Что значит немонотонная функция

Общие сведения

Функцией вида р = f(r) называется зависимость ее значения от переменной величины «r» или аргумента. Функциональные тождества бывают простыми и сложными. К первым относится класс выражений, состоящих из одной переменной простого типа. Во втором случае содержится несколько аргументов или аргумент является также функцией, т. е. подчиняется определенному закону.

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной. Пусть дана функция р = f(r). Она дифференцируема на некотором интервале (а;b), является возрастающей или убывающей, когда справедливы равенства f(r1) = f(r2) соответственно. Кроме того, нужно учитывать, что r1 =» следует заменить на строгий « »: f(r1) f(r2) соответственно. Вышеописанные понятия можно записать математическим способом, который считается более компактным:

Следует отметить, что промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых она возрастает или убывает. После определений необходимо рассмотреть основные теоремы, позволяющие использовать соотношения для решения различных задач.

Теорема о пределе

Теорема о пределе монотонной функции применяется для решения задач по высшей математике с использованием пределов. Ее формулировка следующая: если функция вида р = f(r) является дифференцируемой и монотонной на интервале (а;b), то в точке r0, принадлежащей заданному интервалу, она имеет конечные пределы с левой и правой стороны, а в точках r0 = a и r0 = b у нее существуют правосторонние и левосторонние границы.

Чтобы понять математические обозначения sup и inf, необходимо представить множество значений функции. Первый термин обозначает максимальное значение сверху, а второй — минимальное снизу.

Критерии возрастания и убывания

Существуют определенные признаки, по которым можно определить монотонность функции p = f(r) на некотором интервале (а;b). Для этого в математике есть еще три теоремы:

Первая теорема имеет такую формулировку: дифференцируемая функция p = f(r) на интервале (а;b) является убывающей, когда выполняется неравенство f'(r) = 0 соответственно (при r ∈ данному интервалу).

Формулировка следующего утверждения только для строго возрастающей монотонной функции. В первом случае должно выполняться не одно, а два условия: f'(r) > 0 и f'(r) тождественно не эквивалентна нулю на промежутке в любой точке, принадлежащей интервалу. Для строго убывающей условия немного отличаются от предыдущих: f'(r) 0.

Основные свойства

Для функций на интервале (а;b) существуют некоторые утверждения, позволяющие исследовать составные выражения, а также решать различные задачи. К свойствам монотонных функций относятся следующие:

После изучения теорем и основных свойств нужно определить минимум базовых знаний, которые необходимы для исследования на монотонность любого выражения. Кроме того, следует знать графики некоторых функций. Для их построения можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и программы, позволяющие выделять результаты разными цветами.

Базовые знания

Для исследования функции на монотонность специалисты рекомендуют руководствоваться некоторыми правилами, которые объединяются в универсальный алгоритм. Он является достаточным для выполнения такого задания и имеет следующий вид:

Последний пункт следует реализовывать при помощи таблицы. Необходимо строго придерживаться алгоритма, поскольку неверные действия способны существенно повлиять на результат.

Нахождение производной

Для поиска производной необходимо выполнить такие шаги: вынести константу, упростить выражение и воспользоваться таблицей дифференциалов элементарных функций (рис. 1). Первые два элемента считаются подготовительными, поскольку позволяют оптимизировать процесс вычисления. Для упрощения следует применять формулы сокращенного умножения, свойства дробей, разложение на множители и т. д. После приведения выражения к упрощенному виду нужно воспользоваться таблицей производных элементарных функций.

Рисунок 1. Дифференциалы простых выражений.

Однако при решении задач не всегда попадаются простые выражения. Для составных существуют определенные правила:

Специалисты рекомендуют для проверки использовать программы, но это не значит, что задачи должны решаться только с помощью онлайн-сервисов и математических пакетов.

Корни уравнений и критические точки

Следующим этапом является решение равенства с неизвестным. Необходимо отметить, что уравнения делятся на следующие виды: линейные, квадратные, кубические, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, степенные, показательные и иррациональные.

Источник

Что значит немонотонная функция

В этом параграфе мы распространяем связанные с риском понятия, введенные в последних четырех параграфах, на монотонно убывающие и немонотонные функции полезности. Вначале будет рассмотрен первый случай, порядок представления будет тем же самым, что и для монотонно возрастающих функций полезности. Определяются понятия риска и склонности к риску, вводится мера несклонности к риску, обсуждаются возрастающая, постоянная и убывающая несклонность к риску. Последний пункт посвящен немонотонному случаю. Доказательства утверждений, аналогичные представленным в предыдущих параграфах, здесь опускаются.

