Что относится к модели бертрана

Модель олигополии Бертрана

В 1883 г. Бертран выступил с критикой модели Курно. Основная идея сводилась к тому, что в условиях однородности продукции логичнее ждать от фирм, действующих на рынке, конкуренции в ценах, а не в объемах производства. Действительно, фирма, снижая цену по сравнению со своими конкурентами, получает возможность значительно увеличить объем продаж своей продукции, а следовательно, имеет стимулы максимизировать получаемую прибыль через изменение цен на свою продукцию, а не объемов производства.

Таким образом, модель Бертрана основана на следующих предположениях:

1) на рынке продается однородная продукция, покупатели покупают продукцию у того производителя, который установит наименьшую цену, если цены устанавливаются одинаковые, то рынок делится между производителями поровну;

2) производители стремятся максимизировать прибыль, устанавливая соответствующую цену на свою продукцию и предполагая цены конкурентов неизменными;

3) остаточный спрос на продукцию производителей является падающей функцией от объема продаж.

В процессе решения модели дуополии Бертрана определяется рыночная цена, а не выпуск, поэтому функция рыночного спроса будет иметь вид: Q = a/b – (1/b)*p

В модели дуополии Бертрана возможны следующие равновесные состояния.

1. Если у одной из фирм имеется преимущество в издержках, тогда под воздействием ценовой конкуренции при условии, что данная фирма не ограничена в объемах производства, все остальные фирмы будут вытеснены с рынка, и данная фирма станет монополистом.

В условиях ценовой монополии фирма максимизирует прибыль и определяет уровень монопольной цены на уровне: P_m = (a+c)/2

При этом монопольный уровень выпуска составит: Q_m = (a-c)/2b

Монополист в этом случае получит максимальную прибыль в размере:

Монопольное положение фирмы, приводящее к монопольному ценообразованию, вызывает рост цены выше установившегося в результате ценовой конкуренции уровня. Это, в свою очередь, может привлечь на рынок новые фирмы и привести вновь к ценовой конкуренции. В итоге, равновесие, достигаемое в данном случае, является неустойчивым: цена подвержена циклическим колебаниям. Выходом для фирмы, обладающей преимуществом в издержках, в таких условиях может быть реализация стратегии препятствования входу на рынок новых фирм.

2. Если предельные издержки всех производителей одинаковы, то не смотря на то, что наиболее выгодным для дуополистов было бы установить цену на монопольном уровне и поделить рынок между собой, этого не происходит в связи с тем что они принимают решения независимо друг от друга. Если один дуополист установит цену на уровне монопольной, то другой предпочтет понизить цену, чтобы покупатели, привлеченные более низкой ценой, перешли к нему, а значит, второй дуополист должен (может) обеспечить весь рыночный спрос.

Предпосылка о разделе рынка дуополии Бертрана при равенстве назначаемых конкурентами цен принимается при построении кривой спроса отдельного дуополиста (рис. 7).

Рис 7. Функция спроса одного из дуополистов Бертрана

Если дуополисты назначат одинаковую цену, то они поделят рынок поровну, что соответствует точке F (см. рис. 7). Если же р₁ с, когда равновесие неустойчиво, дуополист в поиске наилучшего для себя решения анализирует фрагмент РМ функции спроса.

Для минимизации потерь прибыли дуополист Бертрана должен стремиться к понижению цены на бесконечно малую величину ξ. Это обеспечит ему захват рынка и максимальную прибыль приблизительно равную монопольной.

Другой дуополист не согласиться с такой ситуацией и имея возможность также уменьшит цену.

Положительная экономическая прибыль будет привлекать на рынок новых продавцов до тех пор, пока получаемая ими прибыль не станет равной нулю – в этом проявляется парадокс Бертрана: фирмы, обладающие рыночной властью в условиях олигополии, под воздействием ценовой конкуренции лишены сверхприбылей.

Наибольшее значение ξ = (a-c)/2, приведет к понижению цены до уровня равного предельным и средним издержкам, то есть до совершенно конкурентного уровня.

