Что означает тогда и только тогда в математике

Тогда и только тогда

В логике и смежных с ней областях, таких как математика и философия, тогда́ и то́лько тогда́ является логической связкой эквиваленции между утверждениями. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию [1] («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.

В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р, Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q, Р точно, если Q, P точно, когда Q, P точно в случае Q и P именно в случае Q.

В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы. Подробнее об этом будет сказано ниже при обсуждении обозначений.

Содержание

Определение

Заметим, что эквивалентное преобразование производит стандартная ячейка XNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.

Использование

Нотация

Для обозначения в формулах логической связки «тогда и только тогда» используются логические символы ↔, ⇔ и ≡. В английских текстах иногда для обозначения связки используется «iff» (аббревиатура от «if and only if»), а в русскоязычных текстах по аналогии изредка используется аббревиатура «ттт». [3] Обычно все эти символы трактуются как эквивалентные. Однако, некоторые тексты математической логики (особенно по логике первого порядка и в меньшей степени по логике высказываний) делают различие между ними, причём, первый знак ↔ используется как символ в логических формулах, тогда как знак ⇔ используется в рассуждениях по поводу этих формул (например, в металогике). В нотации Лукасевича в качестве префикса используется символ ‘E’.

Другим термином для обозначения этой связки является «исключающее или».

Доказательства

В большинстве логических систем доказывается утверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (или обратное «если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только если P и Q оба истинны или оба ложны.

Отличие «тогда» и «только тогда»

Достаточность является инверсией необходимости. То есть, если дано P→Q (или если P, то Q), то P будет достаточным условием для Q, а Q будет необходимым условием для P. Кроме того, если дано P→Q, то истинно также ¬Q→¬P (где ¬ является оператором отрицания, то есть «не»). Это означает, что связь между P и Q, установленная оператором P→Q, может быть выражена следующими эквивалентными способами:

P достаточно для Q Q необходимо для P ¬Q достаточно для ¬P ¬P необходимо для ¬Q

Если в качестве примера взять вышеприведённое предложение (1), в котором утверждается P→Q, где P — это «пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом», а Q — это «Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь». Следующие четыре способа выражения отношений эквивалентны:

Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть. Только если Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь, он с заварным кремом. Если Мэдисон не будет есть пудинг, о котором идёт речь, он без заварного крема. Только если пудинг, о котором идёт речь, без заварного крема, Мэдисон не будет его есть.

Таким образом, мы видим, что вышеприведённое предложение (2) можно переформулировать в виде если … то, например, «Если Мэдисон съест пудинг, о котором идёт речь, то он с кремом». Беря это в сочетании с (1), мы находим, что (3) можно сформулировать так: «Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть, И если Мэдисон будет есть пудинг, то он с заврным кремом».

Источник

Что означает тогда и только тогда в математике

Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.

1. Логические выражения и логические операции

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).

Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.

Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:

Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Введем перечисленные логические операции.

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

Источник

Что означает тогда и только тогда в математике

Прежде всего, начнем с разбора названия самого предмета, а именно выясним, каково значение алгебры, логики, а затем алгебры логики.

Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами, которые принято обозначать строчными буквами латинского алфавита – а, b, x, y и т.д. Действия над переменными величинами записываются в виде математических выражений.

Термин «логика» происходит от древнегреческого “logos”, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять действия над высказываниями.

Алгебру логику называют также алгеброй Буля, или булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения. В булевой алгебре высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y. В алгебре Буля введены три основные логические операции с высказываниями: Сложение, умножение, отрицание. Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций. Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

• НЕ (логическое отрицание, инверсия);

• ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);

• И (логическое умножение, конъюнкция).

Логическое отрицание является одноместной операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные операции, в них участвует два высказывания. Существуют и другие операции, например операции следования и эквивалентности, правило работы которых можно вывести на основании основных операций.

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении, например:

Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Приведем примеры отрицания.

1. Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно. Высказывание «Земля не вращается вокруг Солнца» ложно.

3. Высказывание «4 — простое число» ложно. Высказывание «4 — не простое число» истинно.

Принцип работы переключателя настольной лампы таков: если лампа горела, переключатель выключает ее, если лампа не горела — включает ее. Такой переключатель можно считать электрическим аналогом операции отрицания.

Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B.

Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

Приведем примеры логического сложения.

1. Рассмотрим высказывание «В библиотеке можно взять книгу или встретить знакомого». Это высказывание формально можно представить так: С = А V В, где высказывание А — «В библиотеке можно взять книгу», а В — «В библиотеке можно встретить знакомого». Объединение этих высказываний при помощи операции логического сложения означает, что события могут произойти как отдельно, так и одновременно.

