Что относится к одномерной системе координат

Декартова система координат

Декартова система координат — система координат, включающая в себя тела отсчёта (абсолютно твёрдое тело) и 3 взаимно перпендикулярные оси (OX, OY и OZ). В школьном курсе физики и математики чаще всего обходятся двумерным (OX, OY) и одномерным (OX) случаем.

Рис. 1. Пример одномерной декартовой системы координат.

Поставим точку в любое место тетради. Данная точка будет началом отсчёта для нашей декартовой системы координат. На ней проведём линию (для упрощения, горизонтальную), которая будет делиться выбранной точкой примерно пополам. Представим нашу линию как вектор (допишем стрелочку на правом окончании линии) и выставим обозначения: пусть точка называется О, а над стрелкой поставим букву X (рис. 1).

Таким образом, мы задали луч OX, являющийся элементом одномерной декартовой системы координат. Далее выберем, так называемый, единичный отрезок — отрезок, длину которого выберем за единицу (в тетради в клетку удобно в качестве него выбрать одну клетку) и отложим его справа и слева от нашей точки О (рис. 2).

Рис. 2. Масштабирование в одномерной декартовой системе координат

Теперь настало время ответить на вопрос: зачем мы это делали? Введя единичные отрезки подобным образом, мы теперь имеем возможность численно описать положение и изменение положения точки (тела). Таким образом, если мы поставим любую точку на прямой, мы сможем приписать ей число, которое будет характеризовать расстояние от нашей выбранной точки до начала координат (рис. 3).

Рис. 3. Введение единичного отрезка. Координаты точки.

Рис. 4. Двумерная декартова система координат

Теперь вспомним, что часто движение в задачах происходит в двумерном пространстве. Для описания положения тел в этом случае используется двумерная система координат (XOY). Для задания данной системы координат достаточно взять две перпендикулярные оси (вектора под углом 90 градусов). Единичные отрезки выбираются для нужд задачи (по каждой из осей они могут быть свои) (рис. 4).

Для наглядности, вдоль осей выбраны разные единичные отрезки ( и ). Поставим точку А в любое место плоскости. Опуская перпендикуляры на обе оси, мы находим точки пересечения перпендикуляров с осями. Сами точки пересечения отсекают какое-то количество единичных отрезков по соответствующим осям. Таким образом, мы можем приписать выбранной точке А два числа (в нашем случае, 5 и 3). Данные числа символизируют координаты (а значит, и положение) точки на координатной плоскости. Записывать координаты точки принято в форме (X,Y), т.е., в нашем случае, A(5,3).

Не особо часто, но встречается также трёхмерная декартова система система координат (рис. 5).

Рис. 5. Трёхмерная декартова система координат

Общий вывод. Введение декартовой системы координат позволяет математически описать положение и изменение положения точки на плоскости и в пространстве. Усвоив правила построения системы, каждый испытатель может проанализировать решения и выводы других исследователей и предложить своё решение любой задачи в математических формулах, которое будет понятно остальным.

Источник

Тест с ответами по физике “Относительность движения” 9 класс

1. Что относится к одномерной системе координат:
а) движение трамвая по рельсам +
б) передвижение фигур по шахматной доске
в) передвижение лодки по озеру

2. По дорогам, пересекающимся под прямым углом, едут велосипедист и автомобилист. Скорости велосипедиста и ав­томобилиста относительно придорожных столбов соответ­ственно равны 8 м/с и 15 м/с. Определите модуль скорости автомобилиста относительно велосипедиста:
а) 7 м/с
б) 17 м/с +
в) 3 м/с

3. С какой системой координат связывают движение фигур по шахматной доске:
а) одномерную
б) четырехмерную
в) двухмерную +

4. По двум параллельным железнодорожным путям равномер­но движутся два поезда в противоположных направлениях: грузовой со скоростью 44 км/ч и пассажирский со ско­ростью 100 км/ч. Определите величину относительной ско­рости поездов:
а) 40 м/с +
б) 30 м/с
в) 56 км/ч