Равновесие на рынке дуополии Бертрана достигается когда ни один из конкурентов больше не может получать выгоды от снижения цены:

С учетом однородности продукции, равенства издержек у дуополистов, в условиях равновесия они разделят рынок между собой: q₁ * = q₂ * (а-с)/2b.

Равновесие в дуополии Бертрана имеет следующий вид (рис. 8).

Рис 8. Равновесие в дуополии Бертрана: случай однородного продукта.

В определенные моменты принятия решений линии реакции могут совпадать с биссектрисой координатного угла, а значит, возможны случаи установления одинакового уровня цен выше предельных и средних издержек (р₁ = р₂ > с).

Дальнейшее понижение цены (ниже точки B) теряет смысл, хотя в принципе возможно. Ситуация, когда фирмы снижают цены, получая при этом отрицательную прибыль, получила название «гиперконкуренция».

Серия последовательных уменьшений цены конкурирующими на рынке фирмами получила название ценовой войны. Ценовая война продолжается до тех пор, пока цена не снизится до уровня средних издержек.

3. В случае если производственные мощности фирм являются ограниченными, цены в результате конкуренции могут сложиться на уровне, превышающем предельные издержки, действующих на рынке фирм. Если фирмы достигли предела загрузки производственных мощностей, у них возникают стимулы к повышению цены выше установившегося уровня, что, в свою очередь, ведет снова к ценовой конкуренции. Такую ситуацию впервые достаточно подробно описал Эджуорт (1925), поэтому возникающее в случае ограниченных производственных мощностей циклическое движение цен принято называть «циклами Эджуорта».

Результат функционирования рынка в этом случае будет существенно зависеть от величины ограничений на производственные мощности фирм.

Стратегия поочередного уменьшения цены или ценовая война в поисках преимущества первого хода характерна и для модели дуополии Эджуорта.

В зависимости от параметров рынка и производственных ограничений мощности фирм определяется интервал колебания цен:

Размах колебания рыночной цены в процессе ценовой войны дуополистовЭджуорта определяется разностью между верхней и нижней границами интервала колебания цен и может быть представлен в виде функции от параметра х:

В модели Эджуорта равновесие достигается при х (Q; q_к) = (а-с)/3b.

Возможное колебание х в пределах: ((а-с)/3b; (а-с)/b).

Модель Бертрана демонстрирует стимулы фирм к координации своих действий через заключение каких-либо соглашений о ценовой политике для того, чтобы избежать ценовой конкуренции. Действительно, соглашение об установлении единой цены на монопольном уровне вело бы к максимизации совокупной прибыли фирм. Вместе с тем данная модель демонстрирует и наличие стимулов к нарушению подобных соглашений.

Источник

Модель Бертрана

Содержание

Предположения модели

В модели приняты следующие предположения:

Предположение о ценовой конкуренции означает, что фирмы могут легко изменять объем выпуска продукции, однако изменить цену после выбора очень трудно или невозможно.

Равновесие в классической модели Бертрана

Оптимальная цена фирмы 1 зависит от ее ожиданий относительно цены, назначаемой фирмой 2. Назначение своей цены немного ниже цены конкурента позволяет получить весь спрос потребителей D и максимизирует прибыль. Если фирма 1 ожидает, что фирма 2 будет устанавливать цену, не превышающую предельных издержек MC, то ее наилучшим ответом является установление цены, равной предельным издержкам.

Так как функции издержек обеих фирм одинаковы, наилучший ответ фирмы 2 p₂’’(p₁) будет симметричным относительно диагонали I координатного угла. Функции наилучших ответов обеих фирм приведены на диаграмме 2.

Результатом выбора стратегий фирмами является равновесие Нэша, представляющее собой пару цен (p₁, p₂) от которых невыгодно отклоняться ни одной фирме. Оно может быть найдено как точка пересечения кривых наилучших ответов (точка N на диаграмме). Видно, что в этой точке p₁ = p₂ = MC, т.е. обе фирмы устанавливают свои цены равными предельным издержкам.

