Что значит натуральные числа 5 класс
Натуральные числа. Ряд натуральных чисел.
История натуральных чисел началась ещё в первобытные времена. Издревле люди считали предметы. Например, в торговле нужен был счет товара или в строительстве счет материала. Да даже в быту тоже приходилось считать вещи, продукты, скот. Сначала числа использовались только для подсчета в жизни, на практике, но в дальнейшем при развитии математики стали частью науки.
Натуральные числа – это числа которые мы используем при счете предметов.
Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….
Нуль не относится к натуральным числам.
Все натуральные числа или назовем множество натуральных чисел обозначается символом N.
Таблица натуральных чисел.
Натуральный ряд.
Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.
Свойства натурального ряда:
Пример №1:
Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5
Пример №2:
Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.
Пример №3:
Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.
Пример №4:
Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.
Пример №5:
У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.
Пример №6:
Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Ответ: а)6, б)68, в)9999.
Пример №7:
Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами: а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.
Пример №8:
Назовите предыдущее число за числом 11.
Ответ: 10.
Пример №9:
Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.
Числа. Натуральные числа.
Простейшее число — это натуральное число. Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.
Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.
Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.
Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.
Для подсчета времени в градусной мере углов существует шестидесятеричная система счисления (основа число 60). В 1 часе — 60 минут, в 1 минуте — 60 секунд; в 1 угловом градусе — 60 минут, в 1 угловой минуте — 60 секунд.
Всякое натуральное число легко записать в виде разрядных слагаемых.
Числа 1, 10, 100, 1000. – это разрядные единицы. При их помощи натуральные числа записывают как разрядные слагаемые. Таким образом, число 307 898 в виде разрядных слагаемых записывается так:
307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8
Обозначение натуральных чисел: Множество натуральных чисел обозначают символом N.
Классы натуральных чисел.
Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Сравнение натуральных чисел.
Таблица разрядов и классов чисел.
1-й разряд единицы тысяч
2-й разряд десятки тысяч
3-й разряд сотни тысяч
1-й разряд единицы миллионов
2-й разряд десятки миллионов
3-й разряд сотни миллионов
4-й класс миллиарды
1-й разряд единицы миллиардов
2-й разряд десятки миллиардов
3-й разряд сотни миллиардов
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы.
Основные свойства натуральных чисел.
Действия над натуральными числами.
1. Сложение натуральных чисел результат: сумма натуральных чисел.
Формулы для сложения:
В основном, сложение натуральных чисел выполняется « столбиком ».
2. Вычитание натуральных чисел – операция, обратная сложению: разница натуральных чисел.
Формулы для вычитания:
Вычитание натуральных чисел удобно производить « столбиком ».
3. Умножение натуральных чисел : произведение натуральных чисел.
Формулы для умножения:
(а + b) ∙ с= а ∙ с + b ∙ с
(а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с
4. Деление натуральных чисел – операция, обратная операции умножения.
Формулы для деления:
Числовые выражения и числовые равенства.
Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением.
Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами. У равенства есть левая и правая части.
Порядок выполнения арифметических действий.
Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо.
Когда в выражении есть скобки – сначала выполняют действия в скобках.
Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.
Натуральные числа
Натуральные числа: определение, операции, свойства
Определение
Натуральными числами называются числа, предназначенные для счета предметов. Для записи натуральных чисел используются 10 арабских цифр (0–9), положенных в основание общепринятой для математических расчетов десятичной системы счисления.
Последовательность натуральных чисел
Иногда в ряд натуральных чисел вводят и 0. Это допустимо, и тогда говорят о расширенном натуральном ряде.
Классы натуральных чисел
Каждая цифра натурального числа выражает определенный разряд. Самая последняя – это всегда количество единиц в числе, предыдущая перед ней – количество десятков, третья от конца – количество сотен, четвертая – количество тысяч и так далее.
Для больших и очень больших чисел можно увидеть устойчивую тенденцию (если исследовать число справа налево, то есть от последней цифры к первой):
То есть всякий раз мы имеем дело с тремя цифрами, означающими единицы, десятки и сотни более крупного наименования. Такие группы формируют классы. И если с первыми тремя классами в повседневной жизни приходится иметь дело более или менее часто, то другие следует перечислить, потому что далеко не все помнят наизусть их названия.