5. Можно ли Землю считать телом отсчета:
а) нет
б) отчасти
в) да +

6. По двум параллельным железнодорожным путям равномер­но движутся два поезда в одном направлении: грузовой со скоростью 48 км/ч и пассажирский со скоростью 102 км/ч. Определите величину относительной скорости поездов:
а) 20 м/с
б) 15 м/с +
в) 10 м/с

7. Можно ли Солнце считать телом отсчета:
а) нельзя
б) отчасти
в) можно +

8. Две моторные лодки движутся навстречу друг другу. Ско­рость первой лодки относительно воды равна 3 м/с, а вто­рой 4 м/с. Скорость течения реки 2 м/с. Через какое время после встречи расстояние между лодками станет равным 42 м:
а) 6 с +
б) 3,8 с
в) 42 с

9. Можно ли звезды считать телом отсчета:
а) нет
б) отчасти
в) да +

10. Товарный поезд длиной 630 м и экспресс длиной 120 м, идут по параллельным путям в одном направлении со скоростями 54 км/ч и 90 км/ч соответственно. В течение какого времени экспресс будет обгонять товарный поезд:
а) 55 с
б) 75 с +
в) 35 с

11. Один из видов системы отсчета:
а) инерциальная +
б) простая
в) сложная

12. Человек бежит со скоростью 5 м/с относительно палубы теплохода в направлении, противоположном направлению движения теплохода. Определите скорость человека относительно берега, если скорость теплохода 54 км/ч:
а) 13 м/с
б) 10 м/с +
в) 15 м/с

13. Один из видов системы отсчета:
а) неинерциальная +
б) основная
в) побочная

14. При движении моторной лодки по течению ее скорость относительно берега 10 м/с, а при движении против течения 6 м/с. Определите скорость лодки в стоячей воде:
а) 12 м/с
б) 18 м/с
в) 8 м/с +

15. Чем характеризуется движение:
а) траекторией +
б) временем
в) сопротивлением

16. Пассажир стоит у окна поезда, идущего со скоростью 15 м/с. Сколько времени он будет видеть проходящий мимо встречный поезд, скорость которого 10 м/с, а длина 150 м:
а) 66 с
б) 6 с +
в) 12 с

17. Чем характеризуется движение:
а) грузоподъемностью
б) массой
в) перемещение +

18. Плот спускается равномерно прямолинейно по реке. Скорость плота относительно берега 3 км/ч. Человек идёт по плоту со скоростью 4 км/ч в направлении его движения. Определите скорость человека относительно берега:
а) 9 км/ч
б) 7 км/ч +
в) 5 км/ч

19. Чем характеризуется движение:
а) массой
б) временем
в) скоростью +

20. Моторная лодка движется против течения реки со скоростью 5 м/с относительно берега, а в стоячей воде со скоростью 8 м/с. Чему равна скорость течения реки:
а) 5 м/с
б) 3 м/с +
в) 4 м/с

21. Какую систему координат используют, если тело способно двигаться не только по прямой и не только в плоскости:
а) трехмерную +
б) одномерную
в) двухмерную

22. Пловец переплывает реку по кратчайшему пути. (Кратчайший путь – это ширина реки.) Скорость пловца относи­тельно воды 5 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Чему равна скорость пловца относительно берега:
а) 8 км/ч
б) 4 км/ч +
в) 2 км/ч

23. Какую систему координат используют при движение тела в определенной плоскости:
а) трехмерную
б) одномерную
в) двухмерную +

24. Эскалатор метро движется со скоростью 0,8 м/с. Пассажир, идущий в направлении движения со скоростью 0,4 м/с от­носительно него, затратил на весь путь 30 с. Какова длина эскалатора:
а) 48 м
б) 36 м +
в) 12 м

25. Какую систему координат используют при движении тела в одном направлении:
а) трехмерную
б) двухмерную
в) одномерную +

26. Пловец плывет по течению реки. Определите скорость плов­ца относительно берега, если скорость пловца относительно воды 0,4 м/с, а скорость течения реки 0,3 м/с:
а) 0,9 м/с
б) 0,7 м/с +
в) 0,5 м/с