Выводы

Модель Бертрана имеет два разумных исхода:

См. также

Литература

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Теория игрОпределенияНекооперативная игра · Кооперативная игра · Антагонистическая игра · Стохастическая игра · Дифференциальные игры · Игрок · Стратегия · Доминирование стратегийПринципы оптимальностиРавновесие Нэша · Эффективность по Парето · Равновесие в доминирующих стратегиях · Решение по доминированию · Равновесие дрожащей руки · Равновесие, совершенное по под-играм · Собственное равновесие · Сильное равновесие · Эпсилон-равновесие · Коррелированное равновесие · Секвенциальное равновесие · Доминирование по риску · Эволюционно стабильная стратегияПримеры игрДилемма заключённого · Трагедия общин · Модель Бертрана · Модель Курно · Модель Штакельберга

Источник

Модель Бертрана. Парадокс Бертрана

Одна из основных предпосылок модели Курно состоит в том, что предприятия конкурируют на рынке по количественным параметрам (объему выпуска). Однако, в реальности предприятия стараются конкурировать на рынке по ценам. Именно эти соображения вызывают сомнения в результатах модели определения равновесного объема выпуска.

С такой критикой модели дуополии Курно выступил французский математик и экономист Жозеф Бертран. Он предложил альтернативную модель дуополии, основывающуюся на следующих предположениях:

во-первых, если две фирмы продают однородный продукт, то потребители будут покупать его у той фирмы, которая запросит более низкую цену;

во-вторых, фирмы в модели Бертрана, наоборот, определяют цены, а объем выпуска определяется рынком.

Дуополия Бертрана – способ взаимодействия, при котором фирма принимает решение об объеме выпуска, исходя из предположения, что фирма-конкурент не изменит цену. Именно это предположение движет рынок к состоянию равновесия, в котором ни одна из фирм не желает менять свою цену. Такое равновесие наступает, когда цена продукта снижается до предельных издержек фирмы (а у Курно – предельная выручка снижается до предельных издержек).

Т.е. для дуополии Бертрана характерно принципиальное отличие: стратегической переменной, учитываемой фирмами при принятии решения, является не объем выпуска, а цена.

Предпосылки модели следующие:

1. Спрос зависит от уровня цены, которую решит установить вторая фирма.

Если она увеличит цену по сравнению с ценой конкурента, то спрос на ее продукцию будет равен нулю. Если вторая фирма установит цену, которая будет ниже цены конкурента, то она сможет переключить на себя весь спрос рынка. Если обе фирмы устанавливают одинаковую цену на товар, то они поделят поровну спрос на рынке.

2. Предполагается, что фирмы обладают достаточной мощностью для покрытия спроса всего рынка.

3. Стратегическими переменными каждой фирмы на рынке являются цены.

4. Фирмы выпускают однородный товар (имеющий близкие субституты).

5. Каждая фирма стремиться максимизировать прибыль, которую она может реализовать в условиях, создаваемых дуополией.

В модели Бертрана равновесие дуополистического рынка по ценам, объему производства и прибылям соответствует равновесию рынка совершенной конкуренции, т.е. две фирмы делят рынок на равные части и получают нулевые экономические прибыли.

Рассмотрим механизм действия фирм по модели Бертрана подробнее.

Фирмы назначают цены одновременно, так что каждая не может прогнозировать реакцию конкурента на сделанный ею самой выбор. Средние издержки фирм постоянны в долгосрочном периоде и равны между собой.

Цена фирмы 1может быть любой. Но как только это произошло, ее цена оказывается фиксированной при принятии решения фирмой 2. Если фирма 2 назначит цену выше цены фирмы 1, она не продаст ничего (спрос переключится на товар той фирмы, которая назначает более низкую цену). Фирма 2 может назначить цену на уровне цены фирмы 1 (рынок пополам) или ниже. Во втором случае фирма 2 захватывает весь рынок.

