Что означает слово признак и что такое обратная теорема

Параллелограмм: свойства и признаки

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Доказательство через синтез

Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.

Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство:

Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.

Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Доказательство через анализ

Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.

Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Дан параллелограмм: ABCD.

Доказательство:

Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.

Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол напротив стороны а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Что означает слово признак и что такое обратная теорема

Андрей Николаевич Павлов

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 кл

Предисловие для учащихся

Это пособие призвано помочь вам, во-первых, систематизировать знания по планиметрии, а во-вторых, подготовить вас к итоговым контрольным работам и возможной сдаче экзамена за курс геометрии в 9 классе.

Если вы не сдаёте устный экзамен по планиметрии, а лишь пишете итоговую контрольную работу или сдаете письменный зачёт, можете смело пропустить чтение первой главы этой книги. К её материалам вы сможете обратиться лишь за соответствующими подсказками теоретического характера.

Вторая глава посвящена разбору методов решения планиметрических задач всех основных видов. При этом задачи условно поделены на три уровня сложности. Первый уровень – базовый, второй уровень представлен задачами повышенной сложности. Если же вам наскучили задачи школьного учебника и вы решили готовиться к поступлению в такие вузы как МГУ, МФТИ, МГТУ, МАИ и т. д., решайте задачи третьего уровня сложности. Уровень сложности задания указан в скобках рядом с условием каждой задачи (и каждого вопроса первой главы).

Описание каждого геометрического метода или идеи сопровождается не только решением нескольких типовых задач, но и задачами для самостоятельной работы. Ко всем задачам даны указания и ответы.

Предисловие для учителей

У этой книги две цели. С одной стороны, она представляет собой пособие для учащихся, призванное обобщить знания по курсу планиметрии, подготовить школьника к сдаче экзамена по геометрии в 9 классе. С другой стороны, книга может быть полезной учителям математики, так как содержит не только необходимый материал для подготовки учащихся к экзамену, но и сами комплекты экзаменационных билетов с задачами и ответами к ним.

Особенностью пособия является реализуемый в нем принцип уровневой дифференциации. Все вопросы, задачи и экзаменационные комплекты условно поделены на три уровня: базовый, углублённый и элективный (уровень указан в скобках после каждого задания). Первый уровень соответствует общеобразовательным классам и опирается на действующие стандарты математического образования. Второй уровень, помимо базовых, содержит вопросы и задачи повышенной сложности. Работа на этом уровне целесообразна в гимназических (лицейских) классах в рамках пропедевтики профильного обучения в старших классах. Третий уровень включает материал, который можно использовать как на факультативах, так и в специализированных школах при подготовке учащихся к поступлению в такие вузы, как МГУ, МФТИ, МАИ, МГТУ и другие.

В пособии четыре главы. Первая глава содержит справочную информацию и контрольные вопросы по всему курсу планиметрии. Теоретический материал, выходящий за рамки школьной программы, выделен другим шрифтом. Во второй главе идет разбор планиметрических задач как по объекту решения (треугольник, трапеция, параллелограмм, окружность и т. д.), так и по используемым приёмам и методам, дополняемый задачами для самостоятельной работы. В третьей главе представлены четыре комплекта билетов по геометрии. В четвёртой главе даются ответы, решения и указания к приведённым задачам.

Автор выражает благодарность своим ученикам: Федору Борзову, Игорю Григорьеву, Елене Гудковой, Марии Ларькиной, Наталье Парамзиной, Марии Соловьёвой, Марии Трошиной, Антону Турецкому, Артему Умаханову, Евгению Штыркову, которые оказали большую помощь в создании книги.

Справочная информация теоретического характера

§ 1. Логические основы школьного курса планиметрии

1.1. Справочная информация

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.

Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через…» и так далее.

Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.

Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.

Аксиоматическая теория строится следующим образом:

1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);

2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);

3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;

4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.

Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.

Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У → З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы α и β – вертикальные», З = «углы α и β равны». Получаем верное утверждение (теорему):У → З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).

К каждому утверждению У → З, называемому прямым, можно написать ещё три:

З → У – обратное утверждение;

не У → не З – противоположное утверждение;

не З → не У – противоположное к обратному утверждение.

В нашем примере обратное утверждение (если углы равны, то они вертикальны) и противоположное утверждение (если углы не вертикальные, то они не равны) являются ложными, а вот противоположное к обратному утверждение (если углы не равны, то они не вертикальные) – истинно.

Вообще, в математической логике есть закон контрапозиции, который гласит, что прямое и противоположное к обратному утверждения эквивалентны (по этому же закону эквивалентны обратное и противоположное утверждения).

Источник

Обратная теорема

Полезное

Смотреть что такое «Обратная теорема» в других словарях:

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Большой Энциклопедический словарь

обратная теорема — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN converse theorem … Справочник технического переводчика

обратная теорема — теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие. * * * ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Энциклопедический словарь

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием к рой служит заключение теоремы исходной (прямой), а заключением условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема, так что прямая и О. т. взаимно обратны. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е.… … Математическая энциклопедия

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА — теорема, условием к рой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением условие … Естествознание. Энциклопедический словарь

Теорема Фалеса — Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему. Теорема Фалеса одна из теорем планиметрии. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести… … Википедия

Теорема — (греч. theorema, от theoréo рассматриваю, исследую) предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция), устанавливаемое при помощи Доказательства. Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая… … Большая советская энциклопедия

Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ — воздействие результатов к. л. процесса на его протекание. Если при этом интенсивность процесса возрастает, то О. с. наз. п о л о ж и т е л ь н о й, а в противопол. случае о т р и ц а т е л ь н о й. Отрицат. О. с. может обеспечить автоматич.… … Физическая энциклопедия

обратная предельная теорема — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN converse limit theorem … Справочник технического переводчика

Источник