Что означает слово сочетательное свойство сложения
Сочетательный закон сложения – правило
Многие ученики путают понятия сочетательного закона сложения и сочетательного свойства сложения. Насколько это допустимо и как не путаться – разберемся вместе.
Сумма чисел
Сначала вспомним, что такое сумма чисел. Если два числа разбить на единицы, а потом все эти единицы свести в одно число, то получится сумма. Примерно так объясняют сумму в младших классах, иногда приводя примеры на сложение фруктов, конфет или канцелярских принадлежностей.
Такие объяснения правильны, но они не подходят для курса средней школы. Чем старше ученик, тем более глубокое и емкое определение ему нужно знать.
Поэтому в математике старших классов используют другое определение. Сумма это движение числа по числовой прямой вправо. На самом деле, число может двигаться и влево, при сложении отрицательных чисел. Но принято говорить «вправо», поскольку такие суммы сначала преобразовываются в разность
Законы сложения
Законов сложения всего два. Это сочетательный и переместительный. Сочетательный закон гласит, если в примере есть несколько слагаемых, то можно сложить два из них между собой, а потом к результату прибавить оставшееся слагаемое. Таким образом, можно складывать сколько угодно большие выражения. Применение этого свойства основано на сочетании слагаемых, откуда и взято это название.
Переместительный закон имеет следующую формулировку: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Вне зависимости от того, как расположены слагаемые в примере, итоговое значение не измениться. Если подумать, то это логично. Какая разница, высыпать в корзину 10 фруктов, а потом еще 8 или сначала 8, а потом 10.
Разве количество фруктов в корзине от этого измениться? Конечно, нет.
Свойства сложения – это проявление простейшей логики в математике. Они доказывались опытным путем еще математиками Древней Греции. На сегодняшний день кажется невозможным не использовать их, поэтому свойства нужны скорее не для использования и запоминания, а для теоретического подтверждения того, что все и так знают. Ведь всеобщее знание это не аргумент в математике всегда нужно ссылаться на какие-то законы, аксиому и теоремы, чтобы доказать правильность решения. При этом свойство и закон сложения это одно и то же. Никакой разницы между ними нет.
Сочетательный закон
Сочетательный закон интересен тем, что может значительно ускорить выполнение сложения. Рассмотрим некоторые принципы быстрого счета, основанные на сочетательном законе.
3,72-5+5,28+17,8+9,2 – иногда проще разделить целые и дробные части дробей, чтобы ускорить счет.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое сумма. Узнали о двух основных свойствах сложения и выделили правило сочетательного закона сложения. Привели несколько способов быстрого счета, основанных на сочетательном законе сложения. Рассмотрели несколько простых примеров.
Математика. 2 класс
Конспект урока
Математика, 2 класс
Урок № 16. Свойства сложения. Применение переместительного и сочетательного свойств сложения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое сочетательное свойство сложения?
-В каких случаях можно использовать свойства сложения?
Переместительное свойство сложения: слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Сочетательное свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.44-47
2. Математика. КИМы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Глаголева Ю.И., Волкова А.Д.-М.: Просвещение, Учлит, 2017, с.18, 19
3. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова С.И.-М.: Просвещение, 2017.- с.28, 29
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сравним выражения и их значения:
Сумма чисел шесть и девять равна сумме чисел девять и шесть.
Сумма чисел сорок пять и пять равна сумме чисел пять и сорок пять.
Значения выражений равны, так как от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Вспомним, как в математике называется данное свойство сложения?
Правильно, оно называется переместительным свойством сложения.
В школьном спортзале 3 волейбольных мяча, 5 баскетбольных мячей и 4 футбольных мяча. Сколько всего мячей в спортзале?
Первый способ решения.
Сначала узнаем, сколько волейбольных и баскетбольных мячей, затем прибавим число футбольных мячей. Запишем: к сумме чисел три и пять прибавить четыре, получится двенадцать.
Второй способ решения.
Прибавим к числу волейбольных мячей сумму баскетбольных и футбольных мячей. Запишем: к трем прибавить сумму чисел пять и четыре равно двенадцать.
В обоих случаях получили одинаковый результат, значит, выражения равны между собой. Можем записать так: (3+5)+4=3+(5+4)
Теперь ты знаешь еще одно свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой. Это свойство называется сочетательным свойством сложения.
Знание этих двух свойств сложения позволит нам решать примеры на сложение удобным способом.
Решим выражение: 1+7+9+3=?
Мы знаем, что слагаемые можно менять местами и соседние слагаемые заменять их суммой. Воспользуемся свойствами сложения и найдем сумму.
