Что означает соответственно равны в геометрии

Соответственные углы

Соответственные углы — вид углов, образованный при пересечении двух прямых секущей.

Один из пары соответственных углов лежит во внутренней области между прямыми, другой — во внешней, причем оба угла находятся по одну сторону от секущей.

При пересечении двух прямых секущей образуется четыре пары соответственных углов.

∠1 и ∠5

∠2 и ∠6

∠3 и∠7

∠4 и ∠8

— соответственные углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес в геометрии представляют соответственные углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.

∠1 = ∠2

(как соответственные углы при при a ∥ b и секущей c).

Всего при параллельных прямых и секущей образуется четыре пары равных соответственных углов:

∠1 = ∠5

∠2 = ∠6

∠3 = ∠7

Признак параллельных прямых

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

∠1 = ∠2

А так как эти углы — соответственные при прямых при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство соответственных углов используется, в частности, для доказательства равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник

Треугольник. Признаки равенства треугольников.

Треугольник – геометрическая фигура, сформированная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не принадлежащие одной прямой.

Стороны треугольника формируют в вершинах треугольника три угла. Перефразируя, треугольник – это многоугольник, у которого три угла.

Практическое значение признаков равенства треугольников сводится к нижеследующему: согласно формулировке треугольники равны, в случае когда получается их наложить друг на друга так, чтобы они совпали; однако реализовать наложение треугольников иногда бывает трудно, а иногда и невозможно.

Признаки равенства треугольников позволяют заменить наложение треугольников нахождением и сопоставлением отдельных основополагающих компонентов (сторон и углов) и таким образом обосновать равенство треугольников.

У равных треугольников тождественны и их соответствующие элементы.

И так треугольники равны, если у них соответственно равны:

1. Две стороны и угол между ними:

2. Сторона и прилежащие к ней два угла:

Еще выделяют четвертый признак, который не так широко освещен в школьном курсе математики как предыдущие три. Он формулируется следующим образом:

Если две стороны первого треугольника соответственно равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий большей из этих сторон в первом треугольнике, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне во втором треугольнике, то эти треугольники равны.

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Соответственные углы равны, то есть

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Источник

Равенство окружностей

Первый признак равенства окружностей

Формулировка первого признака равенства окружностей:

Если диаметр одной окружности равен диаметру другой окружности,
то такие окружности равны.

Доказательство первого признака равенства окружностей:

Второй признак равенства окружностей

Формулировка второго признака равенства окружностей:

Если радиус одной окружности соответственно равен радиусу другой окружности, то такие окружности равны.

Доказательство второго признака равенства окружностей:

Третий признак равенства окружностей

Формулировка третьего признака равенства окружностей:

Если луч делит угол между центрами двух окружностей на два равных угла, то такие окружности равны.

Доказательство третьего признака равенства окружностей:

Равенство окружностей можно доказать с помощью трех признаков:

Источник

Теория и задачи по треугольникам (Часть Ⅰ)

Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.

Равенство и подобие треугольников.

Медиана, биссектриса, высота.

Давай на чистоту: геометрию трудно понимать, если не знаешь определенных теорем и свойств. Я постараюсь донести до тебя понятным языком только необходимое, а ты постарайся разобраться и запомнить!

Что такое луч, прямая, отрезок, угол, треугольник объяснять не буду, иначе кто-то уснет.

Когда небо было ярче, трава зеленее, а ты учился в 7 классе, началось знакомство с геометрией, туда и перенесёмся. Чтобы мы с тобой разговаривали на одном языке, начнем с равных углов.

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие расположены на одной прямой.

С вертикальными углами проще познакомиться на рисунке:

Такими дугами показываем равные углы ∠1 = ∠3 (одной дугой) и ∠2 = ∠4 (двумя дугами)

Теперь об углах при параллельных прямых (параллельные прямые — прямые, которые никогда не пересекутся, сколько бы их не продолжать. Лучше представить рельсы у путей на прямом участке):

Перейдем к фигурам, а именно к равенству треугольников:

1) Треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, равны между собой.

Штрихом и двумя штрихами показывают одинаковые стороны, которые равны между собой. Аналогично равные углы показывает одинаковым количеством дуг. Крайне удобно показывать дано сразу на рисунке.

2) Треугольники, у которых два угла и сторона между ними соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, равны между собой.

3) Треугольники, у которых три стороны соответственно равны трем сторонам другого треугольника, равны между собой.

Одинаковые треугольники — это идентичные между собой фигуры, только развернутые. У тебя же не возникает вопроса, равны ли эти телефоны? Ты смотришь на форму, модель и сразу говоришь — идентичны. Так же поступай с треугольниками, только на слово тебе никто не поверит, обязательно нужно доказать один из трех признаков, описанных выше.

А вот эти фигуры какие?

Подобные! У них одинаковая форма, но разный размер. Тогда определим признаки подобных треугольников:

1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Важное свойство: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k² (покажу на примере задачи №7).

