Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).
Функция заданная формулой \(y=\frac\), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности. Определение гиперболы. График функции \(y=\frac\) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.
Что нужно знать, чтобы построить гиперболу? Теперь обсудим свойства гиперболы:
гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота. И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY. k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители. Построим примерный график гиперболы.
Пример №2: $$y=\frac<1>-1$$ Находим первую асимптоту. Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0. х+2≠0 х≠-2 это первая асимптота
Находим вторую асимптоту.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):
Находим первую асимптоту. Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0. 1+х≠0 х≠-1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
Остается y≠1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):
3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:
Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.
4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:
Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.
Вторая ось симметрии это прямая y=-x.
5. Гипербола нечетная функция.
6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:
а) Находим первую асимптоту. Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0. x-1≠0 х≠1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.
в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике. х=0 y=0 x=-1 y=-0,5 x=2 y=-2 x=3 y=-1,5
г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment
В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.
Определение и функция гиперболы
Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:
Пример 1
Дана функция y = 4 /x. Построим ее график.
Решение
Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.
Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие гиперболы
Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:
, где a и b — положительные действительные числа.
Кстати, канонический значит принятый за образец.
В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.
Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.
Вспомним особенности математической гиперболы:
Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:
Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:
Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).
В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.
Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения
на черновике выражаем:
Уравнение распадается на две функции:
— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);
— определяет нижние дуги гиперболы.
Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:
Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.
Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.
Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.
Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.
Мнимая полуось гиперболы — число b.
В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.
Форма гиперболы
Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.
Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.
Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.
Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.
Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.
Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.
Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.
Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Фокальное свойство гиперболы
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).
Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:
Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:
Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:
Запишем это уравнение в координатной форме:
Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:
, т.е. выбранная система координат является канонической.
Директориальное свойство гиперболы
Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.
ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.
Директориальное свойство гиперболы звучит так:
Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.
Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.
На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие
можно записать в координатной форме так:
Построение гиперболы
Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.
Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.
В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:
Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:
Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.
По определению эксцентриситет гиперболы равен
Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.
Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.
\( \displaystyle k\) – отвечает за «пологость» и направление графика. Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).
Знак коэффициента \( \displaystyle k\) влияет на то, в каких четвертях расположен график:
если \( \displaystyle k>0\), то ветви гиперболы расположены в \( \displaystyle I\) и \( \displaystyle III\) четвертях;
если \( \displaystyle k
Коэффициент \( \displaystyle a\)
Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что \( \displaystyle a\) – это такое число, которому не может равняться \( \displaystyle x\).
То есть \( x=a\) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции
Коэффициент \( b\)
Число \( b\) отвечает за смещение графика функции вверх на величину \( b\), если \( b>0\), и смещение вниз, если \( b
Пример 2
Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»).
Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: \( \displaystyle <^<2>>+4-5=0\).
Я найду их устно с помощью теоремы Виета: \( \displaystyle <_<1>>=-5\), \( \displaystyle <_<2>>=1\). Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».
Наверняка в том, что в числителе у нас \( \displaystyle 2x\), а в знаменателе – просто \( \displaystyle x\).
Это не беда. Нам нужно будет сократить на \( \displaystyle \left( x+2 \right)\), поэтому в числителе следует вынести \( \displaystyle 2\) за скобки (чтобы в скобках \( \displaystyle x\) получился уже без коэффициента):
Ответ: \( \displaystyle y=2-\frac<5>\).
График обратной пропорциональности
Как всегда, начнем с самого простого случая: \( \displaystyle y=\frac<1>\).
Таблица обратной пропорциональности (зависимости)
Нарисуем точки на координатной плоскости:
Теперь их надо плавно соединить, но как?
Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть.
Это график гиперболы и выглядит он так:
Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом.
Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям \( \displaystyle Ox\) и \( \displaystyle Oy\), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:
Оно и понятно: так как \( \displaystyle x\ne 0\), график не может пересекать ось \( \displaystyle Oy\). Но и \( \displaystyle y\ne 0\), так что график никогда не коснется и оси \( \displaystyle Ox\).
Ну что же, теперь посмотрим на что влияют коэффициенты.
На что влияют коэффициенты
Рассмотрим такие функции:
Ух ты, какая красота!
Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.
Итак, на что обратим внимание в первую очередь?
Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси \( \displaystyle Ox\).
Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.
А что, если функция выглядит сложнее, например, \( \displaystyle y=\frac<1>+2\)?
В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная \( \displaystyle y=\frac<1>\), только она немного сместится. Давай думать, куда?
Чему теперь не может быть равен \( x\)? Правильно, \( x\ne 1\). Значит, график никогда не достигнет прямой \( x=1\).
А чему не может быть равен \( y\)? Теперь \( y\ne 2\). Значит, теперь график будет стремиться к прямой \( y=2\), но никогда ее не пересечет.
Итак, теперь прямые \( x=1\) и \( y=2\) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции \( \displaystyle y=\frac<1>\).
Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):
Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.
А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.
Примеры
1. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac\). Определите \( k\).
2. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac\). Определите \( k\)
3. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac<1>\). Определите \( a\).
4. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac<1>+a\). Определите \( a\).
5. На рисунке приведены графики функций \( \displaystyle y=\frac,\text< >y=\frac\) и \( y=\frac\).
гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота. 
