Что означают черточки на треугольниках в геометрии

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

помогите разобраться с обозначение углов на рисунке

Последний раз редактировалось Lia 23.08.2015, 02:13, всего редактировалось 1 раз.

Здравствуйте, подскажите пожалуйста, где можно прочитать про обозначение углов на рисунке?

В учебнике по математике за 5 класс (Никольский) написано, что равные углы обозначаются одинаковыми дугами.
Но мне этого не достаточно для полного понимая. Там не сказано про то, когда углы обозначаются двумя дугами, тремя дугами и т. д. (на рисунках там есть где 1-2-3 дугами обозначаются но не рассказы правила обозначения). А что если рассматривается 10 углов и все они разного размера, как тогда обозначать, десятью дугами, а если их ещё больше?

Смотрел так же в учебниках по геометрии: Атанасяна и Погорелова, но там об этом ни слова нет.

Буду очень признателен, если посоветуете книжку/учебник, в которой можно прочитать об этом или если книги нет, то может быть вы сможете рассказать?

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Да, тоже видел в примерах, но там тоже не было сказано про то как можно )

Если бы хоть в одном учебнике было данное пояснение, было бы куда проще. Спасибо.
Под как хотите имеется ввиду, что вообще могу на своё усмотрение что-то придумать хоть там стрелочками хоть каракулями обозначать?

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Ну так в самом начале алгебры сказано, что вместо чисел используются буквы латинского алфавита.

Поэтому там и вопросов никаких нет.

А вот правила обозначения углов в геометрии не рассматриваются, все примеры приводятся с описанием в пару слов, типа углы обозначаются дугой. А дальше идут примеры с двумя, тремя дугами, прямой угол обозначает в виде углового символа и про это уже не говорят мол, откуда у них уже две дуги, три дуги.

Это хорошо, что тут уже сказали, что вообще нет разницы как обозначать. Однако не плохо было бы в учебниках хотя бы написать, что условились обозначать углы так и так, а на деле можете обозначать их как угодно, тогда не возникало бы вопроса, как их обозначать 🙂

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 29.08.2015, 17:37, всего редактировалось 1 раз.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Обозначения и символика

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

5. Углы обозначаются:

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

π₂ —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π₃, π₄ и т. д.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса _0α, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H_a — горизонтальный след прямой (линии) а;

F_a — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами _{1,2,3. n:}

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом ₀:

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0 :

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1 :

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Источник

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

Отрезок BN — это высота ABC. Отрезок EL высота DEF, опущенная на продолжение стороны DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

Отрезок BN — это биссектриса ABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Отрезок BN — это медиана ABC.

Источник

Признаки равенства треугольников

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Как выглядит треугольник?

В выходной день Глеб с родителями ехали в парк. Мальчик заметил, что вдоль дороги стояла непонятная табличка, увидев которую, отец поехал очень медленно.

«Что это такое?» – поинтересовался ребенок. Папа рассказал, что это дорожный знак, который предупреждает о трудностях на пути. Глебу очень понравился знак, а особенно его форма. Отец продолжил рассказ о знаках: «Форма знака о многом говорит водителю, ведь при плохой видимости автолюбитель видит только форму, а не надпись. Поэтому все предупреждающие знаки – треугольные». «А что такое треугольные?» – не унимался мальчик. Найти ответ на этот и многие другие вопросы папе помог наш сегодняшний урок.

Вначале, давайте разберемся, что же такое треугольник и из чего он состоит.

В повседневной жизни нас окружает масса предметов имеющих треугольную форму. Например:

Часы, воздушный змей, кусочек торта, пиццы, арбуза, салатники, рамки для фотографий, пузырек парфюма – этот список можно продолжать бесконечно. Но что же такое треугольник?

Приведем примеры треугольников:

Исходя из определения, каждый рисунок состоит из трех отрезков. В геометрии такие отрезки называют сторонами треугольника.

Кроме отрезков, составляющей частью фигуры являются три точки, которые принято называть вершинами.

В геометрии, вершины треугольника принято обозначать заглавными буквами латиницы: A,C,D,B.