27. Пространство является:
а) трехмерным +
б) двухмерным
в) одномерным

28. Моторная лодка движется по течению реки со скоростью 10 м/с относительно берега, а в стоячей воде — со скоростью 6 м/с. Чему равна скорость течения реки:
а) 3 м/с
б) 7 м/с
в) 4 м/с +

29. Телом отсчета может быть:
а) любое тело +
б) только подвижное тело
в) только неподвижное тело

30. Два автомобиля движутся по прямой дороге в одном направлении: один со скоростью 60 км/ч, а другой со скоро­стью 90 км/ч. Сближаются они или удаляются:
а) находятся на одинаковом расстоянии
б) могут сближаться, могут удаляться +
в) сближаются

Источник

Он определяет себя система координат а справочная система на основе координаты, которые идентифицируют позиция объекта в некоторых Космос. В зависимости от количества используемых координат мы можем говорить о:

Показатель

Одномерная система

Когда точка, а не прямая линия, вынуждена двигаться по кривой, также можно выбрать исходную точку, направление движения и единицу измерения на последней, но в этом случае мы будем говорить о криволинейная абсцисса. Знаковое расстояние точки от начала координат является криволинейной координатой точки.

Двумерные системы

Аффинная система

Полярная система

Для перехода от полярных координат к декартовым используются следующие формулы:

и перейти от декартовых к полярным

Трехмерные системы

Прямоугольная (или декартова) система

Цилиндрическая система

Чтобы перейти от цилиндрической системы к прямоугольной:

и перейти к цилиндрическим координатам:

Сферическая система

Для перехода от сферической системы к прямоугольной используются следующие равенства:

Для переключения между декартовыми и сферическими координатами:

Скоординированная база

Из сферическая система координат новую векторную базу можно определить в любой точке пространства с помощью векторов, касательных к координатным линиям. Является

∂ р = ( грех ⁡ θ потому что ⁡ ϕ грех ⁡ θ грех ⁡ ϕ потому что ⁡ θ ) = р ^ ; ∂ Икс

∂ θ = ( р потому что ⁡ θ потому что ⁡ ϕ р потому что ⁡ θ грех ⁡ ϕ − р грех ⁡ θ ) = р θ ^ ; ∂ Икс

Явно выражая отношения между основными векторными единицами, мы получаем:

Источник

Что такое полярные координаты?

Человеку всегда было важно понять свое место в окружающем мире. Причем не только в пространстве, но и во времени, и в социуме. Оставим в стороне время и социум, это тема отдельного большого разговора.

Сосредоточимся на пространстве. Как определить свое местоположение, местоположение других людей и окружающих предметов? И, что даже более важно, как сообщить это местоположение другим?

Этюд о координатах

Что определить абсолютное местоположение невозможно люди поняли очень давно. Можно только относительно чего либо, какого либо ориентира. Пример такого относительного позиционирования можно найти у Конан Дойля в «Обряд дома Месгрейвов». Помните?

«Сколько надо сделать шагов?» «На север — десять и десять, на восток — пять и пять, на юг — два идва, на запад — один и один и потом вниз».

В современной терминологии, ориентир и набор условий, которые определяют его использование, называют системой координат. А сами координаты определяют положение объекта в этой системе.

Развитие мореплавания, астрономии, геометрии, других наук, потребовало более точного и единообразного способа задания координат объектов. Давайте повнимательнее посмотрим на некоторые системы координат, их применение, изменение, и взаимосвязь между ними. В этой статье, как всегда, будет математика, но почти не будет физики.

Одномерная система координат

Давайте вспомним статью «Сага о треугольниках». Там я немного касался темы систем координат, когда говорил о прямой и плоскости. Начнем с простейшего случая — координатного луча.

Точку, относительно которой указывается положение, или координата, других точек называют началом координат. Обычно ее обозначают «0». Расстояние от начала координат до точки А (в нашем примере) называют координатой. В данном случае координата может быть только положительной, что кажется лишним, и искусственным ограничением. Это можно изменить

Название «координатная прямая» не совсем верное. Прямая не имеет направления. Луч имеет направление, но при этом имеет начало (как в первом случае). Тем не менее, буду использовать именно термин координатная прямая.

Но для любителей точности могу сказать, что так как точка делит прямую на два луча, то направление одного из них можно принять за положительное, а другого за отрицательное. Направление положительного луча обозначим стрелкой, а направление отрицательного ничем не будет обозначаться.

Точка, разделившая прямую на два координатных луча, относительно которой указывают местоположение (координаты) других точек, точно так же называется началом координат.

В этом примере «координату точки А» можно просто обозначить как «А», и она положительна. Координата точки Б отрицательна и обозначается как «-Б». Расстояние между двумя точками определяется как разность их координат. Исходя из этого получим, для нашего примера, расстояние АБ=А-(-Б)=А+Б.

Несмотря на простоту эта система координат применяется достаточно широко. Посмотрите на обычную линейку. Посмотрите на градусник. И это лишь простейшие примеры того, где она применяется.

Двумерная прямоугольная система координат. Декартова система координат

Теперь возьмем две пересекающиеся под прямым углом координатные прямые на плоскости. Мы получим самую широко используемую систему координат Декартову прямоугольную систему координат. Ее знают все еще со школьной скамьи. Ее я тоже упоминал, кратко, в статье «Сага о треугольниках». Давайте посмотрим на нее внимательнее.

Пока все просто, совсем как в школьных учебниках. Теперь координаты точки на плоскости задаются парой чисел. Точка А имеет координаты (Xа,Ya), а точка Б (Хб,-Yб). Координата Х называется абсциссой, а Y ординатой. Расстояние между точками А и Б, или длина отрезка АБ, теперь определяется гораздо сложнее

Откуда взялась эта формула? Если бы отрезок АВ был параллелен оси Х, то его длина была бы равна Хв-Ха, точно так же, как в одномерной системе координат. А если он будет параллелен оси Y, то Yb-Ya. Но у нас отрезок координатным осям не параллелен. А теперь посмотрите на эту же иллюстрацию под несколько другим углом

Видите прямоугольный треугольник? Да, мы опять встретили старого знакомого. И наш отрезок это гипотенуза треугольника. Если вспомнить, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то приведенная выше формула становится совершенно очевидной и понятной.

В декартовой системе координат можно задавать не только точки, но и произвольные плоские кривые (мы пока говорим о плоскости). Кривые задаются функциями определяющими зависимость между X и Y. Вот примеры нескольких, хорошо знакомых вам, еще со школы, кривых

Пока ничего особо интересного не было. До сих пор мы не выходили за пределы школьного учебника, но сейчас сделаем небольшой, совсем небольшой, шаг в сторону аналитической геометрии. Не пугайтесь, для понимания будет достаточно знаний геометрии и тригонометрии в рамках школьной программы.

Иногда нужно сменить систему координат, например, для упрощения расчетов. Так координаты вазы на столе можно отсчитывать от угла комнаты, а можно от угла стола. И тут у нас возникает вопрос, а как же изменятся координаты? Другими словами, нам нужны правила преобразования координат между двумя системами координат.

Сначала рассмотрим простейший пример переноса точки начала координат из точки О в точку О1. При этом у нас координатные оси новой системы координат будут параллельны координатным осям старой системы координат

Тут все просто, простейшая арифметика. Мы сдвинули точку начала координат O(0,0) в точку O1(dx,dy). При этом, в новой системе координат точка О1 будет иметь координаты (0,0). Преобразование координат между старой и новой системами будет таким

Но мы можем не только перенести начало координат, но и повернуть новую систему координат.

В этом случае преобразование координат будет сложнее. Я не буду приводить полный вывод формул преобразования координат, что бы излишне не усложнять статью, но покажу, откуда они берутся. Для этого рассмотрим упрощенный случай поворота системы координат без переноса ее начала

Поворот системы координат вокруг своего начала на угол α против часовой стрелки эквивалентен повороту точки А вокруг начала координат на тот же угол, но уже по часовой стрелке. Мы видим два прямоугольных треугольника. Если связать изменение абсциссы и ординаты точки А с углом поворота и добавить сдвиг начала координат, то получим вот такие формулы преобразования

Те, кто знаком с аналитической геометрией, без сомнения, узнали эти формулы. А остальные теперь узнали, откуда они взялись и могут просто применять их, если потребуется.

Давайте вернемся в рамки школьной программы. Кроме замены системы координат возможен и более простой случай преобразования координат. Я говорю об изменении масштаба по осям. По другому это можно назвать деформацией.

Масштаб по осям Х и Y может быть разным. При этом точка начала координат остается на месте. Я не буду приводить формулы преобразований, настолько они просты. Все преобразование будет сводиться к умножению, или делению, на коэффициент масштабирования.

Безусловно, возможно и одновременное выполнение переноса центра координат с поворотом и масштабированием.

Двумерные системы координат. Общий случай

На самом деле, система координат не обязательно требует прямого угла между осями координат. Угол может быть любым. Если при этом оси координат остаются прямыми линиями мы получим аффинную систему координат. Пример аффинной системы можно найти в статье «Сага о треугольниках», правда там я ее так не называл.

Рассмотрение подобных систем координат выходит далеко за рамки статьи, поэтому я ограничусь лишь этим примером.

Трехмерная декартова система координат

А если мы перейдем в более привычный нам трехмерный мир? К системе координат добавится ось Z. Теперь у нас Х это ширина, Y это высота, а Z это глубина пространства. Если воспользоваться обычным языком, а не математическим. Координата Z называется аппликатой

При этом с направлением оси Z могут быть варианты. Она может идти от нас, как показано на рисунке, или к нам. Это не меняет саму суть системы, но влияет на знак координаты z. Иногда говорят о правосторонней и левосторонней системах координат.

На рисунке я изобразил левостороннюю. Если бы ось Z шла к нам, то система была бы правосторонней. Точки Ayoz, Axoz и Axoy, на рисунке, являются проекциями точки А на соответствующую координатную плоскость.

С трехмерной декартовой системой координат возможны те же самые преобразования, которые мы рассматривали для двумерной. Но сами формулы будут гораздо сложнее и я не буду их приводить. При желании, их можно найти в учебниках аналитической геометрии.

Полярная система координат

Вы когда-нибудь задумывались о том, насколько противоестественной для человека является декартова система координат? Действительно, эта система фактически «взгляд со стороны», тогда как человек чаще всего чувствует центром именно себя.

Вы же не считаете, что, например, дерево расположено от вас в 5 шагах точно направо и 8 шагах точно вперед? Гораздо привычнее сказать, что дерево впереди и немного правее вас и расстояние до него шагов 10.

Этого мало? Посмотрите, например, на свою руку. Она имеет несколько центров вращения — плечо, локоть. И длина костей руки неизменна. Посмотрите на промышленных роботов, например, работающих на сборке автомобиля. Та же самая картина, несколько центров вращения (называемых осями) и сегменты неизменной длины.

Так не проще ли задавать координаты в виде угла поворота относительно центра вращения и расстояния от центра вращения до точки? Пилоты самолетов примерно этим и пользуются. Например, другой самолет на 10 часах и в 100 метрах означает, что он впереди и левее на 60 градусов, а расстояние до него 100 метров.

В математике такая система координат называется полярной. Вместо расстояний по осям в ней задается расстояние от полюса, центра координат, и угол, отсчитываемый против часовой стрелки, от полярной оси.

В полярной системе координаты точки А будут (r,φ). Выглядит непривычно? Между тем, полярная система координат, хоть и менее распространена, чем декартова, среди не математиков, находит широкое применение.

При этом надо отметить, что угол φ обычно лежит в пределах от 0 до 180 градусов. Или, что тоже самое, от 0 до π. Если угол больше 180 градусов, то меняют на угол противоположного знака (отсчет не против, а по часовой стрелке). Уравнениях некоторых кривых в этой системе выглядят проще, чем в декартовой

Да, уравнение окружности, центр которой не расположен в полюсе, выглядит сложноватым. Зато уравнение окружности с центром в полюсе очень простое. А мы ведь всегда можем сменить систему координат перенеся полюс. Прямая линия в полярной системе задается через нормаль, а не двумя точками, но само уравнение достаточно простое.

Кроме механики, я уже говорил о движениях роботов, полярная система находит применение и для работы с комплексными числами. А значит, широко применяется, например, в электротехнике и электронике (помните угол сдвига фазы?). Может использоваться и для векторных вычислений.

Я не буду рассматривать преобразования (сдвиги и вращения) для полярной системы координат. Те, кто в таких преобразованиях нуждаются, аналитическую геометрию и так знают. А для остальных это будет не слишком интересно, Но покажу, как она связана с ранее описанной декартовой системой координат. Да, это опять будут прямоугольные треугольники

Теперь мы можем выразить угол через отношение катетов, то есть координат точки А. А длину вектора r определить через теорему Пифагора. Точно так же легко выполняется и обратное преобразование.

Но давайте посмотрим на эти формулы внимательнее, нет ли тут скрытых проблем? А они есть! Что если наша точка лежит на одной из координатных осей? Увидели? Я специально выделил это красным. Это показывает, что нельзя бездумно применять формулы. Поэтому угол φ обычно вычисляют по другим формулам

В статье приведены формулы вычисления угла в том виде, в каком они приводятся в аналитической геометрии. Однако, в первоначальном варианте я приводил формулы для arcsin и arccos, так как хотел приблизить из вид к «школьному» для упрощения восприятия читателями. Но, как известно, благими намерениями вымощена дорога в ад.

И я упустил из виду, что области значений arcsin и arccos не охватывают всего диапазона от 0 до 360 градусов, так как при этом возникает неоднозначность. Таким образом, использование arcsin и arccos требует отдельного учета знака декартовых координат (номера квадранта), что наоборот усложняет их использование.

И я не указал этой особенности. Спасибо Трушину Виктору, который заметил эту оплошность в х. Это не решает проблему полностью, так как остается еще точка лежащая в начале координат. Но это особый случай, так как эта точка является полюсом. Для полюса невозможно указать угол φ, но сам полюс вполне однозначно определяется условием r=0.

Полярная система координат в пространстве

А что насчет полярной системы координат в трех измерениях? А вот тут возможны варианты. Во первых, мы можем провести ось из полюса перпендикулярную нашей плоскости и отсчитывать дополнительную координату по этой оси. Это даст нам цилиндрическую систему координат

Я уже признавался, что художник из меня плохой, поэтому привожу иллюстрацию из учебника аналитической геометрии кафедры математики физического факультета МГУ.

В цилиндрической системе координат координаты точки М будут (ρ,φ,z).

Но мы может указывать дополнительную координату и как угол к этой оси. Что дает нам сферическую систему координат.

Иллюстрация из учебника кафедры математики физфака МГУ

В этой системе координат точка М будет иметь координаты (r,φ,Θ).

Обратите внимание, что цилиндрическая и сферическая системы координат различаются лишь способом задания и записи координат. Сами системы определяются идентично — плоскостью, в которой лежит полюс и задается угол φ, и ортогональной это плоскости осью.

Я не буду приводить формулы для преобразования между Декартовой трехмерной системой координат и полярными трехмерными системами координат. Что бы не перегружать и не усложнять статью. Желающие могут найти их в учебниках аналитической геометрии.

Заключение

Пожалуй, на этом я остановлюсь. Я не затронул многие другие системы координат. В астрономии используют топоцентрическую, экваториальные, эклиптическую и галактическую системы координат. Координаты объектов на поверхности земного шара (и глобусе) определяются в географической системе координат.

Думаю, все слышали про параллели и меридианы, широту и долготу. Существует геодезическая система координат, учитывающая форму Земли. Есть астрономическая система координат позволяющая определить координаты объектов на поверхности Земли по положению звезд.

Этой системой координат пользовались, например, моряки в своих плаваньях к неизвестным берегам. Эта статья не учебник, это небольшой, и сильно упрощенный, безусловно, далеко не полный, обзор некоторых систем координат использующихся в математике и физике.

И рассчитана она не на корифеев математики, а на интересующихся математикой и физикой обычных людей. Для кого то она слишком проста, для кого то слишком сложна. Ее цель заинтересовать.

Источник