2. Рассмотрим высказывание «Знания или везение — залог сдачи экзаменов». «Успешно сдать экзамен может тот, кто все знает, или тот, кому повезло (например, вытянут единственный выученный билет), или тот, кто все знает и при этом выбрал «хороший» билет.

Кто хоть однажды использовал елочную гирлянду с параллельным соединением лампочек, знает, что гирлянда будет светить до тех пор, пока цела хотя бы одна лампочка. Логическая операция ИЛИ чрезвычайно схожа с работой подобной гирлянды, ведь результат операции ложь только в одном случае — когда все аргументы ложны.

Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

Применяемые обозначения: А и В, А ⋀ В, A & B, A and B.

Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Приведем примеры логического умножения.

1. Рассмотрим высказывание «Умение и настойчивость приводит к достижению цели». Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок — умения И настойчивости.

Логическую операцию И можно сравнить с последовательным соединением лампочек в гирлянде. При наличии хотя бы одной неработающей лампочки электрическая цепь оказывается разомкнутой, то есть гирлянда не работает. Ток протекает только при одном условии — все составляющие цепи должны быть исправны.

Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

если А, то В; А влечет В; if A then В; А-> В.

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Приведем примеры операции следования.

1. Рассмотрим высказывание «Если идет дождь, то на улице сыро». Здесь исходные высказывания «Идет дождь» и «На улице сыро». Если не идет дождь и не сыро на улице, результат операции следования — истина. На улице может быть сыро и без дождя, например, когда прошла поливочная машина или дождь прошел накануне. Результат операции ложен только тогда, когда дождь идет, а на улице не сыро.

a) А — ложно, В — ложно (1-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — ложно, то и В — ложно». Например, х = 4, 17, 22.

b) А — ложно, В — истинно (2-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — ложно, то В — истинно». Например, х = б, 12, 21.

c) А — истинно, В — ложно (3-я строка таблицы истинности). Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3. Истинная предпосылка не может приводить к ложному результату импликации.

d) А — истинно, В — истинно (4-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — истинно, то и В — истинно». Например, х = 9, 18, 27.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А = В, А

B001010100111

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Приведем примеры операции эквивалентности:

1. День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом;

2. Добиться результата в спорте можно тогда и только тогда, когда приложено максимум усилий.

Источник

Тогда и только тогда

«Тогда́ и то́лько тогда́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию [1] [ нет в источнике ] («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.

В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р; Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q; Р точно, если Q; P точно, когда Q; P точно в случае Q; P именно в случае Q.

Заметим, что эквивалентное преобразование производит стандартная ячейка XNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.

В большинстве логических систем доказывается утверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (или обратное «если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия, из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только, если P и Q оба истинны или оба ложны.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

«Тогда и только тогда»

Последний раз редактировалось rancid_rot 16.05.2020, 18:26, всего редактировалось 5 раз(а).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 16.05.2020, 18:47, всего редактировалось 2 раз(а).

Скорее склейка тут совсем простая (или по крайней мере многие больны тем же, чем и я):
(1) «А [тогда,] когда Б» — если Б верно, то А верно;
(2) «А только [тогда,] когда Б» — если Б неверно, А неверно.

Притом не (2), а (1) больше отличается от бытового применения языка, в котором оно будет намного ближе к эквивалентности А и Б (хотя это зависит ещё например и от интонации), а уж (2) его семантику модифицирует, и потому-то у него вообще получается какой-то полезный смысл (потому что легко заметить, что только не меняет порядка аргументов в том, около чего применяется). Проблемы разницы с бытовым употреблением могут быть в том числе потому, что мы можем сказать «тогда, когда и», подразумевая «тогда же, когда [и]», а это уже будет эквивалентность.

Мне ещё намекнули про импликатуры, и как я сам мог забыть про такую вещь как прагматика, когда люблю к ней обращаться за объяснением. От импликатур как раз стараются откреститься в точных математических описаниях того, что откуда следует и какие свойства имеет. Но это не позволяет мне сразу увидеть ту семантику, которую большинство носителей вкладывает в те выражения без импликатур и с ними, чтобы описать явление полно — привожу это просто для интереса как направление, в котором можно идти.

Последний раз редактировалось rancid_rot 16.05.2020, 19:34, всего редактировалось 2 раз(а).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось rancid_rot 16.05.2020, 20:06, всего редактировалось 3 раз(а).

Источник