Что значит число делится на число
Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики
В этой статье – необходимая теория для решения задачи 18 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.
Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.
Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.
Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
последняя цифра числа четная;
сумма цифр числа делится на 3;
число заканчивается на 0 или на 5;
сумма цифр числа делится на 9;
последняя цифра числа равна 0;
суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.
Алгебра
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Понятие делимости и ее основные свойства
Напомним суть операции деления. Она является обратной для операции умножения. Пусть есть три числа, a, b и c, причем для них справедливо соотношение
В таком случае говорят, что a является произведением b и c. Тогда результатом деления числа a на b называют число с.
Если в результате деления числа а на b получилось целое число с, то говорят, что а делится на b.
Так, число 30 делится на 6, потому что при делении 30 на 6 получается целое число 5:
Иногда в математике используют выражение «делится нацело». Оно означает тоже самое, что и просто слово «делится». Например, 81 делится нацело на 3:
Порою в математике используют чуть более сложное определение делимости:
Видно, что оно похоже на определение операции деления. Его удобно использовать при доказательстве некоторых свойств делимости.
Понятие делимости определено только для целых чисел. Например, при делении 12,5 на 2,5 получается целое число:
однако никто не говорит, что 12,5 делится на 2,5.
Если число а делится на b, то b называют делителем числа a, а также говорят, что а – кратно b, или а является кратным b.
Рассмотрим несколько примеров:
Очевидно, что у каждого числа есть бесконечное количество кратных ему чисел. Так, числу 7 кратны числа 7, 14, 21, 28 и т.д.Ряд можно продолжать бесконечно, просто умножая 7 на каждое следующее натуральное число:
А вот количество делителей ограничено. Так, число 15 делится только на 1, 3, 5, 15, а также на –1, –3, –5 и –15. Есть одно исключение – ноль делится на любое целое число (кроме нуля), а потому имеет бесконечное число делителей. Стоит уточнить, что часто под делителями натурального числа понимают только другие натуральные числа, то есть отрицательные делители не учитывают.
Теперь рассмотрим некоторые свойства делимости чисел (для удобства будем пронумеровывать правила, чтобы было легче ссылаться на них).
Действительно, при делении целого числа на себя получается единица:
Ноль является исключением, поскольку деление на ноль не допускается в алгебре.
При делении на единицу число не меняется:
поэтому, если а – целое, то после деления на единицу оно останется целым.
Приведем пример. 128 делится на 16:
В свою очередь 16 делится на 4:
Значит, и 128 делится на 4:
Теперь докажем это свойство более строго. Если а делится на b, а b делится нацело на c, то, по определению делимости, должны существовать такие целые m и k, для которых выполняются равенства:
Подставим второе равенство в первое
Так как произведение целых чисел k и m само является целым, то, опять-таки по определению делимости, а делится нас.
Тоже самое доказательство поясним на конкретных числах.
Пусть 210 делится нацело на 30, а 30 делится на 6. Тогда требуется доказать, что 210 делится на 6 (не выполняя самого деления). 210 можно представить в виде
в свою очередь 30 можно записать как
Теперь подставим вторую запись в первую:
150 = 30•7 = (6•5)•7 = 6•(5•7)
Так как числа 5 и 7 целые, то целым является и их произведение, следовательно, 150 делится на 6.
24 2 :12 2 = 576:144 = 4
Докажем строго это свойство. По определению можно записать равенство
Возведем правую и левую часть равенства в степень n:
а n = (сb) n = c n b n
Делимость суммы чисел
Существуют свойства, которые позволяют определить делимость суммы, даже не вычисляя ее.
Например, числа 3, 6, 9, 12, 15, 18 делятся на 3, поэтому и их сумма должна быть кратна 3:
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63
Докажем это для случая с тремя слагаемыми. Пусть числа а, b и с делятся на р. Тогда можно записать выражения
Упростим сумму слагаемых, вынеся множитель p за скобки:
а + b + c = tр + sp + wp = p(t + s + w)
Ясно, что сумма целых чисел t + s + w сама является целой. Следовательно, сумма а + b + c делится на р (по определению).
