Что значит что функция определена в точке
Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода
Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.
Непрерывность функции в точке
Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.
Решение
Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:
на чертеже они обозначены зеленым цветом.
Соответствующая последовательность функций:
на рисунке обозначена синим цветом.
После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:
Устранимый разрыв первого рода
Решение
Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.
Неустранимый разрыв первого рода
Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.
Решение
Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:
Ответ: в конечном счете мы получили:
Нам остается только подготовить чертеж данного задания.
Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)
Решение
Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:
Ей соответствует последовательность значений функции:
Определение непрерывности функции в точке
Непрерывность в точке
Определение непрерывности
Определение непрерывности функции в точке
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x 0 , если она определена на некоторой окрестности U ( x 0) этой точки, включая саму точку, и если предел при x стремящемся к x 0 существует и равен значению функции в x 0 :
.
Здесь подразумевается, что x 0 – это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.
Если привлечь сюда определение конечного предела функции в конечной точке, то можно дать развернутую формулировку определения непрерывности функции. Поскольку имеется два равносильных определения предела функции (по Коши и по Гейне), то можно дать, как минимум, еще два эквивалентных определения непрерывности.
Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности.
По Гейне:
.
По Коши:
.
Определение отсутствия непрерывности
Непрерывность на концах отрезка
Определение непрерывности справа (слева)
Функция f ( x ) называется непрерывной справа (слева) в точке x 0 , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x 0 равен значению функции в x 0 :
.
Примеры
Пример 1
Используем определение по Гейне
Используем определение по Коши
Пример 2
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства
Определение дифференцируемой функции
Как мы увидим ниже, определение дифференцируемой функции одной переменной эквивалентно существованию ее производной. Тогда возникает вопрос – почему нельзя сразу дать определение, что дифференцируемая функция – это функция, имеющая производную?
Ответ на этот вопрос раскрывается при рассмотрении функций нескольких переменных. Дело в том, что производные вычисляются только от функций, зависящих от одной переменной. Для функций двух и более переменных, вначале выбирают направление приближения к заданной точке (например, ось x или ось y ), а затем по этому направлению вычисляют производную. Поэтому в любой точке имеется бесконечное множество производных по различным направлением. Из-за этого производные не фигурируют в определении дифференцируемой функции.
Свойства дифференцируемой функции
Таким образом, в случае функции от одной переменной, дифференцируемость функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке. Забегая вперед укажем, что в случае функций многих переменных, для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.
Доказательства теорем
Связь дифференцируемости функции с существованием производной
В нашем случае это означает, что
.
Отсюда
.
Связь дифференцируемости функции с ее непрерывностью
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Непрерывность функций с примерами решения и образцами выполнения
Непрерывность функции:
Непрерывные функции, точки разрыва и их классификация, действия над непрерывными функциями, свойства функций, непрерывных на сегменте.
Определение:
Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:
Если в точке x₀ функция непрерывна, то точка x₀ называется точкой непрерывности функции.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
в точке х = 1.
Решение:
Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке х = 1, необходимо проверить выполнение трех следующих условий (определение непрерывности):
Таким образом, доказано, что функция непрерывна в точке х = 1.
Замечание:
Формулу (10.1) можно записать в виде
(10.2) 
так как 
. Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.
Введем понятие непрерывности функции в точке х₀ справа и слева.
Если, существует 
f(x) = f(x₀), то функция называется непрерывной в точке x₀ слева. Аналогично определяется непрерывность функции справа.
Так как ∆x = x-x₀, a ∆y = f(x)-(x₀), то условие (10.1) равносильно следующему:
Определение:
Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
(10.3) 
Пример:
Показать, что функция у = х³ непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение:
Найдем приращение функции ∆y.
Используя теоремы о пределе суммы и произведения функции, получим
(3x²∆x 4- 3x∆x² + ∆x³) = 0.
Следовательно, функция у = х³ непрерывна при — ∞ Точки разрыва функции и их классификация
Определение:
Точка х₀ называется точкой разрыва функции у = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.
Так, например, функция 
(рис. 89) терпит разрыв при х = 1. Эта функция не определена в точке х = 1, и не существует предела функции в этой точке.
Рис. 89. График функции
Определение:
Точка разрыва x₀ функции у = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x₀ и они равны, т. е. 
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию
Решение:
В точке x=-1 функция не определена, так как, выполнив подстановку, получаем неопределенность 
. В других точках дробь можно сократить на (1 + х), так как в них 1 + х ≠ 0. Легко видеть, что односторонние пределы слева и справа в точке х = — 1 равны между собой и их можно вычислить:
Определение:
Если в точке x₀ односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x₀ называется точкой разрыва I рода.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию
(рис. 90).
Рис. 90. График функции
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке ее разрыва х = 4.
Предел слева —
.
Предел справа — 
.
Пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка x = 4 для данной функции — точка разрыва I рода (точка скачка).
Определение:
Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.
В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Функция 
, представленная на рис. 89, не имеет ни левого, ни правого конечного предела в точке х = 1. Следовательно, для данной функции x = 1 является точкой разрыва II рода.
Действия над непрерывными функциями
Теорема:
Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Если функции ϕ(x) и ψ(x) непрерывны в точке Хо, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть функция непрерывная.
