Что означают квадратные скобки в неравенстве
Общая характеристика
Главная задача знаков — описание этапов осуществляемых действий. Математическое уравнение или выражение имеет одиночную пару квадратных, фигурных и других скобок, а также может использовать их некоторое количество.
Значение и разновидности
Скобки — это парные знаки, используемые во всевозможных областях. Чтобы правильно выстроить фразу в русском языке, для понимания смысла текста в предложении они употребляются как знаки препинания. С начальных классов школы изучают основы этих знаков.
В расчетах первая из скобок считается открывающей, а вторая — замыкающей. Оба знака соответствуют друг другу, но также используются те, в которых открытие или закрытие не различается (косые /…/, прямые скобки |…|, двойные прямые ||…||. Раскрывать значение можно чаще всего в математике, физике, химии и остальных науках для указания важности выполнения операции в формулах. На компьютерной клавиатуре представлены все виды знаков препинания.
Разновидности:
Открытие круглых () произошло в 1556 году для подкоренного выражения. По правилу первым выполняется действие внутри знака, затем произведение или определение частного (деление), а в конце — суммирование и разница.
В Microsoft word, Excel включена электронная конфигурация этих знаков. Часто используемые виды скобок, следующие: (), [ ], < >(), [ ], < >. Также встречаются двойные, называемые обратными (]] и [ [) или > в виде уголка. Их использование является двойственным — с открывающейся и замыкающей скобочкой.
Основные цели квадратной скобки в математике:
Другие варианты расчета:
Квадратные скобки в математике обозначают, что действие выполняется последовательно. Эти знаки позволяют разграничить операции.
Треугольные актуальны в теории групп. Правило записи ⟨ a ⟩ n характеризует циклическую группу порядка n, сформированную элементом a.
Круглые (операторные) () используются в математике для описания первостепенности действий. Например, (1 +5)*3 означает, что нужно сначала сложить 1 и 5, а затем полученную величину перемножить на 3. Наряду с квадратными, используются для записи разных компонент векторов, матриц и коэффициентов.
На уроке математики преподаватель объясняет, как раскрыть скобки в уравнении для последующего решения. Фигурная одинарная < встречается при решении систем уравнений, обозначает пересечение данных, а [[ используется при их слиянии.
Одинарные или двойные выражения
Употребление [] происходит реже. Одно уравнение со скобками объединяет несколько значений или неравенств различных размеров. Для решения совокупности нужно выполнить любое условие. Конец, завершение действия замыкает закрывающий знак.
В персональных компьютерах, ноутбуках, нетбуках встроена кодировка Юникод, закрепленная не за левыми или правыми объединяющими знаками, а за открывающими и замыкающими, поэтому при воспроизведении печатного текста со скобочками в режиме «справа налево» каждый знак меняет внешнее направление на обратное.
Квадратные скобки в уравнении означают, что установлен порядок действий, задаются границы промежутков и необходимость выполнения действия над выражением. Двойные квадратные скобки необходимы для записи выражений наряду с круглыми для рационального порядка действий.
По правилам интервал [−a;+a] записывается в виде нестрогого неравенства −a≤x≤a, означающего, что x находится на промежутке от −a до a включительно.
В середине парного знака с отделяющей точкой или запятой указываются два числа — наименьшее, затем большее, ограничивающие интервал. Круглая скобочка, прилегающая к цифре, означает невключение числа в промежуток, а квадратная — добавление.
В некоторых учебных пособиях для вузов встречаются расшифровки числовых интервалов, в которых вместо круглой скобочки (применяется обратная квадратная скобка ], и наоборот. В обозначениях запись ]0, 1[ равносильна (0, 1).
Открытая квадратная скобка (символ [) значит, что совокупность представляет систему уравнений разных размеров, для которых справедливы все множества решений для каждого уравнения, входящего в общее задание. Например, [x+11=2yy2−12=0
Прежде чем решать задачу или выполнять задание, нужно правильно определить принципы действий. В некоторых случаях скобочки могут быть не нужны, а иногда их обязательно нужно поставить.
