Что значит найти наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшее и наименьшее значение функции
Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профильной)
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
Таблица производных некоторых элементарных функций:
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^ |
| $<1>/ | $-<1>/ |
| $<1>/x<^n>, n∈N$ | $- |
| $√^n | $<1>/ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $<1>/ |
| $ctgx$ | $-<1>/ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $<1>/ |
| $log_x$ | $<1>/ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
Теория:
Наибольшее и наименьшее значения функции можно найти по графику функции. Иногда это значения удаётся найти, используя свойства функции. В общем случае наибольшее и наименьшее значения функции находятся с помощью производной. Для этого сформулируем некоторые теоремы.
1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (Эта теорема доказывается в курсе высшей математики).
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?
Пусть функция \(f(x)\) напрерывна на отрезке \([a; b]\), тогда:
2. Приравниваем производную к нулю, определяем точки экстремума функции, отбираем из них те, которые принадлежат отрезку \([a; b]\).
3. Находим значения функции y = f ( x ) в отобранных точках, и в конечных точках отрезка \(a\) и \(b\); выбираем среди полученных значений наименьшее ( y наим ) и наибольшее ( y наиб ).
А что делать, если нужно найти наибольшее или наименьшее значения функции, непрерывной на интервале? Один из вариантов — графический метод, который подразумевает построение графика функции и определение наименьшего или наибольшего значения функции по нему. Однако не всегда этот способ удобен, целесообразнее использовать следующую теорему.
а) если x = x 0 — точка максимума, то y наиб = f ( x o ) ;
На рисунках продемонстрированы геометрические иллюстрации данной теоремы.
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции
Общая информация
Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.
Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:
Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.
Область определения
Область определения какой-либо функции вида y = f(x) — область значений аргумента, при которых она существует. У каждой функции существует два типа неизвестных: зависимые и независимые. К первым следует отнести переменную y, которая зависит от независимой переменной «х». Необходимо отметить, что бывают функции, в которых нет аргумента. Примером их считается функция вида y = const, где const — константа (любое число).
Обозначение интервалов
Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:
Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток. Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.
Зависимость от типа
Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:
Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.
Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.
Метод нахождения
Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:
В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.
Для sin(x) и cos(x) областью определения является множество значений Z. Однако для tg(x) и ctg(x) следует помнить, что аргумент не должен принимать значение x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. Следует отметить, что коэффициент k принадлежит множеству чисел Z.
Для нахождения минимального и максимального значения функции достаточно материала, изложенного выше. Специалисты рекомендуют разобраться с теорией, а затем переходить к практике.
Примеры решений
Дана квадратичная функция y = x^2 + 6x + 9. Необходимо найти наименьшее значение функции квадратного уравнения на отрезке [1;5]. Для этой цели нужно воспользоваться алгоритмом:
Одним из простейших типов задач является следующая: найдите наибольшее значение линейной функции z = 5x + 10 на отрезке [-3;3]. Для ее решения можно также воспользоваться алгоритмом:
Последнюю задачу необязательно решать по алгоритму, поскольку она считается простейшей. Математики рекомендуют тренироваться в нахождении MIN и MAX функции, поскольку только практика позволяет быстро решать задачи.
Таким образом, для нахождения максимального и минимального значений заданной функции необходимо пользоваться специальным универсальным алгоритмом. Кроме того, нужно правильно находить дифференциалы, область определения, а также разбираться в интервалах.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции.
Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция 
непрерывна на отрезке 
если:
1) она непрерывна на интервале 
;
2) непрерывна в точке 
справа и в точке 
слева.
Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:
Функция 
непрерывна в точке 
справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: 
. Она же непрерывна в точке 
слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке: 
Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:
Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси 
), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)
Согласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке 
функция достигает своей точной верхней грани 
и своей точной нижней грани 
.
Число 
также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через 
, а число 
– минимальным значением функции на отрезке с пометкой 
.
В нашем случае: 
Примечание: в теории распространены записи 
.
Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.
Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число 
является минимумом функции, но не минимальным значением.
Кстати, а что происходит вне отрезка 
? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел 
и всё!
Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо!
Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:
1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку.
Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует, что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума 
и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке 
. Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.
Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.
2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.
3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.
Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:
– критические точки.
Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.
Первая критическая точка принадлежит данному отрезку: 
А вот вторая – нет: 
, поэтому про неё сразу забываем.