Естественно, что обратное утверждение ошибочно. Из того факта, что сумма чисел делится на число, не следует, что на него делятся и слагаемые. Например, сумма 5 + 11 + 17 делится на 3:
Однако по отдельности 5, 11 и 17 на тройку не делятся.
Доказанный признак делимости суммы можно использовать при решении некоторых задач.
Пример. Докажите, не используя калькулятор, что число 736263 делится на 737.
Решение. Представим число 736263 как сумму:
736263 = 737000 – 737 = 737000 + (– 737)
Очевидно, что оба слагаемых делятся на 737:
Значит, и их сумма, то есть 736263, делится на 737.
В данном случае мы представили 736263 как сумму положительного и отрицательного числа. Однако делать это было необязательно, так как верно следующее правило:
Доказательство этого факта производится абсолютно также, как и доказательство для суммы чисел.
Следующее свойство помогает доказать неделимость чисел:
Пусть даны числа 40, 44, 48, 52 и 53. Все они, кроме числа 53, кратны 4. Значит, их сумма недолжна делиться на 4 (из-за единственного слагаемого 53). Действительно
40 + 44 + 48 + 52 + 53 = 237
Доказать это очень просто. Покажем это на примере 3 слагаемых. Пусть а и b кратны с, а d ему не кратно. Тогда сумму а, b и d можно представить так:
Поделим эту сумму на с:
((a + b) + d) = (а + b):c + d:с
Ясно, что величина (а + b):c будет целым числом. По условию d:c – дробное число, ведь d не делится на с. Однако сумма дробного и целого числа всегда является также дробным числом. Следовательно, сумма а + b + d не делится на с.
Это свойство очень полезно, так как с его помощью доказываются почти все признаки делимости чисел.
Аналогично можно доказать, что если разность двух чисел не делится на c, если одно из этих двух чисел делится, а второе не делится на с. Например, разность
не кратна 17, так как 17000000 делится на 17, а 16 – нет.
Однако нельзя сформулировать каких-либо правил для тех случаев, когда уже два и более слагаемых не делятся на какое-то число. Так сумма 22 + 44 делится на 6, хотя по отдельности ни 22, ни 44 не кратны 6.
Пример. Делится ли на 29 сумму чисел 58, 290, 2900, 20 и 9?
На первый взгляд, здесь есть два слагаемых, не кратных 29 – это 20 и 9, поэтому сразу ответить на вопрос задачи не получится. Преобразуем сумму, сложив отдельно слагаемые, не кратные 29:
58 + 290 + 2900 + 20 + 9 = 58 + 290 + 2900 + (20 + 9) =
Теперь у нас получилась сумма, где все слагаемые кратны 29, значит, и вся сумма делится на 29.
Пример. Кратна ли 31 сумме слагаемых 310, 62, 620, 93, 11, 10 и 12?
Решение. Здесь есть три слагаемых, не кратных 31: 11, 10 и 12. Сделаем из них одно слагаемое, преобразовав выражение:
310 + 62 + 620 + 93 + 11 + 10 + 12 = 310 + 62 + 620 + 93 + (11 + 10 + 12) =
= 310 + 62 + 620 + 93 + 33
Получили сумму, в которой все слагаемые, кроме 33, кратны 31. Значит, вся сумма не делится на 31.
Делимость произведения чисел
Следующее свойство касается уже делимости произведения чисел.
Приведем пример. Число 35 делится на 5, поэтому и произведение 35 и, скажем, 7 также делится на 5:
Докажем этот факт. Пусть даны числа а и b, причем а кратно с. Тогда можно записать, что
где p какое-то целое число. Произведение а и b можно представить так:
Так как произведение целых чисел p и b также является целым, то получили, что произведение а•b кратно с.
