Что значит функция задана формулой

Что такое функция?

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Определение функции. Способы задания функции.

Что значить задать функцию? Какими способами можно задать функцию? Что такое определение функции?

Задать функцию — это значит указать правило, при задании любого значения аргумента x вы найдете значение функции y.

Функция y=f(x) – зависимость переменной y от переменной x. Когда задаем значение аргумента x, получаем единственное значение функции y.

Способы задания функции.

В данной статье рассмотрим 3 способа задания функции. На самом деле их больше, в школьной программе чаще всего разбирают эти способы задания функции.

Аналитический способ задания функции.

Чаще всего в школьной программе правило задают в виде формулы y=f(x), x∈X или нескольких формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Примеры аналитического задания функции:

Графический способ задания функции.

Также если по формуле построить график функции, то данный способ задания функции будет называться графическим. Не всегда вам будут давать график совместно с формулой. Иногда вам в заданиях будут давать только график функции, по которому вы должны будете найти определенные данные. По графику функции можно восстановить его формулу, но это не всегда легко сделать, все зависит от начерченного графика. В школьной программе вам будут задавать графики, по которым вы сможете рассчитать формулу.

Примеры, графического задания функции:

Табличный способ задания функции.

Следующий способ задания функции применяется чаще всего на практике называется табличный.

Все данные представлены в виде таблице. У этого способа имеется конечное множество значений аргумента. Такими таблицами вы уже пользовались в алгебре, например, таблица квадратов, таблица корней и т.д.

Примеры, табличного задания функции:

Рассмотрим примеры по теме «Способы задания функции»:

Пример №1:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.

Пример №2:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.

Пример №3:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

При проведении вертикальных линий у нас имеется два пересечения. То есть у одной вертикальной линии два пересечения с фигурой. По определению переменной x должно соответствовать только одно значение переменной y, а у нас два пересечения фигуры. Следовательно, данная фигура не является графиком функции.

Источник

Функция. Способы задания функций.

Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.

1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.

Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.

2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.

Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.

Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.

4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.

Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.

5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.

При разложении числа Эйлера задается функцией:

Ее сокращение приведено ниже:

При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.

Источник

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник

Способы задания функции. Примеры.

Что означают слова «задать функцию»? Они означают: объяснить всем желающим, о какой конкретной функции идёт речь. Причём, объяснить чётко и однозначно!

Как это можно сделать? Как задать функцию?

Обычно, в самых различных заданиях присутствуют уже готовые функции. Они нам уже заданы. Решай себе, да решай.) Но. Чаще всего школьники (да и студенты) работают с формулами. Привыкают, понимаешь. Так привыкают, что любой элементарный вопрос, относящийся к другому способу задания функции, тотчас огорчает человека. )

Во избежание подобных случаев, имеет смысл разобраться с разными способами задания функций. Ну и, конечно, применить эти знания к «хитрым» вопросам. Это достаточно просто. Если знаете, что такое функция. )

Аналитический способ задания функции.

Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая задана формулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например: y = 2x, или y = x 2 и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

Переходим к менее привычным способам задания функции.

Табличный способ задания функции.

Прошу обратить внимание! В данном примере игрек зависит от икса как попало. Я специально так придумал.) Нет никакой закономерности. Ничего страшного, так бывает. Значит, именно так я задал эту конкретную функцию. Именно так я установил правило, по которому икс превращается в игрек.

Можно составить другую табличку, в которой будет закономерность. Этой табличкой будет задана другая функция, например:

Чем хорош табличный способ задания функции? Да тем, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице.) А более ничего хорошего нет. Мы не знаем значения функции для иксов, которых нет в таблице. В этом способе такие значения икса просто не существуют. Кстати, это подсказка к хитрому вопросу.) Мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы. Ничего не можем. Да и наглядность в этом способе оставляет желать лучшего. Для наглядности хорош графический способ.

Графический способ задания функции.

Окружность, как окружность. Почему бы ей не быть графиком функции? А давайте найдем, какой игрек будет соответствовать значению икса, например, 6? Наводим курсор на график (или касаемся рисунка на планшете), и. видим, что этому иксу соответствует два значения игрека: у=2 и у=6.

Два и шесть! Стало быть, такой график не будет графическим заданием функции. На один икс приходится два игрека. Не соответствует этот график определению функции.

Но если условие однозначности выполнено, график может быть совершенно любым. Например:

Теперь можно вернуться к «хитрому» вопросу про у=2х. Построим график этой функции. Вот он:

Но мы совершенно точно знали, что икс может быть любым. Целым, дробным, отрицательным. Любым. Это по формуле у=2х видно. Поэтому смело соединили точки на графике сплошной линией.

Если же функция будет нам задана Таблицей 2, то значения икса нам придётся брать только из таблицы. Ибо другие иксы (и игреки) нам не даны, и взять их негде. Нет их, этих значений, в данной функции. График получится из точек. Наводим мышку на рисунок и видим график функции, заданной Таблицей 2. Значения икс-игрек на осях я не писал, разберётесь, поди, по клеточкам?)

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь. Мы с графиками дружить будем.)

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить. И график построить. Кстати, график забавный получается. ) Попробуйте.

Сейчас мы применим эти глубокие знания к некоторым нестандартным заданиям.) Как и обещано в начале урока.

Функция у = f(x) задана Таблицей 1:

Функция у = g(x) задана Таблицей 2:

Значение функции f(4) определяем по Таблице 1. Это будет 5. Значение функции g(4) определяем по Таблице 2. Это будет 8. Остаётся самое трудное.)

Это правильный ответ.

Функция у=f(x) задана графически:

Решить неравенство f(x) > 2

Вот-те раз! Надо решить неравенство, которое (в привычной форме) блистательно отсутствует! Остаётся либо бросать задание, либо включить голову. Выбираем второе и рассуждаем.)

Что значит решить неравенство? Это значит, найти все значения икса, при которых выполняется данное нам условие f(x) > 2. Т.е. все значения функции (у) должны быть больше двойки. А у нас на графике игрек всякий есть. И больше двойки есть, и меньше. А давайте, для наглядности, по этой двойке границу проведём! Наводим курсор на рисунок и видим эту границу.

Строго говоря, эта граница есть график фукции у=2, но это не суть важно. Важно то, что сейчас на графике очень хорошо видно, где, при каких иксах, значения функции, т.е. у, больше двойки. Они больше при х>3. При х>3 вся наша функция проходит выше границы у=2. Вот и всё решение. Но выключать голову ещё рано!) Надо ещё ответ записать.

На графике видно, что наша функция не простирается влево и вправо на бесконечность. Об этом точки на концах графика говорят. Кончается там функция. Стало быть, в нашем неравенстве все иксы, которые уходят за пределы функции смысла не имеют. Для функции этих иксов не существует. А мы, вообще-то, неравенство для функции решаем.

Источник