Докажем непрерывность произведения.
Дано: непрерывность функций в точке x₀:
и 
Доказать, что f(x) — ϕ(x) ∙ ψ(x) есть функция непрерывная в точке x₀, т. е. 
f(x) — f(x₀).
Доказательство:
f(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x) = ϕ(x₀) ∙ ψ(x₀) = f(x₀).
Можно строго доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.
Например, степенная у = xⁿ, показательная у = 
, тригонометрические у = sin х и у = cos х функции непрерывны на всей числовой оси (х ∈ R), логарифмическая функция 
непрерывна при х > 0, а тригонометрическая у = tg x непрерывна в каждом из интервалов 
и терпит разрыв II рода в точках 
(k = 0; ±1; ±2;…).
Теорема:
Непрерывность сложной функции. Если функция и = ϕ(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке и₀ = ϕ(x₀), то сложная функция у = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x₀.
В заключение этого раздела рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Пример:
Вычислить 
Решение:
Заметим, что при х → 0 числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразование
Так как данная логарифмическая функция непрерывна в окрестности точки х = 0, то можно перейти к пределу под знаком функции ( f(x)= f (x)).
но 
— второй замечательный предел.
Следовательно,
(10.4) 
В частности, при а = е
(10.5) 
Таким образом, у = ln( 1 + х) и у = х — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.
Пример:
Вычислить 
Решение:
Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив — 1 = t. Тогда 
. При х → 0 также и t → 0.
Так как на основании результата, полученного в предыдущем примере, 
то
(10.6) 
В частности, если а = е, имеем
т.е. у = 
— 1 и y = x — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.
Свойства функций, непрерывных на сегменте
Определение:
Функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], если она непрерывна во всех внутренних точках Этого сегмента, а на концах сегмента (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева.
Теорема:
Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и(или) наименьшего значения.
Простым доказательством этой теоремы, является геометрическая иллюстрация функции у = f(x) на рисунке 91. Непрерывная на сегменте [α, b] функция достигает наименьшего своего значения в точке х = x₁= а, а наибольшего значения в точке х₂.
Рис. 91. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.3
Следствие:
Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.
Действительно, если по теореме 10.3 функция достигает на сегменте наибольшего M и наименьшего т значений, то имеет место неравенство m ≤ f(x) ≤ M для всех значений функции на рассматриваемом сегменте. Т. е. |f(x)| ≤ M и, следовательно, функция у = f(x) ограничена на сегменте [а, b].
Теорема:
Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] и на ее концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна тонка С, в которой функция равна нулю.
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции у = f(x), соответствующие концам сегмента [a, b], лежат по разные стороны от оси ОХ, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX. На данном рисунке 92 это три точки x₁, x₂, x₃.
Рис. 92. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.4
Теорема:
О промежуточных значениях функции. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [α, b] и f(α) = A и f(b) = В, то для любого числа С, заключенного между A и B, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что f(c) = С.
Из графика на рисунке 93 видно, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.
Рис. 93. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.5
Теорема:
О непрерывности обратной функции.) Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] в возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция х = f⁻¹(y) на соответствующем сегменте оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.
Эту теорему мы принимаем без доказательства.
Решение на тему: Непрерывная функция
Пример:
Показать, что функция у = 4x² непрерывна в точке х = 2.
Решение:
Для этого необходимо показать, что в точке х = 2 выполняется все три условия непрерывности функции:
1) функция у = 4х² определена в точке х = 2 ⇒ f(2) = 16;
2) существует 
f(x) = 4x²= 16;
3) этот предел равен значению функции в точке х = 2
f(x) = f(2) = 16.
Пример:
Показать, что функция у = sin x непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение:
Найдем приращение функции ∆y, используя формулы тригонометрических тождеств
Так как 
то при любом х имеем
Эта функция (рис. 94) определена во всех точках сегмента [0,4] и ее значение при х = 3 ⇒ у = 2. Функция терпит разрыв, так как она не имеет предела при х → 3 :
Следовательно, точка х = 3, точка разрыва первого рода. При этом в граничных точках исследуемого сегмента [0,4], функция f(x) непрерывна справа (х = 0) и непрерывна слева (х = 4).
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
В точке х = 5 функция не определена, т.к., выполнив подстановку, получаем неопределенность вида 0/0. Легко доказать, что
Следовательно, точка х = 5 точка устранимого разрыва.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
В точке х = 0 функция (рис. 95) терпит разрыв, так как она не определена в этой точке. Пределы функции слева и справа от точки х = 0 равны ∞. Следовательно, точка х = 0 для данной функции является точкой разрыва второго
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
В точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода, так как односторонние пределы существуют в этой точке, но не равны:
предел слева 
предел справа 
Рис. 95. График функции
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
.
Решение:
Рис. 96. График функции
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
Функция 
не определена в точке х = 0. Точка х = 0 является точкой разрыва I рода, так как при х → 0 существуют пределы справа и слева:
Если доопределить функцию в точке х = 0, полагая f(0) = 1, то получим уже непрерывную функцию, определенную так:
f(х) =, если х ≠ 0; f(0) = 1.
Доопределив функцию в точке х = 0, мы устранили разрыв.
Непрерывность функций
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института