Проиллюстрируем это же доказательство на конкретном примере. Пусть есть произведение чисел 30 и 8 (30•8 = 240). Известно, что 30 делится на 6. Докажем, что и произведение 30•8 кратно шести. По определению делимости можно записать, что:
Подставим это равенство в произведение:
Так как произведение 5•8, очевидно, целое, то по определению делимости 30•8 делится нацело на 6.
Покажем это на примере 33 и 36. 33 кратно 11, а 36 делится на 12. Из этого следует, что произведение 33•36 делится на 11•12. Проверим это:
Докажем это свойство делимости произведения. Пусть а делится на с, а b кратно d. Тогда можно записать равенства
где p и k – какие-то целые числа. Тогда произведение аb будет выглядеть так:
Это значит, что ab делится на cd, так как произведение pk является целым числом.
Рассмотрим, как на координатной прямой располагаются кратные числа. Числа, кратные 2, показаны красным цветом:
Каждое следующее кратное получается при добавлении к предыдущему двойки:
Видно, что среди двух соседних чисел одно обязательно делится на 2.
Теперь посмотрим на расположение чисел, кратных 3 (отмечены зеленым цветом):
Здесь работает тот же принцип. Первым кратным является ноль, а каждое следующее кратное получается добавлением к предыдущему тройки:
Также можно увидеть, что среди трех последовательных чисел одно обязательно будет кратно 3.
Наконец, посмотрим на расположение чисел, кратных 4 (синий цвет):
Здесь можно отметить, что среди любых 4 последовательно идущих чисел (например, 11, 12, 13, 14) ровно одно будет делиться на 4.
Обобщая всё это, можно сформулировать такое правило:
Из этого, в свою очередь, следует следующее утверждение:
Действительно, если хоть один множитель произведения кратен n, то и всё произведение будет кратно n. А среди n последовательных множителей найдется тот, который кратен n.
С помощью этого утверждения можно сразу сказать, что, например, произведение 2522•2523•2524 кратно 3.
Теперь рассмотри несколько задач, в которых используются описанные свойства.
Пример. Делится ли выражение 3 11 + 9 6 + 27 3 на 111?
Представим все слагаемые как степени тройки:
3 11 + 9 6 + 27 3 = 3 11 + (3 2 ) 6 + (3 3 ) 3 = 3 11 + 3 2•6 + 3 3•3 =
= 3 11 + 3 12 + 3 9 = 3 9 (3 2 + 3 3 + 1) = 3 9 (9 + 27 + 1) = 3 9 •37
Далее преобразуем выражение, «забрав» одну тройку у 3 9 и «передав» ее 37:
3 9 •37 = 3 8 •3•37 = 3 8 •(3•37) = 3 8 •111
Итак, исходное выражение можно представить как произведение, причем один из множителей будет кратен 111. Значит и всё выражение делится на 111.
Пример. Имеет ли уравнение
66х 5 + 9х 3 + 36х + 40 = 0
целый корень, который НЕ является делителем числа 40?
Решение. Предположим, что такой корень существует, обозначим его как k. Тогда при его подстановке в уравнение получим верное равенство:
66k 5 + 9k 3 + 36k+ 40 = 0
Теперь поделим обе части уравнения на k:
66k 4 + 9k 2 + 36 + 40/k = 0
Кстати, для приведенного выше уравнения можно доказать, что у него и вовсе отсутствуют целые корни. Попробуйте это сделать самостоятельно.
Прежде, чем рассмотреть следующую задачу, напомним уже известные нам три факта о сумме четных и нечетных чисел:
Пример. Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.