В данном случае удобно сложить попарно 1 и 9, 7 и 3. А затем сложить полученные результаты. Получим 20.
Делаем вывод: используя переместительное и сочетательное свойства сложения можно складывать числа в любом порядке, как удобнее.
1. Вычислите суммы удобным способом
30 + 3 + 7 + 40 = _________ 4 + 10 + 6 + 70=_______________
1. 30 + 3 + 7 + 40 = (3+7)+(30+40)=80 2. 4 + 10 + 6 + 70= (10+70)+(4+6)
2. Совместите название математического свойства с его значением и выражением
Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Общие сведения
Сложение является одной из базовых арифметических операций в математике. Оно изучается во втором классе общеобразовательной школы. Существует всего 2 правила: переместительный и сочетательный закон сложения. Однако многие ученики часто их путают. Разобраться в этом помогут специалисты. Они разработали специальную методику, позволяющую быстро запомнить различие между ними.
Однако для изучения алгоритма нужно знать базовые термины и определения. К ним относятся:
Сложение состоит минимум из трех элементов: двух слагаемых (одно из них увеличивается на другое) и результата. Последний называется суммой. На примере это выглядит так: 5+9=14, где 5 — I слагаемое, 9 — второй элемент-слагаемое или число, на которое нужно увеличить первое слагаемое, а 14 — их сумма.
Переместительное правило
Переместительное (коммутативное) правило является очень простым для понимания. Оно формулируется следующим образом: если поменять местами слагаемые, их сумма не изменится. Математическая форма записи закона выглядит следующим образом: q+w=s.
На практическом примере правило реализуется в таком виде: 5+6=6+5=11. Последнее числовое выражение очень легко проверить. Для этого достаточно воспользоваться обыкновенным калькулятором. При сложении 5 и 6 он покажет величину, равную 11. Следует отметить, что таким образом и доказывается закон переместительного свойства сложения.
Прием практической реализации для доказательства правил и утверждений применяется очень часто. Это и есть оптимальная методика, позволяющая выяснить работоспособность того или иного утверждения. Далее необходимо рассмотреть сочетательный закон сложения.
Сочетательный закон
Сочетательное правило сложения возможно применить, когда числовое выражение включает в свой состав от трех и более слагаемых. Сочетательный закон сложения во 2 классе можно сформулировать следующим образом: слагаемые, входящие в состав выражения, можно для удобства складывать в любом порядке.
Очень часто правило называют ассоциативным свойством операции сложения. Ее математическая запись имеет такой вид: p+r+s=(p+s)+r=(s+r)+p=z. Чтобы доказать утверждение, нужно решить пример «2+9+8+1». Его специалисты рекомендуют решать по такому алгоритму:
К сочетательному свойству также можно применить и переместительное (коммуникативное) правило. Этим приемом очень часто пользуются специалисты. Кроме того, по-другому ассоциативный закон называется методом группировки чисел. Далее нужно рассмотреть методику применения двух законов на практике.
Методика применения
Методика использования правил сложения зависит от конкретного примера. Однако специалисты рекомендуют придерживаться следующего алгоритма нахождения результатов числовых выражений:
Сочетание элементов можно выполнять несколько раз, т. е. вычислить сначала одно значение, а потом опять перегруппировать выражение. Перемену мест слагаемых можно производить в несколько заходов.
Кроме того, законы сложения можно применять не только для целых чисел, но и для дробных. Для совершенствования качества усвоения теоретического материала рекомендуется придумать примеры и решить их.
Некоторые ученики часто путают принадлежность распределительного правила к суммации двух и более величин. Этого делать не нужно, а требуется запомнить, что у сложения только 2 закона, но не 3. Последний принадлежит только операциям деления и умножения.
Переместительное и сочетательное свойства можно применять и для вычитания. Далее необходимо на практическом примере разобрать использование правил сложения и методику их применения.
Пример решения
Для закрепления теоретического материала необходимо решить следующий пример: 4+9+6+5+1+15+17+2+12+1. Находится решение по такому алгоритму:
Следует учитывать, что группировку элементов можно выполнять в произвольном порядке и количестве. Суть метода — достижение максимальной скорости вычислений при сложении простых элементов, позволяющих без проблем произвести расчеты.
Если сразу выполнить расчеты сложно, рекомендуется группировать числа по количеству знаков, т. е. однозначные с однозначными, двузначные с двузначными и т. д.
Таким образом, сочетательный и переместительный законы применяются в математике для ускорения вычислений.
Свойства сложения и вычитания
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