Начертим треугольник. Вершины, обозначим буквами A,C,D.

Данная геометрическая фигура имеет три вершины A,C,D и три стороны АС, CD, DА.

А как же на письме показать, что данная фигура является треугольником?

Очень интересным является то, что записывать название, можно перечисляя вершины в любом порядке.

Можно записать: ∆NOK, ∆OKN, ∆KNО. Каждый вариант записи обозначает один и тот же треугольник и является верным.

Само название фигуры «Треугольник» предполагает, что в состав должны входить три угла. Так ли это?

Внимательно рассмотрим рисунок:

Действительно, мы видим три угла, которые отмечены дугами: ∠RFP,∠FPR, ∠PRF(мы уже знаем, что буква, обозначающая вершину угла всегда записывается в середине) или∠F, ∠P,∠R.

Виды треугольников

Все геометрические фигуры, имеющие треугольную форму,делятся на группы по двум направлениям:

Давайте рассмотрим, на какие группы делятся треугольники по углам:

Теперь, познакомимся с группами треугольников по сторонам(на рисунках равные стороны принято обозначать одинаковым количеством черточек):

Постарайтесь запомнить все виды треугольников, так как на протяжении всего учебного процесса, вам часто придется сталкиваться с выполнением заданий на данную тему.

Равенство треугольников

Случаются ситуации, когда точно известно, что два треугольника равны, а что же в таком случае можно сказать про углы и стороны таких треугольников?

Нам дано: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Равны ли соответствующие стороны и углы данных фигур?

По условию треугольники равны. Значит, применяем рассмотренное правило, которое говорит о том, что все соответствующие элементы фигуры равны между собой.

Если ∆ABC = ∆A₁B₁C_1, то равны соответствующие стороны:

и соответствующие углы равны:

Геометрия интересна тем, что большинство её правил нуждаются в доказательствах. Такие правила называют теоремами.

Вместе с этим, имеются и самостоятельные правила, которые называют аксиомами геометрии.

Сегодня мы рассмотрим первую теорему с названием «Первый признак равенства треугольников», и проведем работу по сбору доказательств для данной теоремы.

Два треугольника – ∆OMN и ∆KLT. Известно, что две стороны треугольников и угол между ними равны.

Докажем, что ∆OMN=∆KLT.

Доказательство первого признака равенства треугольников:

Из условия нам известно, что соответствующие углы равны ∠M =∠L, следовательно, мы можем выполнить наложение двух треугольников так, чтобы вершина M совпадала с вершиной L.

Выходит, что при совмещении совпадают все элементы ∆, а такие ∆ называются равными.

Мы доказали, что ∆OMN=∆KLT.

Еще, нам предстоит познакомиться с несколькими понятиями, без которых продолжать изучение геометрии невозможно.

Доказательство будем проводить в два этапа.

Медиана, биссектриса, высота

Рассмотрим ∆АВС. Отметим на отрезке АС середину и обозначим её точкой О. Соединим точки В и О отрезком. Полученный отрезок ВО называют медианой.

Любой треугольная фигура имеет три вершины, из каждой можно провести медиану, следовательно, в одной можно провести три медианы.

Биссектриса

Чтобы рассмотреть понятие биссектрисы треугольника, вспомним определение биссектрисы угла:

На рисунке изображен ∆ОВМ. Из угла О проведем биссектрису (луч, делящий угол пополам)и продолжим её до пересечения со стороной ВМ. Место пересечения отметим точкой С. Отрезок ОС делит угол О пополам(∠ВОС =∠СОМ) и пересекается с противолежащей стороной ВМ.

На рисунке изображена фигура РТК. Из вершины Т проведем перпендикуляр к стороне РК, место пересечения перпендикуляра и стороны фигуры отметим точкой А.∠ТАК =∠ТАР=90˚. Перпендикуляр ТА называют высотой ∆РТК.

Изученные сегодня определения и теоремы являются базовыми в изучении геометрии. Поэтому постарайтесь уделить особое внимание материалу сегодняшнего урока.

Источник