Решение. Известно, что любое нечетное число можно представить в виде
где n – какое-то целое число:
Обозначим первое нечетное число как 2m + 1, а второе как 2р + 1, тогда разность их квадратов, используя формулу сокращенного умножения, можно записать так:
(2m + 1) 2 – (2р + 1) 2 = (2m + 1 + 2р + 1)(2m + 1 – (2р + 1)) =
= (2m + 2p + 2)(2m – 2p) = 2(m + p + 1)•2(m – p) =
Далее следует рассмотреть два случая:
1) Предположим, что m и p являются одновременно либо четными, либо нечетными. Математики говорят в таком случае, что числа m и p имеют одинаковую четность. Тогда разность (m – p) также будет четной, то есть она делится на 2. Получаем, что в произведении
первый множитель делится на 4, а третий – на 2. Тогда и всё произведение, по правилу 8, делится на 4•2 = 8.
2) Теперь предположим, что одно из чисел m и p является нечетным, а другое четным. То есть они имеют разную четность. Тогда сумма (m + p) будет нечетной, а сумма (m + p + 1), наоборот, четной. Получается, что в произведении
первый множитель делится на 4, а второй – на 2. И тогда, снова по правилу 8, всё это произведение должно делиться на 4•2 = 8.
Пример. Есть ли на графике уравнения
2х + 6у = 11
хотя бы одна точка, имеющая целочисленные координаты?
Поделим исходное уравнение на 2:
Предположим, что существует точка с целыми координатами х и у, лежащая на графике этого уравнения. Если подставим ее координаты в уравнение, то в левой части получим, очевидно, какое-то целое число. В правой же части стоит дробное число 5,5. Получается противоречие, значит, точки с целочисленными координатами не существует.
Ответ: такой точки нет.
Деление с остатком
Сейчас мы знаем, что при делении чисел может получиться дробный ответ:
Однако в младшей школе, когда дробные числа ещё не были изучены, использовалось деление с остатком:
Остаток должен быть меньше, чем делитель. Если вычесть из делимого остаток, то получится число, кратное делителю:
Если же остаток получился равным нулю, то имеет место деление без остатка.
Сформулируем строгое определение для операции «деление с остатком»:
Число 75 можно представить как
поэтому результатом деления 75 на 10 будет
Условие 0 ⩽d 2 = 16n 2 = 4•4n 2 + 0 (остаток от деления на 4 равен 0)
(4n + 1) 2 = 16n 2 + 8n + 1 = 4(4n + 2n) + 1 (остаток равен 1)
(4n + 2) 2 = 16n 2 + 16n + 4 = 4(4n 2 + 4n + 1) + 0 (остаток 0)
(4n + 3) 2 = 16n 2 + 24n + 9 = 4(4n 2 + 6n + 2) + 1 (остаток 1)
Получается, что при делении квадрата любого числа на 4 получается либо остаток, равный 1, либо нулевой остаток (то есть имеет место деление нацело).
Принцип Дирихле
Иногда при решении задач, связанных с делимостью чисел, помогает использование принципа Дирихле. Звучит он так:
Формулировка довольно сложная, поэтому для простоты часто используют пример с голубями и клетками:
Посмотрите на рисунок, где изображены 10 голубей и 9 клеток:
Действительно, здесь не получится распределить птиц по клеткам так, чтобы в каждом была не более чем одна птица. Однако на этом принцип Дирихле не исчерпывается. Что можно сказать о случае, когда животных меньше, чем клеток? Ясно, что одна из них останется пустой.
На рисунке показан случай, когда есть 7 голубей и 9 клеток:
Пусть есть поле, разбитое на 4 квадрата. На нем размещено 9 кругов:
Ясно, что в одной из клеток будет более 1 кружочка. Но более того, в одном из них обязательно окажется более 2 кругов! Действительно, даже если в каждом квадрате находилось бы ровно 2 фигуры, то тогда их общее количество равнялось бы 4•2 = 8, а их 9. Но также ясно, что хотя бы в одном квадрате будет менее 3 кругов.