Сложение натуральных чисел
Сложение натур.чисел представляет собой арифметическое действие, позволяющее получить число, в котором содержится столько же единиц, сколько имеется в складываемых числах вместе.
Знаком сложения является знак «+». Складываемые числа называются слагаемыми, получаемый результат – суммой.
Небольшие числа складывают (суммируют) устно, письменно такие действия записывают в строку.
Если в столбик складывается не 2, а больше чисел, то при суммировании цифр разряда избыточным может оказаться не 1 десяток, а несколько. В этом случае на следующий разряд переносится количество таких десятков.
Вычитание натуральных чисел
Вычитание – это арифметическое действие, обратное сложению, которое сводится к тому, что по имеющейся сумме и одному из слагаемых нужно найти другое – неизвестное слагаемое. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым; число, которое вычитают, – вычитаемым. Результат вычитания называют разностью. Знак, которым обозначают действие вычитания, является «–».
При переходе к сложению вычитаемое и разность превращаются в слагаемые, а уменьшаемое – в сумму. Сложением обычно проверяют правильность выполненного вычитания, и наоборот.
Здесь 74 – уменьшаемое, 18 – вычитаемое, 56 – разность.
Обязательным условием при вычитании натуральных чисел является следующее: уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае полученная разность тоже будет натуральным числом. Если действие вычитания осуществляется для расширенного натурального ряда, то допускается, чтобы уменьшаемое было равно вычитаемому. И результатом вычитания в этом случае будет 0.
Примечание: если нулю равно вычитаемое, то операция вычитания не изменяет величины уменьшаемого.
Вычитание многозначных чисел обычно производят в столбик. Записывают при этом числа так же, как и для сложения. Вычитание выполняется для соответствующих разрядов. Если же оказывается, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то берут единицу из предыдущего (находящегося слева) разряда, которая после переноса, естественно, превращается в 10. Эту десятку суммируют с цифрой уменьшаемого данного разряда и после этого производят вычитание. Далее при вычитании следующего разряда обязательно учитывают, что уменьшаемое стало на 1 меньше.
Произведение натуральных чисел
Произведение (или умножение) натуральных чисел – это арифметическое действие, представляющее собой нахождение суммы произвольного количества одинаковых слагаемых. Для записи действия умножения используют знак «·» (иногда «×» или «*»). Например: 3·5=15.
Действие умножение незаменимо при необходимости складывать большое количество слагаемых. Например, если нужно число 4 прибавить 7 раз, то перемножить 4 на 7 проще, нежели выполнять такое сложение: 4+4+4+4+4+4+4.
Числа, которые перемножают, называются множителями, результат умножения – произведением. Соответственно, термин «произведение» может в зависимости от контекста выражать собой как процесс умножения, так и его результат.
Многозначные числа перемножают в столбик. Для этого числа записывают так же, как и для сложения и вычитания. Рекомендуется первым (выше) записывать то из 2-х чисел, которое длиннее. В этом случае процесс умножения будет более простым, а следовательно, более рациональным.
При умножении в столбик выполняют последовательное умножение цифры каждого из разрядов второго числа на цифры 1-го числа, начиная с его конца. Найдя первое такое произведение, записывают цифру единиц, а цифру десятков держат в уме. При умножения цифры 2-го числа на следующую цифру 1-го числа к произведению прибавляют ту цифру, которую держат в уме. И снова записывают цифру единиц полученного результата, а цифру десятков запоминают. При умножении на последнюю цифру 1-го числа полученное таким способом число записывают полностью.
Результаты умножения цифры 2-го разряда второго числа записывают вторым рядом, сместив его на 1 клетку вправо. И так далее. В итоге будет получена «лесенка». Все получившиеся ряды цифр следует сложить (по правилу сложения в столбик). Пустые клетки при этом нужно считать заполненными нулями. Полученная сумма и есть конечное произведение.
Примечание
Деление натуральных чисел
Делением называют арифметическое действие, с помощью которого по известному произведению и одному из множителей может быть найдет другой – неизвестный – множитель. Деление является действием, обратным умножению, и используется для проверки правильности выполненного умножения (и наоборот).
Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, – делителем; результат деления называется частным. Знаком деления является «:» (иногда, реже – «÷»).
Здесь 48 – делимое, 6 – делитель, 8 – частное.
Не все натуральные числа можно поделить между собой. В этом случае выполняют деление с остатком. Заключается оно в том, что для делителя подбирается такой множитель, чтобы его произведение на делитель было бы числом, максимально близким по значению к делимому, но меньшим него. Делитель умножают на этот множитель и вычитают его из делимого. Разность и будет остатком от деления. Произведение делителя на множитель называют неполным частным. Внимание: остаток обязательно должен быть меньше подобранного множителя! Если остаток больше, то это означает, что множитель подобран неверно, и его следует увеличить.
где a – перемножаемое само на себя число, x – количество таких множителей.
Простые и составные натуральные числа
Всякое натуральное число, кроме 1, можно разделить как минимум на 2 числа – на единицу и на само себя. Исходя из этого критерия, натуральные числа разделяют на простые и составные.
Простыми считаются числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Числа, которые делятся более чем на эти 2 числа, называют составными. Единица, делящаяся исключительно на саму себя, не относится ни к простым, ни к составным.
Простыми являются числа: 2,3,5,7,11,13,17,19 и т.д. Примеры составных чисел: 4 (делится на 1,2,4), 6 (делится на 1,2,3,6), 20 (делится на 1,2,4,5,10,20).
Всякое составное число можно разложить на простые множители. Под простыми множителями при этом понимаются его делители, являющиеся простыми числами.
Пример разложения на простые множители:
Делители натуральных чисел
Под делителем понимают число, на которое можно без остатка разделить данное число.
В соответствии с этим определением, простые натур.числа имеют 2 делителя, составные – больше 2 делителей.
Многие числа имеют общие делители. Общим делителем называется число, на которое данные числа делятся без остатка.
Особое значение имеет наибольший общий делитель (НОД). Это число, в частности, полезно уметь находить для сокращения дробей. Для его нахождения требуется разложить данные числа на простые множители и представить его как произведение их общих простых множителей, взятых в наименьших своих степенях.
Требуется найти НОД чисел 36 и 48.
Делимость натуральных чисел
Далеко не всегда представляется возможным «на глазок» определить, делится ли одно число на другое без остатка. В таких случаях полезным оказывается соответствующий признак делимости, то есть правило, по которому за считанные секунды можно определить, можно ли разделить числа без остатка. Для обозначения делимости используется знак «
».
Наименьшее общее кратное
Эта величина (обозначается НОК) представляет собой наименьшее число, которое делится на каждое из заданных. НОК может быть найден для произвольного набора натуральных чисел.
НОК, как и НОД, имеет значительный прикладной смысл. Так, именно НОК нужно находить, приводя обыкновенные дроби к общему знаменателю.
НОК определяется путем разложения заданных чисел на простые множители. Для его формирования берется произведение, состоящее из каждого из встречающихся (хотя бы для 1 числа) простых множителей, представленных в максимальной степени.
Требуется найти НОК чисел 14 и 24.
Среднее арифметическое
Средним арифметических произвольного (но конечного) количества натуральных чисел является сумма всех этих чисел, разделенная на количество слагаемых:
Среднее арифметическое представляет собой некоторое усредненное значение для числового множества.
Даны числа 2,84,53,176,17,28. Требуется найти их среднее арифметическое.
Что такое Натуральное число
Определение натурального числа
Натуральные числа — это те числа, которые появились натуральным способом, когда считали сколько у человека есть предметов. Например: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д.
Наибольшее натуральное число: не существует. Наименьшее натуральное число: 1.
Например, люди считали, сколько у них было фруктов: 1 яблоко, 3 апельсина, 2 дыни.
Нуль (0) не является натуральным числом, хотя некоторые области математики всё-таки считают 0 натуральным числом.
Отрицательные числа (–1, –3, –5. ) не являются натуральными числами («–3» яблок сложно посчитать физически).
Дроби (например, ⅓ или ⅖) тоже не являются натуральными числами.