Подобную стратегию может проводить фирма 1 по отношению к фирме 2. В результате на рынке возникает ценовая конкуренция, и, как следствие, цена падает до минимально возможного уровня. Если фирмы идентичны, и их предельные издержки равны, равновесная цена установится на уровне предельных издержек. Любая цена выше предельных издержек не сможет стабилизировать рынок.

Сформулируем теорему Бертрана: при предпосылках, указанных выше, существует только единственное равновесие на таком рынке: Р₁ = Р₂ = МС, т.е. результатом является достижение конкурентного равновесия.

Если Р₁>Р₂>МС, фирма 1 не будет продавать товар и ее прибыль будет нулевой. Устанавливая цену Р₁ = Р₂— ε (чуть ниже конкурента), фирма 1 может захватить весь рынок и получить положительную прибыль. То же самое относится и к фирме 2, если она ответит снижением своей цены. Поэтому, такая ситуация (Р₁>Р₂>МС) не может быть равновесием, т.к. обе фирмы будут снижать цены, до тех пор пока они не сравняются с предельными издержками.

Если Р₁=Р₂>МС, то две фирмы поделят рынок. Однако, такая ситуация также нестабильна, т.к. если одна фирма снизит цену, весь рыночный спрос перейдет к ней и ее прибыли еще больше увеличатся. Т.е. данная ситуация также не является равновесной.

При условии Р₁>Р₂=МС фирма 2 не будет извлекать экономическую прибыль (т.к. цена равна предельным издержкам), а фирма 1 не получит прибыль, т.к. ее цена слишком велика и покупатели уйдут от нее. Однако, фирма 2 заинтересована в получении прибыли и, соответственно, в увеличении своей цены и удержании ее на уровне чуть ниже Р₁ с целью захвата всего рынка. Такая ситуация тоже не является равновесной.

Т.о., условие Р₁=Р₂=МС – это единственно возможный путь достижения равновесия на рынке (равновесие по Бертрану). В такой ситуации фирмы не будут извлекать экономическую прибыль, но будут занимать безразличную позицию по отношению к решению остаться на рынке или уйти с него.

Если же предельные издержки фирм не равны, фирма с более низкими предельными издержками получит конкурентное преимущество путем назначения цены ниже того уровня, при котором другая фирма еще сможет осуществлять свою деятельность на рынке. В результате фирма с более высокими издержками вынуждена будет уйти из отрасли.

Парадокс Бертрана сформулирован следующим образом: две фирмы действуют на рынке аналогично поведению большого (неограниченного) числа предприятий, т.е. в соответствии с поведением фирм на рынке совершенной конкуренции.

Следует отметить необычность ситуации, когда на рынке действуют только две фирмы и итогом их поведения является установление конкурентного равновесия. Если бы парадокс Бертрана имел место в действительности, крупные фирмы перестали бы заниматься производством, и рынок олигополии прекратил бы свое существование. Однако в реальности это не так. Крупные фирмы не только не прекращают производство, но и представляют собой господствующую структуру современной рыночной экономики, получая прибыли в долгосрочном периоде. Более реальными являются его модификации.

С точки зрения участников, олигополистическое ценообразование обладает всеми чертами состязания или игры. Задача каждого игрока состоит в том, чтобы выбрать стратегию, максимизирующую его результат, принимая в расчет стратегии других игроков. Например, в рамках теории игр парадокс Бертрана известен как «дилемма заключенного»: если виновные в совершении преступления стоят перед выбором стратегии «сознаваться» или «не сознаваться», причем делают выбор одновременно и независимо друг от друга, для каждого из них доминирующей стратегией служит стратегия «сознаваться». Рациональный выбор заключенных в длительном периоде будет состоять в том, чтобы сознаться, несмотря на возможность улучшения положения обоих в случае выбора ими стратегии «не сознаваться».

Для аспирантов

Представим парадокс Бертрана в виде теории игр. Если взаимодействие двух фирм продолжается один период времени, то игра приобретает характер «дилеммы заключенного». Возможные комбинации стратегий фирм и получаемых ими выигрышей представлены в таблице 5.2.