Вычислим значение функции в нужной точке: 
Итоговый результат я выделил жирным цветом, при оформлении задания в тетради его удобно обвести в кружок простым карандашом или пометить как-то по-другому.
2) Вычислим значения функции на концах отрезка: 
Результаты опять каким-либо образом выделяем.
3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.
Ответ: 
Критическое значение 
на поверку оказалось точкой максимума, но об этом нас никто не спрашивал. Впрочем, для саморазвития можете устно подмечать такие факты.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
В рассматриваемой задаче очень важно не допускать вычислительных ошибок, так как рецензент немедленно посмотрит, сами догадываетесь куда.
Другой существенный момент касается пункта № 1.
Во-первых, критических точек может не оказаться вообще. Это очень хорошо – меньше вычислений. Просто записываем вывод: «критические точки отсутствуют» и переходим ко второму пункту алгоритма.
Во-вторых, все критические точки (одна, две или бОльшее количество) могут не принадлежать отрезку. Замечательно. Пишем следующее: «критические точки (а) не принадлежат (ит) рассматриваемому отрезку». Находить какие-то значения функции здесь, разумеется, тоже не надо.
В моей коллекции есть и те и те примеры, но они унылы как бескрайние просторы Сахары. По сути, всё задание сводится к нахождению двух значений функции на концах интервала. Гораздо интереснее снять кепки, солнечные очки и отправиться играть в пляжный футбол:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке
Решение: всё опять начинается дежурной фразой:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Да, критических точек тут и правда целая команда: 
Первые две точки принадлежат нашему отрезку: 
Но третья оказывается вне игры: 
(надеюсь, все сумели сосчитать 
)
Вычислим значения функции в подходящих точках: 
Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,
2) Вычислим значения функции на концах отрезка: 
Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:
Ответ: 
Время от времени критические точки могут совпадать с одним или даже с обоими концами отрезка, и в этом случае укорачивается второй этап решения. Следующий пример для самостоятельного изучения посвящен как раз такой ситуации:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке
Примерный образец решения в конце урока.
Иногда техническая трудность рассматриваемого задания состоит в замысловатой производной и громоздких вычислениях:
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Решение: отрезок, надо сказать, творческий, но пример взят из конкретной контрольной работы и ни в коем случае не придуман.
1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку: 
Очевидный корень оказывается не в теме: 
.
Решаем уравнение: 
Второй корень принадлежит нашему отрезку: 
Если вам не понятно, почему именно такой корень, обязательно обратитесь к школьному учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс и повторите, что такое логарифм, ибо плох тот студент, который не мечтает овладеть логарифмами.
Дальнейшие вычисления задачи я распишу максимально подробно, но без комментариев. Некоторую информацию о логарифмической функции и свойствах логарифма можно почерпнуть в статье Графики и свойства элементарных функций и методичке по школьным формулам.
Вычислим значение функции во второй критической точке: 
2) Вычислим значения функции на концах отрезка: 
3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что 
: 
Вот теперь всё понятно.
Ответ: 
Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Вычисления в данном случае не менее кропотливы и точно так же потребуют вмешательства калькулятора (если вы, конечно, не вундеркинд). Полное решение и ответ в конце урока.
Стрелки часов приближаются к 9 утра, и побережье потихоньку заполняется всё бОльшим и бОльшим количеством стройных ног. Если честно, не терпится захлопнуть ноут и похулиганить, но всё-таки мужественно разберу нетривиальную вещь:
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Решение:
1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения: 
– критические точки.
Обратите внимание, что точка 
обращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. На этом случае я подробно останавливался в теоретической части и последнем примере урока Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас: 
2) Вычислим значения функции на концах отрезка: 
уже известно.
Ответ: 
Раз, два, три, четыре, пять – мне пора верстать.
Скорее всего, вы прочитали данную статью в ненастную погоду, поэтому желаю всем скорейшего летнего загара без зачётки в кармане! …ну или с дипломом на груди… …ой, что-то я не то сказал =)
Пример 2: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
– критические точки. 
2)Вычислим значения функции на концах отрезка: 
Ответ: 
Пример 4: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
– критические точки. 
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
уже рассчитано в предыдущем пункте. 
Ответ: 
Пример 6: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку: 
– критические точки. 
2) Вычислим значения функции на концах отрезка: 
Ответ: 
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам