Что значит функция задана неявно
Производная фукнции, заданной неявно: руководство, примеры
Как найти производную функции, заданной неявно
,
,
,
,
.
При этом и икс, и игрек могут быть в различных степенях, а в одном слагаемом могут быть и игрек, и икс.
Если функция задана неявно, то как получить игрек, то есть явную функцию? Просто: выразить игрек через другую переменную, то есть получить в левой части только игрек. А если нужно найти производную функции, заданной неявно, то есть получить в левой части только игрек со штрихом? Нужно сначала найти производные обеих частей уравнения, то есть продифференцировать их. А затем выразить производную игрека через производные других переменных.
Решаем задачи вместе
Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:
.
.
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
.
Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.
и
не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
.
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
Путь к ответу и в конец сам ответ:
Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Найти производную функции, заданной неявно:
Пример 7. Найти производную функции, заданной неявно:
Пример 8. Найти производную функции, заданной неявно:
Как найти производную неявной функции?
Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку данный курс носит практическую направленность, мы стараемся избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?
Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции. Переменная называется независимой переменнойили аргументом.
Производная функции, заданной неявно
Переменная называется зависимой переменной или функцией. Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция. До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.
Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция y в явном виде выражена через независимую переменную x.
Здесь переменные x и y расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др.
Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: 
Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.
Разрешите познакомить: пример неявной функции.
В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует(однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права неявной функции соблюдены.
На этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.
Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму (без камня перед тремя дорожками).
Что значит функция задана неявно
При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.
Производной функции y = f ( x ) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то есть
Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной точки.
Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.
Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет 
Существуют такие точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема. Так, функция y =| x | в точке x =0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к теореме 3.9 неверно.
Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.
Теорема 3.10. Если строго монотонная функция y = f ( x ) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x = φ ( y ) также дифференцируема на этом интервале, при этом:
По определению производной можно записать:
Среди явных функций выделяют класс сложных функций.
Теорема 3.11. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть
Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табли 
чных формул (3.17), (3.19), (3.29) имеем:
где t – параметр. Производную такой функции несложно получить:
Пример 3.9. Найти производную функции 
.
Решение. Согласно формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19) имеем:
Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.
Теорема 3.12. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.
Решение. Согласно формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23) имеем:
Теорема 3.13. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть
Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул (3.22), (3.24) имеем:
Теорема 3.14. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть
Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул (3.17), (3.29) имеем:
Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.17) и (3.18) имеем:
Дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:
Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных значений функций.