё просто. Общая часть — это те точки (или кусочки оси), которые одновременно входят в каждый из промежутков. Слова «общая часть» и «одновременно» здесь синонимы. Если раз и навсегда разобраться в этих нехитрых словах, то при ответе на любой вопрос о пересечении любых промежутков вы даже не заметите проблем! Намёк понятен?)

Возможно, вы до сих пор в сомнениях, но картинка с числовой осью, наш главный помощник, всё сразу же прояснит! Это только на конкретных примерах показать можно.

Начнём с совсем простенького, безо всяких подводных камней в виде выколотых точек. Допустим, нам надо пересечь два промежутка:

Первым делом рисуем числовую ось, отмечаем все граничные точки правильными кружочками. Они здесь — чёрные:

Вот так. Следующим шагом подштриховываем оба промежутка на одной оси. Чтобы не запутаться, для отличия пользуемся штриховкой с разных сторон оси в разных направлениях. Не нужно ювелирно штриховать по линеечке, мы не на черчении. Штрихуем грубо, брутально, но — разборчиво. Где-то штриховки будут встречаться одна под другой, образуя «ёлочку», но ничего не смущаемся, это — именно то, что нам и нужно! Получим такую картинку:

А теперь смотрим и соображаем: какой кусочек числовой оси подштрихован обоими видами штриховки одновременно? Верно! Кусочек между точками 4 и 6. Или — промежуток [4; 6]. Этот промежуток и будет пересечением промежутков [-2; 6] и [4; +∞). И все дела.)

Математически результат пересечения оформляют вот так:

[-2; 6] ⋂ [4; +∞) = [4; 6]

Значок «⋂» означает «пересечение».

Разбираем следующий пример. Пример совсем безобидный, но ступор у некоторых случается, да…)

Пересечём, например, промежутки:

Рисуем. В этот раз я буду использовать второй способ рисования — дужки. Получим такую картинку:

И опять соображаем: какой кусок оси содержит точки обоих промежутков одновременно?

Не догадались? Тогда снова штрихуем промежутки в разных направлениях, прямо под дужками. И смотрим, где штриховки накладываются:

Ну и как, осенило? Да! Второй промежуток [4; 6] — и есть наше пересечение (т.е. общая часть)! Да, весь целиком. Дело всё в том, что второй промежуток, [4; 6], целиком содержится в первом [-2; +∞). Ничего страшного, так бывает.

В математической форме:

[-2; +∞) ⋂ [4; 6] = [4; 6]

Уловили идею? Ну-ка, быстренько закрепим успех!

Найдите пересечения следующих числовых промежутков:

Ответы (в беспорядке):

Что, примитив? Ну да, проще некуда. А вот сейчас начинаются первые сюрпризы! Я же обещал…)

Сюрприз первый — пустое множество

Попробуем пересечь, скажем, такие два промежутка:

(-∞; 1] ⋂ [2; +∞)

Дело нехитрое. Рисуем ось, точки-кружочки, помечаем дужками каждый промежуток, штрихуем, всё чин-чинарём…

И? Где здесь общая часть? А нигде! Нету такого кусочка оси, который был бы закрашен разными штриховками одновременно. На нет и суда нет. В таких случаях говорят, что данные промежутки не пересекаются.

Математически эта фишка записывается вот как:

(-∞; 1] ⋂ [2; +∞) = Ø

Этот перечёркнутый кружочек означает «пустое множество». Множество, в котором нет ни одного элемента. Ни одного числа… Очень частое явление. Особенно — при решении систем неравенств.

Сюрприз второй — изолированная точка

Всё то же самое, что и в предыдущем примере, только двойку во втором промежутке заменю на единичку. Вот так:

(-∞; 1] ⋂ [1; +∞)

Делать нечего, опять рисуем ось. В этот раз рисуем одну единственную точку 1. Закрашенную.