Такие понятия, как отрицательные («–3»), дроби («⅓») и нуль («0») появились много позже.
Множество натуральных чисел
Множество натуральных чисел бесконечно и обозначается буквой N, т. е.:
Натуральные числа: 
Натуральные числа с нулём: 
Ряд натуральных чисел
Если записать все натуральные числа в порядке возрастания (каждое натуральное число отличается от предыдущего на 1), это будет ряд натуральных чисел. Но если какие-то числа будут отсутствовать, это уже не будет считаться рядом натуральных чисел. Например:
Наибольшего натурального числа не существует — натуральный ряд бесконечен.
Ненатуральные числа
Ненатуральные числа — это отрицательные и нецелые числа (обычно 0 тоже считается ненатуральным, но не всегда).
Отрицательные числа — это все те, которые ниже нуля, например: –1, –2, –3, –4, –5 и др.;
Свойства натуральных чисел
Натуральные числа обладают следующими свойствами:
Понятие о натуральном числе
Натуральные числа и десятичная запись числа
Чтобы сосчитать некоторое количество предметов, используются числа, которые называют натуральными.
С помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое натуральное число. (подобным образом мы используем буквы алфавита, чтобы записать слова)
Такую запись числа называют десятичной ‒ десять единиц каждого разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.
Натуральный ряд
Если натуральные числа записать в порядке возрастания, то получится ряд натуральных чисел ‒ натуральный ряд.
Каждое число в этом ряду меньше последующего на единицу. Наименьшее число среди натуральных чисел — это 1, а наибольшего числа нет.
Многозначные числа
Натуральное число называют однозначным, если его запись состоит из одного знака — одной цифры.
Например, числа 3, 7, 9 — однозначные.
Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.
Например, числа 25, 44, 65, 80 — двузначные.
Числа 100, 543, 888 — трёхзначные:
Числа 2000, 6791, 1060 — четырёхзначные и т. д.
Двузначные, трехзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. — это многозначные числа.
Классы и разряды
Прочитать записи однозначных, двузначных и трехзначных чисел (например: 7, 54, 976) затруднений не вызывает.
Чтобы прочесть многозначное натуральное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.
Эти группы называют классами.
Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.
Место, занимаемое цифрой в записи числа, называют разрядом.
Если считать справа налево, то первое место в записи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.
Например, в числе 5034 имеем 4 единицы разряда единиц, 3 единицы разряда десятков, 0 единиц разряда сотен и 5 единиц разряда тысяч.
Можно также сказать, что в классе единиц 34 единицы.
Названия некоторых больших чисел
1 тысяча (1 тыс.) – 1 000 (тысяча)
1 миллион (1 млн) – 1 000 000 (тысяча тысяч)
1 миллиард (1 млрд) – 1 000 000 000 (тысяча миллионов)
1 триллион (1 трлн) – 1 000 000 000 000 (тысяча миллиардов)
Рассмотрим число 6 000 126 754.
Его читают: 6 миллиардов 126 тысяч семьсот пятьдесят четыре.
В классе миллионов во всех разрядах стоят нули. Поэтому при чтении числа 6 000 126 754 не произносят название этого класса.
Примеры прочтения чисел:
а) Число 200 700 читается так: двести тысяч семьсот;
б) Число 6 000 008 читается так: шесть миллионов восемь;
в) Число 14 000 002 000 читается так: четырнадцать миллиардов две тысячи.
Значение цифры в записи числа
Значение цифры зависит от её позиции (места) в записи числа.
Например, в записи числа 56 978 цифра 8 означает 8 единиц, так как она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц);
В записи числа 42 389 цифра 8 означает 8 десятков, так как она стоит на предпоследнем месте в записи числа (в разряде десятков);
В записи числа 5 300 847 цифра 8 означает 8 сотен, так как она стоит на третьем месте от конца в записи числа (в разряде сотен).
Число 0 и цифра 0
Число 0 натуральным не является.
Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль» (что означает ‒ «ни одного»).
(Например, счёт 1 : 0 хоккейного матча говорит о том, что вторая команда не забила ни одной шайбы в ворота противника.)
Поделись с друзьями в социальных сетях: