Что означает число кратное другому

Делители и кратные

В данном уроке мы рассмотрим такие понятия как делители и кратные.

Что такое делитель?

Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.

Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:

Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:

Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:

10 : 4 = 2 (2 в остатке)

Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.

Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.

Попробуем перечислить эти числа:

Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:

12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1

Кратные числа

Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3. Поэтому 6 является кратным числа 3

Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.

Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5 .

У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:

5 : 5 = 1
10 : 5 = 2
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Признак делимости на 10

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.

Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.

В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.

Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.

Признак делимости на 5 и на 2

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.

Признак делимости на 5

Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9

Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:

Чётные и нечётные числа

Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:

Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:

21 : 2 = 10 (1 в остатке)

Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.

Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.

А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.

Простые и составные числа

Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:

Значит, число 5 является простым числом.

Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1

Значит, число 4 является составным числом.

Разложение составного числа на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же самое, но записанное в другом виде.

Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.

Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 4

Разложим на множители число 6. Число 6 можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 6

Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.

Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10

Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:

Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:

Теперь собираем все простые множители вместе:

На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.

Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.

При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и другие.

Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.

Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180

Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.

180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 90 на 2.

90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 45 на 2.

45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.

45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.

15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.

15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:

Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.

5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.

5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.

5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:

Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:

На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы. Делители, которые записывают справа от вертикальной линии должны быть простыми числами. Поэтому, когда делимое 5 не разделилось на 2, а затем не разделилось на 3, мы попробовали разделить его на 5, не пробуя разделить на 4, поскольку 4 является не простым, а составным числом.

Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:

Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256, 378, 512.

Нахождение делителей числа

В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.

Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2

6 : 2 = 3

Ещё делителем числа 6 является число 3

6 : 3 = 2

Ещё делителем числа 6 является число 1

6 : 1 = 6

Наконец, делителем числа 6 является само это число

6 : 6 = 1

Перечислим все делители числа 6

1, 2, 3, 6

Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти делители числа 12

Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1

Теперь раскладываем число 12 на простые множители:

Получили разложение 2 × 2 × 3.

В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:

Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.

Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4

Занесём число 4 в нашу таблицу делителей

Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:

Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:

Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:

Чтобы найти делители числа, нужно:

Пример 2. Найти делители числа 6

Первым делителем числа 6 запишем единицу:

Теперь разложим число 6 на простые множители:

Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:

1, 2, 3

1, 2, 3, 6

Источник

Кратное и делитель

Если одно натуральное число делится без остатка на другое натуральное число, то первое называется кратным второго, а второе — делителем первого.

Кратное числа — это делимое, которое делится на данный делитель без остатка.

Делитель числа — это делитель, на который делимое делится без остатка.

Пример. Возьмём, например, такое деление:

Число 6 делится на число 3 без остатка. Следовательно, число 6 — кратное числа 3, а число 3 — делитель числа 6.

Пусть m и n — натуральные числа, если число m является кратным числа n, то говорят: m кратно n или m делится на n

Пример. 6 кратно 3 (шесть кратно трём) или 6 делится на 3 (шесть делится на три).

Самым маленьким кратным любого натурального числа является само это число, так как любое натуральное число можно разделить само на себя без остатка (в частном всегда будет единица).

Пример. Для числа 7 наименьшим кратным является число 7, для числа 2 — число 2:

7 : 7 = 1 (семь кратно семи);

2 : 2 = 1 (два кратно двум).

Для любого натурального числа существует бесконечно много кратных. Получить кратное для данного числа достаточно легко, можно просто умножить его на любое натуральное число, полученное произведение и будет его кратным.

Пример. Получим кратное числа 5, умножив его, например, на 2:

Число 10 — кратное числа 5:

Так как на единицу делится любое натуральное число, то число 1 является делителем любого натурального числа.

Источник

Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства

Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

Общие кратные – определение, примеры

В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

Для всех ли чисел можно найти НОК?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

Теорема имеет два важных следствия:

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

Источник

Какие числа кратны 10

Содержание статьи

Термин «кратность» относится к области математики: с точки зрения этой науки, он означает количество раз, которое определенное число входит в состав другого числа.

Понятие кратности

Второе важное свойство касается определения наименьшего целого числа, являющегося кратным рассматриваемому. Так, наименьшим кратным по отношению к любому числу является само это число. Это связано с тем, что наименьшим целым результатом деления одного числа на другое является единица, а именно деление числа само на себя и обеспечивает этот результат. Соответственно, число, кратное рассматриваемому, не может быть меньше, чем само это число. Например, для числа 3 наименьшим кратным числом будет 3. При этом определить наибольшее число, кратное рассматриваемому, фактически невозможно.

Числа, кратные 10

Числа, кратные 10, обладают всеми перечисленными свойствами наравне с другими кратными числами. Так, из перечисленных свойств следует, что наименьшим числом, кратным 10, является само число 10. При этом, поскольку число 10 является двузначным, можно сделать вывод, что кратным числу 10 могут быть только числа, состоящие не менее чем из двух знаков.

Для того чтобы получить другие числа, кратные 10, необходимо число 10 умножить на любое целое положительное число. Таким образом, в перечень чисел, кратных 10, войдут числа 20, 30, 40, 50 и так далее. Следует обратить внимание, что все полученные числа должны без остатка делиться на 10. При этом определить наибольшее число, кратное 10, как и в случаях с другими числами, невозможно.

Кроме того, обратите внимание, что существует простой практический способ определить, является ли конкретное рассматриваемое число кратным 10. Для этого следует выяснить, какова его последняя цифра. Так, если она равна 0, рассматриваемое число будет кратным 10, то есть может быть без остатка разделено на 10. В противном случае число не является кратным 10.

Источник

Делитель и кратное в математике

Что такое делители и кратные числа

Деление — математическое действие, которое определяет, сколько раз одно число содержится в другом. Обратной операцией является умножение.

Выделяют следующие компоненты деления:

Делимое — число, которое делят на несколько частей.

Делитель — число, которое показывает, на сколько частей нужно разделить делимое.

Частное — число, которое является результатом деления.

Умножение частного на делитель дает делимое.

Чтобы получить делитель, нужно делимое разделить на частное.

Д е л и м о е = ч а с т н о е * д е л и т е л ь Д е л и т е л ь = д е л и м о е / ч а с т н о е

Например, нужно поровну разделить 16 мандаринов между двумя детьми. Для этого 16:2=8. Таким образом, каждый ребенок получит по 8 мандаринов.

16 в этом примере является делимым, 2 — делителем, 8 — частным. Шестнадцать поделили на две части, по восемь в каждой. Или восемь содержится в 16 два раза. Или 2 содержится в 16 восемь раз. Деление прошло без остатка — нацело. Тогда число 2 является делителем числа 16.

Делителем числа a называется такое число b, на которое a делится нацело.

Например, 9 : 4 = 2 (остаток 5 ).

В примере 9 — делимое, 4 — делитель, 2 — неполное частное, 5 — остаток.

Остаток от деления — число, которое меньше делителя. Образуется при делении с остатком. Значит, в примере 9 : 4 = 2 (остаток 5 ) — число 4 не является делителем числа 9.

Задание: найдите такую пару делителей числа 144, если один из делителей равен 2.

Пусть неизвестный делитель равен x. Чтобы найти еще один делитель, если какой-то известен, нужно данное нам число разделить на известный делитель.

Тогда представим решение данной задачи в виде уравнения:

72 — целое число, без остатка.

Произведение делителей должно дать в результате 144:

72 * 2 = 144 — верно, значит, 72 — корень уравнения и делитель 144.

Ответ: числа 2 и 72 — делители 144.

Число называют кратным, если оно делится на данное число нацело, без остатка.

Например, 15:3 нацело.

Тогда число 15 является кратным 3.

Слово «кратно» синонимично слову «делится».

Фразу «15 кратно 3» можно в уме заменить на «15 делится на 3 нацело».

Основные понятия и определения

Делитель — это число, на которое данное число делится нацело. Делитель всегда меньше или равен числу.

Делится нацело = без остатка.

Наименьшим делителем любого числа является единица.

Наибольшим делителем числа является само число.

Делителем нуля будет любое число, но сам 0 делителем не будет.

При делении нуля на любое число получаем 0. А делить на ноль нельзя.

У единицы только один делитель — единица.

Другие числа, кроме 1, имеют не меньше двух делителей.

Кратное — число, которое делится на данное число нацело. Всегда больше или равно числу.

Наименьшее кратное числа является равным самому числу.

Наибольшее кратное подобрать нельзя, потому что ряд натуральных чисел бесконечен. У любого натурального числа бесконечное множество кратных.

Ноль является кратным для любого числа. При умножении на ноль всегда получается ноль.

Когда одно число делится нацело на другое, то первое число — кратное второго, а второе — делитель первого.

Чем отличаются друг от друга, как найти

Делитель отличается от кратного тем, что:

Чтобы найти делители числа, нужно данное число разложить на множители.

Разложить на множители — представить число в виде произведения целых чисел.

Чтобы проверить, является ли одно число делителем другого, нужно разделить число на данное нам.

Для нахождения кратного числа заданному числу, нужно это число последовательно умножать на натуральные числа. Каждое полученное число будет кратно — будет делиться — заданному.

Делители и кратные связаны между собой. Например, делителем числа 15 является 3 и число, кратное 3, равно 15.

Примеры решения задач

Необходимо найти делители числа 14.

Решить задание можно двумя способами.

Последовательно делим 14 на натуральные числа от 1 до 14. Помним, что делитель всегда меньше или равен заданному числу.

Выбираем такие числа в качестве делителя, при делении на которые мы не получили остаток: 1, 2, 7, 14.

Ответ: делители числа 14: 1, 2, 7, 14.

Представим 14 в виде произведения чисел:

Делителями будут множители, так как можем разделить 14 нацело на каждый из них.

Ответ: делители 14: 1, 2, 7, 14.

Найдите три числа, кратных 7.

Чтобы найти число, кратное данному, нужно это число умножить на любое натуральное число.

7 * 1 = 7 — семь кратно семи;

7 * 2 = 14 — 14 кратно 7;

7 * 3 = 21 — 21 кратно 7.

Ответ: числа, кратные 7: 7, 14, 21.

Самостоятельно проверьте, 225 кратно 3 или нет.

Чтобы проверить, кратно ли одно число другому, нужно разделить числа друг на друга.

75 — целое число, при делении нет остатка. Тогда 225 кратно 3.

Найдите любое число, делителями которого являются числа 7 и 8.

Самый простой способ, если в задании не оговорены еще какие-либо условия, просто перемножить эти делители:

Источник