А здесь какие мысли насчёт пересечения? Да! Единственная общая часть — точка 1. Одна точка. Любая другая точка — правее ли единички, левее ли — попадает лишь в один из пересекаемых промежутков. Либо только в левый, либо только в правый. И только лишь единичка попадает в оба промежутка сразу.

В таких случаях результат пересечения (одна точка) оформляют так:

(-∞; 1] ⋂ [1; +∞) =

Фигурные скобочки в такой записи означают множество. Числовое множество. Единичка внутри фигурных скобок — элемент этого множества. Один-единственный. Или — изолированная точка.

Не следует думать, что пустое множество и изолированная точка –такая уж экзотика при решении неравенств. Такие сюрпризы попадаются в системах неравенств, в методе интервалов, в нахождении области определения функции, в уравнениях/неравенствах с модулем и прочих серьёзных темах. В соответствующих уроках убедимся.)

Кто читает вдумчиво, тот заметил, что слово «множество» я употребил в этом уроке уже не один раз. И это неспроста. Дело в том, что числовые промежутки и операции над ними — это знакомство с ещё одним новым разделом математики, помимо неравенств. Раздел называется «Теория множеств» и работает именно с множествами объектов самой разной природы. Числовыми промежутками, в том числе. Но множества — отдельная большая тема. Не в этот раз…

Полдела сделано. Можно заниматься наскальной живописью. Что-то типа такого:

Несведущий человек отшатнётся в ужасе. А сведущий сразу твёрдой рукой напишет:

(-∞; 1] ⋂ [0; 2] = [0; 1].

Так обычно оформляют пересечение промежутков в большинстве школ. Рисуют ось, штрихуют промежутки, ищут общую часть, да и записывают ответ. Такой способ хорош только в самых простых случаях. Пока точки — чёрные.

Проблемы начинаются с появлением выколотых точек.

Как работать с выколотыми точками?

Как только в игру вступают выколотые (т.е. незакрашенные) точки, вся простота куда-то испаряется напрочь… Особенно, если одна и та же точка в разные промежутки входит по-разному. Где-то она выколота, где-то закрашена… И в каком виде рисовать её на одной оси? Закрашивать её или нет?! Вот и путается народ…

Более того, обратите внимание! Во всех примерах этого урока мы пересекаем лишь два промежутка. Для простоты и понимания сути. А в более продвинутых заданиях (системы неравенств, нахождение ОДЗ и прочие крутые штучки) приходится пересекать и три, и пять… И все с разными кружочками и скобочками… Как не запутаться?

Есть, есть один секретный способ не запутаться! Но о нём — в конце урока.

А пока фиксируем в памяти одну простую вещь:

Операция пересечения — штука жёсткая. Если точка НЕ входит хотя бы в ОДИН из пересекаемых промежутков, то она автоматически НЕ входит и в окончательный результат пересечения.

Поясняю. Если какая-то точка хотя бы в одном из промежутков является выколотой, то нас уже не волнует, что там у неё с остальными промежутками (вторым, третьим, пятым…) — входит она в них или нет: в окончательный ответ такая точка УЖЕ не войдёт. Типа, даже если вы положили в борщ картошку, морковку, свёклу, лук, но в конце посолили стиральным порошком, кушать такой борщ вы уже не будете, да…) Уловили?

Разберём ценные зелёные слова на практике. Был у нас в самом начале урока примерчик:

[-2; 6] ⋂ [4; +∞)

А теперь я немного видоизменю в нём один из промежутков. Сделаю во втором промежутке точку 4 выколотой. Т.е. скобочка перед четвёркой станет круглой. Вот такое пересечение теперь рассмотрим:

[-2; 6] ⋂ (4; +∞)

Рисуем, штрихуем, получаем картинку:

Ищем общую часть, записываем ответ:

[-2; 6] ⋂ (4; +∞) = (4; 6]

Кто в теме и врубился в слова «общая часть» и «одновременно», тот сразу всё понял. А кто не в теме, то… начинаем рассуждать. Примерно так:

А шестёрка? Тут без вопросов: в первый промежуток число 6 попадает на границу, но в закрашенном виде, а во второй (4; +∞) входит явно. Входит одновременно в оба? Да! Рисуем квадратную скобку: …6].

