Что означают коэффициенты в квадратичной функции

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a 1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим \(9a\) вместо \(b\):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение \(a\):

Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).

– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.

– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.

График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).

Источник

Что означают коэффициенты в квадратичной функции

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а 0.

В данном случае а = 0,5

А теперь для а 2 + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с 0:

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Окончательно имеем: а > 0, b > 0, с 0)

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

Источник

Квадратичная функция (ЕГЭ 2022)

Проверь себя, ответь на эти вопросы:

В конце статьи ты будешь знать ответы на эти вопросы.

Квадратичная функция — коротко о главном

Квадратичная функция – функция вида \( y=a<^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) ­– любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.

График квадратичной функции – парабола.
Вершина параболы: \( \displaystyle <_<в>>=\frac<-b><2a>\).

Квадратичная функция вида: \( y=a<^<2>>\).

Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.

Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента \( \displaystyle a\) и дискриминанта \( \displaystyle D=<^<2>>-4ac\).

Что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

А мы пока повторим.

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции».

Все дело в понятии «область определения»:

Для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость.

Например, для функции \( y=\sqrt\) отрицательные значения аргумента \( x\) – недопустимы.

Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой \( x\)).

И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».

Квадратичная функция — подробнее

Квадратичная функция – это функция вида \( y=a<^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) ­– любые числа (они и называются коэффициентами).

Число \( a\) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, \( b\) – вторым коэффициентом, а \( c\) – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений\( E\left( y \right)\).

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции \( y=a<^<2>>+bx+c\)? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции \( y=\frac<1>\) – в нее нельзя подставить \( x=0\)).

Значит, область определения – все действительные числа:

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию \( y=<^<2>>\) \( \left( a=1,\text< >b=0,\text< >c=0 \right)

\), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю.

Значит, эта функция всегда не меньше нуля.

А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше.

Таким образом, можем написать для \( y=<^<2>>:E\left( y \right)=\left[ 0;+\infty \right)\).

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

График квадратичной функции

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем

Кстати мы очень подробно разобрали как быстро и правильно рисовать параболу. Переходи по ссылке и всему научишься.

Начнем с простейшей квадратичной функции – \( y=<^<2>>\).

Составим таблицу значений:

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию: \( y=<^<2>>-2-3\).

Составим таблицу значений:

Сравним два рисунка.

Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах.

Во второй параболе вершина переместилась в точку \( \left( 1;-4 \right)\), а ветви переехали вместе с ней.

Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Кстати, если хочешь научиться быстро и правильно рисовать график квадратичной функции, то переходи по ссылке, там отличная статья.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида \( y=a<^<2>>\) (\( b=0\), \( c=0\) – пусть не мешают).

Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если \( \displaystyle \mathbf \mathbf<0>\) – вверх.

Значит, если парабола пересекает ось \( \displaystyle Ox\) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения.

Если не пересекает – корней нет.

Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси \( \displaystyle Ox\) вершиной:

А что такое вершина параболы?

Вершина параболы

Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при \( \displaystyle D=0\), получим формулу вершины:

Это тоже бывает очень полезно.

Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:

А теперь порешаем задачки.

Решение задач

1. График какой из функций избражен на рисунке?

2. Найдите сумму корней квадратного уравнения \( a<^<2>>+bx+c=0\), если на рисунке приведен график функции \( y=a<^<2>>+bx+c\):

3. Найдите произведение корней квадратного уравнения \( a<^<2>>+bx+c=0\), если на рисунке приведен график функции \( y=a<^<2>>+bx+c\):

4. По графику функции \( y=<^<2>>+bx+c\) определите коэффициенты \( b\) и \( c\):

Решения

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, \( \displaystyle a

Преобразования графиков функций (ЕГЭ 18. Задачи с параметром)

Научились строить график какой-то функции? А что, если я теперь поменяю один из коэффициентов? Или «заключу» часть функции в модуль?

Можно ли не строить для этого новый график, а просто передвинуть/растянуть старый?

Можно! И на этом уроке мы научимся производить такие трансформации.

Благодаря таким трансформациям мы станем понимать, как выглядят графики функций при всех значениях параметра и научимся решать задачи из ЕГЭ на эту тему.

Источник

Квадратичная функция. Построение параболы

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Рассмотрим три случая:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Как строим:

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Как строим:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Источник

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где 0″ title=»a<>0″/> называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

,

Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как 0″ title=»a=2>0″/>,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

0″ title=»D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/>

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

,

3. Координаты вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник