Что значит функция определена на множестве

Понятие функции на множестве

Введем понятие функции через бинарное отношение.

Определение 1.

Функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с одинаковыми первыми элементами и разными вторыми.

Если f – функция, то множество D_f мы будем называть областью определения функции f, а множество R_f – областью значения функции.

1. <(1,1); (2,3); (3,2)>, есть функция с областью определения <1,2,3>и это же множество является ее областью значений;

2. Бинарное отношение <(1, 2); (2, 2); (пешка, ферзь); (ладья, слон)>– есть функция с областью определения <1, 2, пешка, ладья>и областью значения <2, ферзь, слон>;

3. Бинарное отношение <(1,2); (1,1); (2,3)>не является функцией, поскольку содержит пары с одинаковыми первыми и разными вторыми элементами;

Вернемся к привычным обозначениям: если f – функция и (x,y) f, то элемент y называют значением функции f на x, или образом элемента x при f, поэтому элемент y мы будем обозначать f(x): y = f(x). Поскольку f – функция, то имеется только одна пара (x, y) с первой компонентой x и второй y, принадлежащая f. Достаточно часто говорят, что y является образом элемента x, а элемент x является прообразом элемента y. К функциям, поскольку они являются множествами, применимо понятие «равенство».

Определение 2.

Функции f и g равны между собой тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов:

и .

Определение 3.

Если D_f X и R_f Y, то говорят, что функция f определена в множестве X и принимает свои значения в множестве Y.

Определение 4.

Если D_f = X и R_f Y, то говорят, что функция f определена на множестве X и принимает свои значения в множестве Y.

Определение 5.

Если, кроме того, что D_f = X, выполнено еще условие R_f = Y, то отображение (функцию) f называют отображением множества X «на» Y, или сюръекцией. Заметим, что каждая функция f является сюръекцией множества D_f на R_f.

Определение 6.

Функция f называется инъективной, или инъекцией, если из того, что f(a) = f(b), следует, что a = b.

Определение 7.

Инъективное отображение множества X на множество Y называется однозначным (биективным), или просто биекцией типа X Y.

2. Рассмотрим функцию g, которая каждому элементу x ставит в соответствие число g(x) = 2x+1. Покажем, что заданная таким образом функция g является взаимно-однозначным соответствием между Z и множеством нечетных целых чисел. Действительно, из того, что 2x₁+1 = 2x₂+1, следует, что x₁ = x₂.

В последнем примере было установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством Z и его собственным подмножеством. Вообще говоря, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.

Множество M бесконечно тогда и только тогда, когда существует взаимно-однозначное соответствие между самим множеством M и его собственным подмножеством.

Важно.

Из определения суперпозиции бинарных отношений f и g следует, что когда f и g являются функциями, то значение их суперпозиции fg на элементе x вычисляется следующим образом: – и означает, что если f: , а g: , тогда fg : .

Определение 8.

Теорема 2.

Доказательство.

2. Мощность множеств

Определение 9.

Говорят, что множество A эквивалентно множеству B, если существует биективное отображение f: (см.: Л.3, опр.4).

Под словами «биективное отображение» понимают взаимно-однозначное отображение «на». Эту биекцию записывают как A

1. Множество N и множество четных натуральных чисел эквивалентны. Необходимая биекция задается формулой f(n)=2n, .

2. Множества (0,1) и R эквивалентны. Этот пример немного неожиданен, поскольку утверждается, что число точек открытого интервала (0,1) равно числу точек всей вещественной прямой. Нужная нам биекция строится следующим образом (рис. 1). Представим интервал (-1,1) в виде некоторой полуокружности. Множество действительных чисел представим некоторой прямой. Из центра полуокружности проведем любую прямую линию в некоторую точку (m_i) на прямой R. Очевидно, что прямые линии, соединяют единственную точку на полуокружности с единственной точкой вещественной прямой и задают биекцию между точками интервала (0,1) и точками всей прямой, являющейся множеством R.

Определение 10.

Множества, имеющие лишь конечное число элементов, называются конечными множествами. Количество элементов конечного множества и называется его мощностью.

Теорема 3.

Два конечных множества имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда они эквивалентны.

Доказательство.

Достаточность. Пусть A

B и f: A B – биекция, устанавливающая эту эквивалентность. Если A = <a₁, a₂. a_n >, то B = < f(a₁), f(a₂). f(a_n)>и элементы f(a_k) попарно различны. Следовательно, |A|=|B|= n. Доказательство завершено.

Определение 11.

Множество A называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел: A

N. В этом случае говорят, что множество A имеет счетную мощность.

Теорема 4.

Множество A имеет счетную мощность тогда и только тогда, когда элементы этого множества можно перенумеровать, используя все натуральные числа.

Доказательство.

Необходимость. Пусть множество A счетно. Это означает, что A

N. По определению эквивалентности существует биекция f: . Положим, что a_n= f(n), . Тогда A=<a₁, a₂. >, и тем самым мы перенумеровали элементы множества A.

Достаточность. Пусть элементы множества A перенумерованы, т.е. A=<a₁,a₂. >. Определим отображение f: или f(n)=a_n, . Очевидно, что f – биекция и поэтому N

A. Доказательство завершено.

Теорема 5.

Объединение конечного или счетного набора конечных или счетных множеств конечно или счетно.

Теорема 6.

Множество Q рациональных чисел счетно.

Доказательство этого утверждения сводится к правилу пересчета всех рациональных чисел.

Итак, мы познакомились с конечными и бесконечными множествами. Было показано, что надо понимать под мощностью множеств в каждом из рассмотренных случаев. Однако возникает вполне естественный вопрос – а существуют множества с мощностью большей, чем счетная?

Мощность континуума

Теорема 7.

Множество M = (0,1) несчетно.

Доказательство от противного.

здесь ; верхний индекс обозначает номер числа, а нижний – порядковый номер знака. Теперь образуем новое число по следующему правилу: , если , и 0, если . Тогда очевидно, что , но образованное таким образом новое число не совпадает ни с одним из пересчитанных чисел x_i. Следовательно, интервал (0,1) содержит, как минимум, на 1 точку больше, чем есть натуральных чисел, и его мощность не равна мощности множества натуральных чисел. Мы доказали, что множество точек интервала (0,1) не счетно.

Определение 12.

Множество A имеет мощность континуума, если оно эквивалентно множеству точек интервала (0,1). Мощность континуума обозначают буквой c.

Источник

Область определения функции

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Материал со звездочкой

Старшеклассникам нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, то равняться нулю не может. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решим квадратное уравнение x 2 + 4x + 3 = 0. Находим дискриминант:

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола f(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

Рассмотрим несколько примеров.

Область определения показательной функции

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Источник

Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения

Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

Начнем с базовых определений.

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Решение

Решение

Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Решение

Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

Решение

Решение

Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

Решение

Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

На нем видно, что областью значений функции будет интервал E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Ответ: E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Решение

Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Решение

Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Решение

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Решение

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Решение

Решение показано на графике:

Решение

Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:

Теперь найдем соответствующие значения функции:

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.

Источник