Здесь мы приходим к связи между принципом Дирихле и делением с остатком. Если поделить 9 на 4, то получим 2 и в остатке 1:
2 – это неполное частное. Получается, что отношение 9/4 находится как бы между числами 2 и 3:
60 = 2•30 = 2•2•15 = 2 2 •15
144 = 2•72 = 2•2•36 = 2•2•2•18 = 2•2•2•2•9 = 2 4 •9
64 = 2•32 = 2•2•16 = 2•2•2•8 = 2•2•2•2•4 = 2•2•2•2•2•2 = 2 6 •1
Если же число нечетное, то его можно записать как произведение нечетного числа и двойки в нулевой степени:
Получается, что любое натуральное число z можно представить в виде
где n – неотрицательное целое число, а k – нечетное число, которое, очевидно, не больше самого z.
Представим в таком виде все числа от 1 до 10000. При этом в качестве нечетного числа k мы сможем использовать только те 5000 нечетных чисел, которые не больше 10000. Теперь выберем 5001 число. В силу принципа Дирихле ясно, что хотя бы у двух из них число k будет совпадать. Но если у двух чисел это число k совпадает, то одно из них обязательно делится на другое!
Действительно, пусть одно число представимо как 2 n •k,а второе как 2 m •k, причем n>m. Тогда получаем
то есть при делении 2 n •k на 2 m •k получается целое число – какая-то степень двойки. Например, число 144 представимо как
поэтому 144 делится на 36:
Так как число k может принимать только 5000 значений (именно столько нечетных чисел находится между 1 и 10000), а нам надо сформировать множество из 5001 числа, то по принципу Дирихле мы в любом случае выберем два числа с одинаковым k. Одно из них будет делиться нацело на другое, поэтому сформировать требуемое множество не удастся.
Признаки делимости
На практике очень часто требуется быстро оценить, делится ли число на какое-либо другое число, не выполняя при этом саму операцию деления. Для ряда чисел существуют признаки делимости, которые позволяют произвести такую оценку.
Простейшим является признак делимости на 2:
Например, на 2 делятся числа:
Не кратны двойке числа, заканчивающиеся нечетной цифрой:
Теперь докажем признак делимости чисел на 2. Любое десятичное число можно представить как сумму нескольких десятков и единиц, например:
123456789 = 12345678•10 + 9
В общем случае эта запись будет выглядеть так:
где a – какое-то целое число
Ясно, что слагаемое 10а делится на 2, так как один из множителей этого произведения (10) кратен 2. Поэтому если b четное, то все слагаемые в сумме делятся на 2, следовательно, вся сумма кратна 2. Если же b – нечетная цифра, то получаем сумму, в которой ровно одно слагаемое не делится на 2, а значит, и вся сумма не кратна 2.
Далее рассмотрим признак делимости на 5:
Это значит, что на 5 делятся лишь числа, оканчивающиеся нулем или пятеркой, например:
Доказательство этого признака почти совпадает с предыдущим. Любое число можно переписать как сумму
первое слагаемое 10а делится на 5. Если и b (а это и есть последняя цифра) будет делиться на 5, то, по правилу 4, и вся сумма кратна пяти. Если же b не делится нацело на 5, то в силу правила 6 сумма на пять не делится.
Далее узнаем, как быстро определить, делится ли число на 4:
Приведем следующие примеры чисел, делящихся нацело на 4:
Доказательство этого признака построено на том, что целые числа можно переписать как сумму нескольких сотен и единиц:
123456789 = 1234567•100 + 89
В общем случае эта запись выглядит так:
где b – это число из двух последних цифр. И снова можно утверждать, что слагаемое 100а кратна 4, а значит, именно отделимости b на 4 зависит, будет ли и вся сумма кратна 4.
Так как 100 кратно ещё и 25, то абсолютно аналогично доказывается следующее утверждение:
То есть 25 кратны только те числа, которые оканчиваются на 00, 25, 50 или 75:
Доказательство аналогично доказательству для делимости на четверку.
Далее мы узнаем, какие числа кратны 8:
Так, будут кратны 8 следующие числа:
Если же последние три цифры не кратны 8, то и всё число не кратно восьмерке:
Для доказательства утверждения будем записывать числа как сумму тысяч и единиц:
1356845 = 1356•1000 + 845
В общем случае такое представление будет выглядеть так:
где b состоит из трех последних цифр числа. Слагаемое 1000а делится на 8 при любом значении а, поэтому делимость всей суммы 1000а + b на 8 зависит исключительно от того, кратно ли b восьми.