Итого: (4; 6].«

Вот так. Я же говорил, что ключевое слово здесь — одновременно!

Здесь-то ещё просто. А бывает куда злее! Когда неясно, как даже рисовать картинку-то… Например:

(-∞; 1) ⋂ [1; +∞)

Всё как обычно, рисуем прямую и отмечаем одну единственную граничную точку 1.

И… что-то не рисуется… В первом промежутке единичка с круглой скобкой, во втором — с квадратной. А ось — одна… Каким именно кружочком — пустым или закрашенным — рисовать единицу на оси? Непонятно…

Непонятно, если не понимать сути операции пересечения. А если понимать, то проблем — никаких. Наша граничная точка 1 в первый промежуток (-∞; 1) не входит. Выколота. Стало быть, при пересечении нам уже без разницы, закрашена ли единица во втором промежутке [1; +∞): в окончательный ответ она УЖЕ не войдёт!

Вывод: на оси точка 1 изображается выколотой. Т.е. незакрашенной.

Штриховки нигде не накладываются, а единственная разделяющая точка 1 — выколота. Ответ очевиден — пустое множество:

(-∞; 1) ⋂ [1; +∞) = Ø

Обычно именно так и поступают со всеми подозрительными точками. Берут конкретную точку, поочерёдно подставляют её в каждый из промежутков, анализируют, входит/не входит, и если хоть куда-то не входит — вычёркивают отовсюду. Так рисуются все белые точки. Потом собирают все точки, которые входят одновременно во все промежутки. И рисуют чёрными… И только потом рисуют окончательную картинку… Кошмар? Согласен, кошмар. Когда ось только одна, а точек разной раскраски — много.

Поэтому сейчас мы отдохнём от писанины и тягостных раздумий. А вместо этого — порисуем. Рисовать будем много, но зато результат окупится с лихвой. А количество ошибок резко сократится.)

Обещанный секретный способ!

Пересекаем промежутки без ошибок! Метод параллельных осей.

Итак, снова пересекаем те же самые промежутки: [-2; 6] ⋂ (4; +∞).

Сейчас берём в руки карандаш и рисуем… три параллельные оси! Всё правильно, именно три, я не обсчитался. На первых двух осях отдельно рисуем и штрихуем те промежутки, которые будем пересекать. Т.е. [-2; 6] и (4; +∞). На каждой из осей — свой. Соблюдаем одинаковый масштаб по всем трём осям! Это важно. Зачем нужна третья ось? Сейчас узнаем.) Получим такую картинку:

Представили? Вот так:

А нужны они нам — эти кружочки-то?! Ещё как! Самый ответственный, третий этап — рисуем нужные кружочки на третьей оси. Для этого рассуждаем так же, как и при прикидке в уме: если на первых двух осях обе точки чёрные, то и на третьей оси точка также чёрная. Если же хоть одна из двух точек выколота — на третьей оси точка также выколота!

Картинка станет вот такой:

Остались пустяки. Четвёртым этапом штрихуем на третьей прямой тот её кусочек, который заштрихован на первых двух прямых одновременно. Вот так:

Ответ: (4; 6]

Решаем тот самый злой пример с единичкой и пустым множеством: (-∞; 1) ⋂ [1; +∞)

Рисуем картинку с тремя осями и сразу видим всю необходимую информацию:

Безо всяких сомнений ясно, что единичка — выколота, а штриховать на третьей оси и вовсе нечего…

Ответ: Ø

Переходим к следующей важной операции — к объединению промежутков. В следующем уроке…

Источник