Прочие знаки
Для математических, алгебраических и прочих расчетов важно знать различие обобщающих знаков. От правильности вычислений зависит итоговый результат.
Удобство записи системы уравнений
Применение фигурных знаков относится к представлению совмещения множеств. При решении системы с фигурной скобкой уравнения пересекаются, а [] объединяет их.
Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:
— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:
В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.
Отрезки и интервалы: в чем разница?
Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:
Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:
На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.
Метод интервалов для нестрогих неравенств
К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:
Задача. Решите строгое неравенство:
Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:
( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;
Отмечаем полученные корни на координатной оси:
Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:
Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:
Задача. Решите нестрогое неравенство:
Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:
( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;
Отмечаем полученные корни на координатной оси:
В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:
Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:
Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:
Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.
Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках
У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем
Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.
— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.
Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.
Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.
Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:
Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:
Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:
Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.
То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:
Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.
Примеры решения неравенств
В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.
Как обычно, приравниваем все к нулю:
( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:
Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:
Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:
Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:
x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0
x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.
x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].
Как репетитор по математике оформляет объединение систем
Системы уравнений и неравенств входили в состав выпускных и вступительных экзаменов по математике во все времена. Даже если в экзаменационном варианте нет прямого задания на решение системы, то существует достаточно высокая вероятность ее появления процессе решения других задач. Репетитор по математике обязан это учитывать. Привести к системам могут задачи на модули, на логарифмы, на графики и даже на синусы с косинусы. Несмотря на то, что подготовка к ЕГЭ по математике нередко сводится к натаскиванию на решение однотипных номеров части «В», не стоит полностью отказываться от тренировки навыков поиска пересечения (объединения) ответов разных объектов. Хотя бы на элементарном уровне. Какими приемами репетитор по математике обеспечивает оптимальную работу ученика с системами? Какая техника оформления систем была бы самой удобной и продуктивной?
К сожалению, школьные учителя и даже некоторые профессиональные репетиторы требуют от детей (уже в 8 классе) оформление систем по принципу «все в одном», упаковывая содержащиеся в них неравенства в единый объект согласно строгим правилам проведения равносильных преобразований. Широко применяются квадратные и фигурные скобки, причем часто в весьма сложном сочетании. Мой опыт репетиторской работы свидетельствует о том, что дети с огромнейшим трудом воспринимают, казалось бы, несложные для математиков логические конструкции с конъюнкциями и дизъюнкциями. Примерно 60-70% всех школьников с трудом припоминают (или не знают вообще) чем отличается квадратная скобка от линейной. А среди тех, кто приходит к репетитору по математике, этот процент повышается в среднем до 90-95%.
Но, тем не менее, для обозначения объединения, некоторые школьные преподаватели все равно используют квадратные скобки. Видимо по привычке. При таком раскладе репетитор по математике оказывается в крайне сложном положении, ибо уровень ученика часто не позволяет осознать сложные логические сочетания. Я не сторонник любой ценой следовать школьным стандартам и часто полностью отказываюсь от постановки квадратных скобок. Без них проще. Особенно когда на носу подготовка к ЕГЭ. Если все же репетитор математики вынужден принимать школьные правила, он мог бы это сделать следующим образом:
Когда репетитор по математике вводит квадратную скобку?
Как видите, используется самое простое сочетание. Скобку лучше всего ввести после того, как ученик поймет суть задания. А она заключается в том, чтобы подобрать числа, обеспечивающие выполнение хотя бы одного неравенства (я употребляю общий термин: «условие»). Фразу «хотя бы одного» репетитор по математике сразу же меняет на фразу «или одно или другое». Процент учеников, правильно нашедших репетитору ответ, оказывается не таким и уж низким. Половина детей схватывают суть задания сразу же. Другим нужно показывать, как проверяется наугад взятое число (главное не объяснять только словами).
Данный номер рассматривается репетитором сразу после примера на совокупность, то есть на поиск числа, обеспечивающего выполнение каждого условия:
К сожалению, родители редко приглашают репетитора по математике в 8 классе и подготовкой к ЕГЭ занимаются только с 10 или с 11 класса. В этом случае репетитору приходится объяснять оформление объединения по формальному признаку фигурной скобки: если для проверки произвольно взятого числа достаточно проверить верность одного из нескольких условий (неравенств, уравнений или их систем), то проверяемые объекты можно заключить в квадратную скобку. Корректируя общую формулировку, репетитор по математике вставляет в нее союз «или». Например, для того, чтобы число x было корнем уравнения 
необходимо чтобы или первый множитель равнялся нулю, или второй. Преподаватель отдельно акцентирует внимание ученика на участии «или» и в случае его уместного употребления разрешает заключить объекты в квадратную скобку.
Если репетитор математики примет строгое оформление, он усложнит ученику одновременно и понимание и практическую работу. Школьные учителя берут за образец оформление систем в задачниках, в которых решения излагаются кратко. 
Из-за пропусков некоторых его частей удается компактно расписать все равносильные переходы, сохраняя целостность объекта. Репетитору по математике данная методика не подходит категорически. Почему? Ученики начинают вырывать по отдельности неравенства из огромной системы через весьма приличные промежутки времени. Переключение внимания на частные операции сбивает школьников с главного направления. Они забывают что именно им надо пересекать, а что объединять. Путаница возникает страшная. Хорошо, если репетитор по математике рядом и сможет подсказать. А что делать на ЕГЭ? Вряд ли стоит рисковать. Техника действий должна быть максимально прозрачной и удобной в практическом смысле.
Принимая квадратную скобку, репетитор по математике усложняет еще и сортировку решенного. Приходится оформлять отдельные неравенства в колонку (одно под другим) и запоминать какое именно решено, а какое еще нет. Если сами решения длинные, то ученику может не хватить страницы и придется ее переворачивать. Рассеивание внимания при этом гарантировано.
Может ли репетитор по математике обойтись без квадратной скобки
Да, вполне. Для этого применяются стрелочный эквивалент. Например: 
Чаще всего в объединение попадают две системы (если больше — лучше использовать иные методы изначально). В нашем случае одна из систем решается в левой части тетрадного листа, а другая в правой. Репетитор по математике разделяет квадратную скобку на две совокупности отдельных систем. На мой взгляд, это самая удобная форма для практической работы ученика. Почему? Те ответы, которые нужно пересечь, распределены по колонкам, при этом операции в левой и в правой колонке проводятся локально и не перемешиваются. Слева — свое пересечение, справа — свое. Очень удобно. Под каждой системой – решение. Системы не нужно вырывать из «квадратной скобки», не нужно переписывать. Финальные ответы, которые репетитор по математике и ученик получают слева и справа «сваливаются в общий ответ» без какой-либо коррекции и пересечения.
Исключение составляют случаи, когда промежутки имеют общую часть. Однако практика показывает, что даже если репетитор по математике забудет напомнить о «склеивании частей», то большинство учеников догадаются до него сами.
Преимущество стрелок для запоминания:
Когда ученик разделяет тетрадный лист на две части, то находясь на любом этапе решения по левой колонке, он помнит о том, что предстоит еще заполнить и правую часть. Это очень важно. Если вы репетитр, то наверняка знаете, что школьники часто забывают разобрать какой-нибуь случай или решить какое-нибдуь неравенство из системы.
Сложность работы с объединением и пересечением носит часто чисто технический характер и связана с проблемой механики решений, то есть запоминанием и сортировкой обрабатываемой информации. При подготовке к ЕГЭ по математике важно получить навык автоматического выполнения операций. Поэтому репетитору по математике крайне необходимо использовать в работе простые и удобные методы, каким является прием стрелочного разделения. Если потребуется объединить три или более системы, репетитор по математике может взять лист формата А4, развернуть его в длину и аккуратно решить задание распределяя системы по нескольким колонкам. Такой подход к оформлению позволит ученику четко разделить и запомнить логическую структуру объекта.
Репетитор по математике, Колпаков А.Н. Москва.