Еще раз проясним момент, почему иногда мы смотрим только на одну последнюю цифру, а иногда на 2 или даже 3 цифры. Любые целые числа можно при необходимости разложить на сумму десятков, сотен или тысяч и единиц:
6563 = 656•10 + 3 (это разложение используется для проверки делимости на 2)
6563 = 65•100 + 63 (используется для проверки делимости на 4)
6563 = 6•1000 + 563 (используется для проверки делимости на 8)
Слагаемое, содержащее 10, делится на 2, поэтому для проверки делимости на эти числа достаточно проверить одну последнюю цифру. Однако 10 не делится на 4, поэтому для четверки такой способ НЕ подходит. Зато на 4 делится 100, поэтому можно проверить две последние цифры. Наконец, 100 не делится нацело на 8, зато на восьмерку делится 1000, поэтому здесь проверяют три последние цифры
К сожалению, для числа 3 похожий метод (проверка последних цифр) НЕ подходит. Вместо этого необходимо проверять сумму всех цифр:
Так, кратны трем будут числа:
Не кратны трем будут числа, у которых цифры в сумме не делятся нацело на 3:
Теперь докажем признак делимости на 3. Все числа можно представлять как сумму различных степеней двойки
256 = 2•100 + 5•10 + 6•1 = 2•10 2 + 5•10 1 + 6•10 0
4567 = 4•10 3 + 5•10 2 + 6•10 1 + 7•10 0
Собственно, на этом и основана десятичная система счисления. Рассмотрим для примера шестизначное число, которое состоит из цифр abcdef. Его можно представить так:
abcdef = a•10 5 + b•10 4 + c•10 3 + d•10 2 + e•10 1 + f =
= a•100000 + b•10000 + c•1000 + d•100 + e•10 + f =
=99999a + a + 9999b + b + 999c + c + 99d + d + 9e + e + f =
= (99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e) + (a + b + c + d + e + f)
Получили сумму двух слагаемых. Первое из них,
(99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e)
очевидно, делится на 3, так как числа, состоящие из одних 9, кратны 3:
Второе же слагаемое,
как раз и представляет собой сумму цифр исходного числа. Именно от его кратности тройке зависит, будет ли всё число делиться на 3.
Так как числа, состоящие исключительно из девяток, делятся не только на 3, но и на 9, то абсолютно аналогично доказывается признак делимости на 9:
Так, кратны 9 числа:
Отметим, что существует ещё много признаков делимости для таких чисел, как 7, 11, 13, 17 и т. д, но они достаточно сложные и не очень нужны на практике. Однако есть одно важное правило
Например, если число кратно 3 и 5, то оно делится и на 3•5 = 15, например:
Этот факт следует из того, что любое составное число раскладывается на простые множители. Например, разложение числа 105 выглядит так:
Естественно, что среди простых множителей окажутся именно те числа, на которые делится разлагаемое число. Вспомним уже изученное правило, что если в произведении есть множители, кратные m и n, то всё произведение кратно и mn. Из этого следует, что число делится на произведение простых чисел исключительно в том случае, когда оно кратно каждому из этих простых чисел.
Это свойство помогает сформулировать ещё несколько правил делимости:
Рассмотрим отдельно деление на десять. Число кратно двум, если оно оканчивается цифрами 0, 2, 4, 6 или 8. На 5 же оно делится, если в конце стоит 0 или 5. Получается, что число может одновременно делиться и на 2, и на 5 исключительно в том случае, если его последняя цифра – ноль.
Ещё раз уточним, что каждый из приведенных признаков делимости может использоваться только для своего числа. Ни в коем случае нельзя, например, при проверке делимости 9 использовать признаки делимости на 2 или 10.