Что означает слово коллинеарные векторы

Коллинеарные вектора

Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется, синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Содержание

Обозначения

Свойства коллинеарности

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

Другие объекты

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного линейного пространства).

Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Коллинеарные вектора» в других словарях:

Коллинеарные векторы — Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допустим, но не рекомендуется, синоним «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или… … Википедия

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору. Аналогично,… … Математическая энциклопедия

Коллинеарность — Два коллинеарных противоположно направленных вектора Два ненулевых (не равных 0) вектора называются … Википедия

Вектор — направленный отрезок прямой, или отрезок, один из концов которого называется началом вектора, а другой его концом. Различают: 1) коллинеарные векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; 2) компланарные векторы, лежащие в одной… … Начала современного естествознания

Источник

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < na_x ; na_y ; na_z >. Найдем их векторное произведение

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Найдем значение n a :

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Найдем значение n a :

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Источник

Коллинеарная система и примеры

коллинеарные векторы Они являются одним из трех типов существующих векторов. Речь идет о тех векторах, которые находятся в одном направлении или направлении действия. Это означает следующее: два или более векторов будут коллинеарными, если они расположены в виде прямых линий, параллельных друг другу.

Вектор определяется как величина, применяемая к телу, и характеризуется как имеющий направление, смысл и масштаб. Векторы могут быть найдены в плоскости или в пространстве и могут быть разных типов: коллинеарные векторы, параллельные векторы и параллельные векторы.

Коллинеарные векторы

Векторы коллинеарны, если линия действия одного является точно такой же линией действия всех других векторов, независимо от размера и смысла каждого из векторов..

Векторы используются в качестве представлений в различных областях, таких как математика, физика, алгебра, а также в геометрии, где векторы коллинеарны только тогда, когда их направление одинаково, независимо от того, имеет ли их значение значение.

черты

— Два или более вектора коллинеарны, если соотношение между координатами равно.

Пример 1

У нас есть векторы m = m_x; m_y и n = n_x; n_y. Они коллинеарны, если:

Пример 2

— Два или более векторов коллинеарны, если произведение или вектор умножения равен нулю (0). Это связано с тем, что в системе координат каждый вектор характеризуется своими соответствующими координатами, и если они пропорциональны друг другу, векторы будут коллинеарными. Это выражается следующим образом:

Пример 1

У нас есть векторы a = (10, 5) и b = (6, 3). Чтобы определить, являются ли они коллинеарными, применяется теория детерминантов, которая устанавливает равенство перекрестных произведений. Таким образом, вы должны:

Коллинеарная векторная система

Коллинеарные векторы представлены графически с использованием направления и смысла их, учитывая, что они должны проходить через точку приложения и модуль, который имеет определенный масштаб или длину.

Система коллинеарных векторов формируется, когда два или более векторов воздействуют на объект или тело, представляя силу и действуя в одном направлении..

Например, если к телу приложены две коллинеарные силы, их результат будет зависеть только от направления, в котором они действуют. Есть три случая, которые:

Коллинеарные векторы с противоположными чувствами

Результирующий из двух коллинеарных векторов равен сумме этих:

пример

Если на тележку F действуют две силы₁ = 40 Н и F₂ = 20 Н в обратном направлении (как показано на рисунке), результат:

R = Σ F = (- 40 Н) + 20 Н.

Коллинеарные векторы с одинаковым смыслом

Величина результирующей силы будет равна сумме коллинеарных векторов:

пример

Если на тележку F действуют две силы₁ = 35 Н и F₂ = 55 Н в том же направлении (как показано на рисунке), результат:

R = Σ F = 35 Н + 55 Н.

Положительный результат показывает, что коллинеарные векторы действуют влево.

Коллинеарные векторы с одинаковыми величинами и противоположными значениями

Результирующий из двух коллинеарных векторов будет равен сумме коллинеарных векторов:

Поскольку силы имеют одинаковую величину, но в противоположном направлении, то есть одно будет положительным, а другое отрицательным, при сложении двух сил результирующее значение будет равно нулю.

пример

Поскольку результат равен 0, это означает, что векторы сбалансированы друг с другом и, следовательно, тело находится в равновесии или в состоянии покоя (оно не будет двигаться).

Разница между коллинеарным и параллельным векторами

Коллинеарные векторы характеризуются наличием одинакового направления на одной линии или потому, что они параллельны линии; то есть они являются векторами прямых параллельных линий.

С другой стороны, параллельные векторы определены, потому что они находятся в разных направлениях действия, которые перехвачены в одной точке.

Системы параллельных векторов решаются математическими методами или графами, которые являются методом параллелограмма сил и методом многоугольника сил. По ним будет определяться значение результирующего вектора, который указывает направление, в котором будет двигаться тело..

По сути, основное различие между коллинеарными векторами и параллельными векторами заключается в линии действия, в которой они действуют: коллинеарные действуют в одной линии, тогда как параллельные в разных.

То есть коллинеарные векторы действуют в одной плоскости: «X» или «Y»; и одновременный акт в обеих плоскостях, начиная с одной и той же точки.

Коллинеарные векторы не находятся в одной точке, как параллельные, потому что они параллельны друг другу.

На левом изображении вы можете увидеть блок. Он связан веревкой, а узел делит его на две части; когда тянуть в разные стороны и с разными силами, блок будет двигаться в том же направлении.

Представлены два вектора, которые совпадают в точке (блоке), независимо от их модуля, смысла или направления.

Вместо этого на правом изображении появляется шкив, который поднимает коробку. Веревка представляет собой линию действий; когда его тянут, на него действуют две силы (векторы): одна сила натяжения (при подъеме на блок) и другая сила, та, которая воздействует на вес блока. Оба имеют одинаковое направление, но в противоположных направлениях; не соглашайтесь в точке.

Источник

Линейная зависимость системы векторов. Коллинеарные векторы

В данной статье мы расскажем:

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = ( 1 ; 3 ) и b = ( 2 ; 1 ) на коллинеарность.

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ: a | | b

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

Свойства линейно зависимых векторов

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

Источник

Векторы: третий уровень сложности

Знакомимся с коллинеарностью.

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Коллинеарные векторы Неколлинеарные векторы

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Вычисляем значение λ:

Сравниваем результат и делаем вывод:

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Что из этого нужно запомнить

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.

Источник