4.8.1. Несклонность к риску. При монотонно убывающих предпочтениях человек считается не склонным к риску, если он предпочитает получить ожидаемый выигрыш любой невырожденной лотереи вместо участия в этой лотерее. В этом случае, если, разумеется, функция полезности и описывает такие предпочтения, полезность ожидаемого выигрыша должна быть больше ожидаемой полезности лотереи. Если человек, напротив, предпочитает участие в любой невырожденной лотерее вместо получения среднего ожидаемого выигрыша (безразличен к выбору между ними) в ней, то он считается склонным к риску (безразличным к риску). Как и в случае возрастающих предпочтений, чтобы удостовериться в том, что несклонность к риску действительно имеет место, нет необходимости проверять каждую возможную невырожденную лотерею. Необходимым и достаточным условием здесь является его выполнение для всех лотерей 50—50.

Теорема 4.20. Принимающий решение не склонен к риску (склонен, безразличен к риску) тогда и только тогда, когда его монотонно убывающая функция полезности вогнута (выпукла, линейна).

Рис. 4.15 иллюстрирует эти случаи.

Прежде чем двигаться дальше, укажем два примера, в которых предпочтения монотонно убывают. Вначале рассмотрим период реагирования службы скорой помощи. Учитывая характер соотношения между периодом реагирования и состоянием пациентов, разумно принять, что при любом периоде реагирования ждать установленный детерминированный отрезок времени

предпочтительнее, чем иметь 50 шансов из 100 на ожидание и 50 шансов на ожидание Следовательно, откуда следует, что функция полезности принимающего решение вогнута. Второй пример связан с периодом реагирования полицейской службы.

Рис. 4.15. Отношение к риску при монотонно убывающих функциях полезности

В такой ситуации принимающий решение может не считать более предпочтительным ждать некоторое установленное время чем участвовать в лотерее Соображения могут заключаться в том, что вероятность задержания преступника очень быстро падает с увеличением периода реагирования. Это означает, что откуда следует, что и выпукла и имеет место склонность к риску. Принимающий решение может захотеть рискнуть в этой ситуации, чтобы иметь реальный шанс реализации малого периода реагирования.

Определения и результаты, приводимые в этом параграфе, аналогичны тем, которые были даны для случая монотонного возрастания предпочтений. А сейчас мы объясним некоторые различия. Напомним, что для возрастающих функций полезности детерминированный эквивалент для не склонного к риску индивидуума должен быть меньше, чем ожидаемый выигрыш лотереи. При убывающих функциях полезности в случае несклонности к риску верно как раз обратное. При возрастающих функциях полезности надбавка за риск, определяемая как разность между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом представляет собой сумму, которую принимающий решение уступил бы (из ожидаемого выигрыша) за то, чтобы избежать риска, связанного с участием в лотерее. Чтобы сохранить это истолкование для убывающих функций полезности, мы вынуждены изменить определенные надбавки за риск для случая убывающих предпочтений. В этом случае мы определяем надбавку за риск к лотерее как разность между детерминированным эквивалентом и ожидаемым выигрышем в этой лотерее. Тогда отсюда следует, что надбавка за риск опять является суммой, которую принимающий решение уступил бы (от ожидаемого выигрыша) за то, чтобы освободиться от участия в данной лотерее.

Теорема 4.21. Для убывающих функций полезности принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск в любой невырожденной лотерее для него положительна.

Обратимся к примеру.

Пример 4.18. Рассмотрим убывающую функцию полезности вида отражающую несклонность к риску (см. рис. 4.16). Найдем ожидаемый выигрыш, детерминированный эквивалент и надбавку за риск для лотереи с возможными выигрышами или причем каждый выигрыш имеет вероятность 1/3. Ожидаемый выигрыш равен

а ожидаемая полезность

Следовательно, детерминированный эквивалент х здесь таков, что

Рис. 4.16. Убывающая функция полезности, иллюстрирующая несклонность к риску

Решая это уравнение, находим Тогда надбавка за риск равна 0,24.

Теперь рассмотрим склонность к риску.

Теорема 4.22. Для убывающих функций полезности следующие утверждения эквивалентны:

1. Принимающий решение склонен к риску.

2. Для любой невырожденной лотереи детерминированный эквивалент меньше, чем ожидаемый выигрыш.

3.. Надбавка за риск для любой невырожденной лотереи отрицательна.

Источник

Что значит немонотонная функция

Пусть \(y = f\left( x \right)\) является дифференцируемой функцией на интервале \(\left( \right).\) Функция называется возрастающей (или неубывающей ) на данном интервале, если для любых точек \(, \in \left( \right),\) таких, что \( строго возрастающей на интервале \(\left( \right).\)

Аналогично определяются убывающая (или невозрастающая ) и строго убывающая функции.

Если функция \(f\left( x \right)\) дифференцируема на интервале \(\left( \right)\) и принадлежит к одному из четырех рассмотренных типов (т.е. является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей), то такая функция называется монотонной на данном интервале.

Снова рассмотрим функцию \(y = f\left( x \right),\) считая ее дифференцируемой на некотором интервале \(\left( \right).\) Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной функции.