Давай закрепим теорию в задачах.

Введем секретный шифр:

«Δ» означает треугольник

Задача №1. Дано на рисунке:

Т.к. треугольники подобны, запишем соотношения сторон против одинаковых углов.

AB II DE, значит ∠A = ∠EDC и ∠B = ∠DEC

Запишем тогда отношение сторон и выразим нужную сторону EC:

Задача №2. Дано на рисунке:

Периметр — это сумма всех сторон. Значит, если периметр отличается в 10 раз, то и стороны тоже в 10 раз.

Но мы же знаем, что все стороны должны отличаться в 10 раз, тогда:

Задача №3. Дано на рисунке:

∠NKM = 90° и ∠NKP = 120°, значит ∠MKP = 30°

∠MKP = ∠KMN, как накрест лежащие углы при KP II NM => ∠KMN = 30°

∠KNM = 180 − ∠NKM − ∠KMN = 60°

Теперь поговорим о самых распространенных отрезках в треугольнике: высота, биссектриса, медиана.

Высота — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90° (такой угол называется прямым).

Обратите внимание, что именно на прямую. В задаче №5 разберем почему.

Угол 90° обозначается таким квадратиком у пересечения с прямой.

Биссектриса — луч, делящий угол, из которого выходит, пополам.

Запомнил, как обозначаем одинаковые углы? Одинаковым дугами.

Медиана — отрезок, опускающийся из вершины треугольника на середину противоположной стороны.

Задача №4. Дано на рисунке:

Давай посмотрим, что такое AB? АВ делит угол пополам (одинаковые дуги), значит, это биссектриса => ∠BAD = 20° => ∠CAD = 40°

В Δ CAD: ∠D = 180°− ∠C − ∠CAD = 50°, тогда

В Δ ВAD: ∠DBA = 180° − ∠D − ∠ВAD = 180° − 50° − 20° = 110°

∠DBA и ∠ABC — смежные (их сумма 180°) => ∠ABC = 180° − 110° = 70°

Задача №5. В ΔABC ∠B = 120°; ∠C = 30°. Из вершины А проведена высота, чему равен угол ∠BAH и ∠BAС?

Хороший рисунок — это 50% успеха, а в этой задаче все 90%. Рисуем треугольник примерно с углом 120°:

Рисунок получился плохой, а еще проблемы в ΔABH. Сумма углов должна быть 180°, но ∠B = 120° и ∠AHB = 90°, уже 210°! Что-то не так, вернемся к определению высоты — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90°.

Тогда продлим сторону BC, а на нее опустим высоту. Высота получится вне треугольника:

В ΔBAH: ∠HBA = 60° (смежный с ∠ABC) => ∠BAH = 180° − 60° − 90° = 30°

В ΔABC: ∠BAC = 180° − 120° − 30° = 30°

Получается, что ∠BAC = ∠C = 30°, значит, этот треугольник равнобедренный. А что это такое?

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны одинаковой длины. Такие стороны называют боковыми, а сторону, которая им не равна, основанием.

Есть пара крайне полезных свойств в равнобедренном треугольнике:

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Против равных сторон лежат равные углы. Верно и обратное: если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный

2) Медиана, проведенная к основанию треугольника, также является биссектрисой и высотой.

А что будет, если еще и третья сторона получится той же длины? Тогда этот треугольник равносторонний или правильный.

А чему равен каждый угол в равностороннем треугольнике? Сумма 180°, но все углы равны, они лежат против одинаковых сторон. Значит, один угол будет равен 180°/3 = 60°

А есть еще какие-то треугольники? Есть прямоугольный.

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90° (прямой угол).

А два угла в треугольнике могут быть по 90°? Нет, тогда третьему углу останется 0°, нарисуешь такой?

1) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Гипотенуза будет в два раза больше катета и равна 16.

2) Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы.

3) Теорема Пифагора

Теорема, которая встречается в 60% задач, а если дан прямоугольный треугольник — в 90%.

Квадрат гипотенузы (стороны против угла в 90°) равен сумме квадратов катетов.

Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов, но о ней мы потом поговорим.

Задача №6. Дано на рисунке:

В ΔABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA = 30°

Опустим высоту из вершины В:

В равнобедренном треугольнике высота так же будет являться биссектрисой и высотой, значит AH = 18.

В ΔABH ∠A = 30°, скажем что BH = a, тогда AB = 2a. (против угла в 30° лежит катет в два раза больше гипотенузы)

В ΔABH по т. Пифагора:

Задача №7. ΔMNK ∼ ΔM₁N₁K₁. Площадь ΔMNK = 75, а площадь ΔM₁N₁K₁ = 225. Стороны соотносятся по названию. M₁N₁ = 9, чему равна MN

Вспомним про коэффициент подобия в площадях треугольника: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k²:

M₁N₁/MN = k => MN = M₁N₁/k = 9/√3 = 3√3

Отлично, поздравляю тебя с Beginner ом по геометрии.

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Источник