Поскольку \(f’\left( c \right) \ge 0,\) то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно, \[f\left( <> \right) \ge f\left( <> \right).\] т.е. функция \(y = f\left( x \right)\) является возрастающей на интервале \(\left( \right).\)

Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания и строгого убывания функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая строго возрастающей функции.

\(f’\left( x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left( \right);\)

Производная \(f’\left( x \right)\) тождественно не равна нулю ни в каком промежутке \(\left[ <,> \right] \in \left( \right).\)

Условие \(1\) содержится в теореме \(1\) и является признаком неубывающей функции. Дополнительное условие \(2\) требуется для того, чтобы исключить участки постоянства функции, в которых производная функции \(f\left( x \right)\) тождественно равна нулю.

На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания или строгого убывания функции. Из теоремы \(2\) следует такая формулировка достаточного признака:

Соответственно, условие \(f’\left( x \right) строго убывающую функцию.

Число точек, в которых \(f’\left( x \right) = 0,\) является, как правило, конечным. Согласно теореме \(2\), они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале \(\left( \right).\)

Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке:

Если \(f’\left( <> \right) > 0\), то функция \(f\left( x \right)\) строго возрастает в точке \(\);

Если \(f’\left( <> \right) сумма функций \(f + g\) также возрастает (убывает) на этом интервале.

Если функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) то противоположная функция \(-f\) убывает (возрастает) на этом интервале.

Если функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) то обратная функция \(\large\frac<1>\normalsize\) убывает (возрастает) на этом интервале.

Если функции \(f\) и \(g\) возрастают (убывают) на интервале \(\left( \right)\) и, кроме того, \(f \ge 0\), \(g \ge 0\), то произведение функций \(fg\) также возрастает (убывает) на этом интервале.

Если функция \(g\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) а функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) где \(g:\left( \right) \to \left( \right),\) то композиция функций \(f \circ g\) (т.е. сложная функция \(y = f\left( \right)\) также возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right).\)

Данная функция является суммой функций \(\) и \(3.\)

Первую функцию \(\) можно рассматривать как произведение двух одинаковых функций \(\). Из примера \(1\) следует, что квадратичная функция \(\) строго возрастает при \(x \ge 0.\) Следовательно, функция \(\) также строго возрастает при \(x \ge 0\) на основании свойства \(4\).

Второе слагаемое \(3\) представляет собой трехкратную сумму функций \(\) и, поэтому, также является строго возрастающей (на основании свойства \(1\)).

Итак, исходная функция \(f\left( x \right) = + 3\) является суммой двух строго возрастающих функций и, следовательно, также строго возрастает при \(x \ge 0.\)

Для контроля рассмотрим также неравенство \(f’\left( x \right) Рис.5

Следовательно, на основании достаточного признака монотонности, функция строго возрастает при \(x \in \left( <\large\frac<1>\normalsize,\infty > \right)\) и строго убывает при \(x \in \left( <0, \large\frac<1>\normalsize> \right).\) Ее вид схематически приведен на рисунке \(10\).

На основании достаточного признака монотонности заключаем, что функция возрастает при \(x \in \left( <0,\large\frac<1><2>\normalsize> \right)\) и убывает при \(x \in \left( <\large\frac<1><2>\normalsize,1> \right).\) График функции представляет собой полуокружность с центром в точке \(\left( <\large\frac<1><2>\normalsize,0> \right)\) и радиусом \(<\large\frac<1><2>\normalsize>\) (рисунок \(14\)).

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

В исчислении и анализе

Термины «неуменьшение» и «неувеличение» не следует путать с (гораздо более слабыми) отрицательными квалификациями «не уменьшается» и «не увеличивается». Например, функция на фиг.3 сначала падает, затем возрастает, а затем снова падает. Следовательно, он не убывает и не увеличивается, но и не не убывает, и не увеличивается.

Обратная функция

Функция, которая является монотонной, но не строго монотонной и, следовательно, постоянной на интервале, не имеет обратного. Это связано с тем, что для того, чтобы функция имела инверсию, необходимо взаимно однозначное отображение диапазона в домен функции. Поскольку у монотонной функции есть некоторые значения, которые являются постоянными в ее области, это означает, что в диапазоне, который отображается на это постоянное значение, может быть более одного значения.

Обратите внимание, что в некоторых учебниках ошибочно утверждается, что обратное существует для монотонной функции, хотя на самом деле они означают, что обратное существует для строго монотонной функции.

Монотонное преобразование

Некоторые основные приложения и результаты

Функция является унимодальной, если она монотонно возрастает до некоторой точки ( мода ), а затем монотонно убывает.

В топологии

В функциональном анализе

Теорема Качуровского показывает, что выпуклые функции на банаховых пространствах имеют монотонные операторы в качестве производных.

В порядке теории

для всех x и y в своей области. Композиция двух монотонных отображений также монотонна.

для всех x и y в своей области.

В контексте поисковых алгоритмов

Источник