Таблица 6.2. Матрица ценовой игры в модели Бертрана

Фирмы могут выбирать стратегии низкой или высокой цены и получать соответственно результаты (прибыли) такие, что π2 π4>π3. Отсюда доминирующей стратегией для каждой фирмы будет стратегия «назначать низкую цену».

Если их взаимодействие продолжится бесконечно долго, доминирующими могут быть только две стратегии:

Максимальный выигрыш каждой фирмы от применения первой стратегии с учетом дисконтирования равен:

Максимальный выигрыш фирмы от применения второй стратегии равен:

Выбор оптимальной стратегии фирмы, таким образом, зависит от соотношения значений выигрышей по каждому из возможных вариантов.

то стимулов вести ценовую войну у фирм не будет.

Выбор стратегии «ценовой войны» (период падения цен) или «ценового мира» зависит как от объективных факторов (вероятности продолжения взаимодействия фирм в будущем), так и от субъективных факторов (межвременных предпочтений фирм).

Модель Бертрана, изменяя стратегическую переменную (цена вместо количества), приводит к фундаментально другому результату на рынке дуополии в сравнении с моделью Курно: в условиях равновесия по Бертрану цены на рынке снижаются до предельных издержек, т.е. до уровня значительно ниже ценовых значений в модели Курно (или модели Штакельберга).

Вывод: несмотря на то, что теории равновесия Курно и Бертрана являются объектами одной и той же концепции, они приводят к разным результатам. В точке равновесия Курно цена и объем выпуска устанавливаются между монопольным и общественно-оптимальным уровнем производства, тогда как равновесие Бертрана выражается в общественно-оптимальных цене и объема выпуска. Именно поэтому результат модели Бертрана не может удовлетворить фирму-производителя на дуополистическом рынке. Трудно представить, что две фирмы не будут пытаться влиять на цену, договариваясь об этом. Данную проблему призвана разрешить модель дуополии, предложенная английским экономистом Эджуортом.

Модель Эджворта

Эджворт (1925) предпринял попытку разрешить парадокс Бертрана. Созданная им модель позволяет решить проблему ценовой конкуренции, при которой цена продукта не опускается до уровня предельных издержек.

С другой стороны, данная модель не обладает ожидаемым состоянием равновесия, т.е. здесь не существует пары равновесных объемов выпуска и равновесной цены. Модель описывает рынок, на котором цены движутся циклически. Как только какая-либо из фирм пытается максимизировать собственную прибыль, цена вырастает и затем падает, но никогда не остается постоянной на одном и том же уровне. Если цена достигает размера предельных издержек, то она всегда возвращается на более высокий уровень. Таким образом, отрасль будет последовательно проходить через периоды падения цен («ценовые войны») и периоды роста цен.

Все это происходит из-за предположения о том, что фирмы дуополистического рынка ограничены по мощности, т.е. ни одна их фирм не обладает достаточной мощностью для производства такого количества продукции, которое соответствует объему спроса на рынке при уровне цены, равной предельным издержкам производства. Именно это предположение обеспечивает ситуацию, при которой устанавливаемые фирмами цены не падают неизбежно до уровня предельных издержек.

С точки зрения участников рынка, задача состоит в том, чтобы найти такую пару стратегий, которая решает проблему каждого.

Такая пара образует стабильное решение в том смысле, что ни один из игроков не будет изменять своей стратегии при заданной стратегии оппонента. Такое стабильное решение называется равновесием Нэша,, который нашел математическое выражение этой идеи.

Рассмотрим, установление равновесия на рынке при ценовом взаимодействии двух фирм и ограниченности их совокупных мощностей (по Эджворту).

Предположим, что выпуск каждой фирмы, действующей в отрасли, ограничен величиной К, составляющей половину того объема выпуска отрасли, на который предъявляется спрос при цене, равной предельным издержкам. Это означает, что кривые средних и предельных издержек каждой фирмы имеют вертикальный вид при q = К: предельные издержки производства следующей единицы можно считать стремящимися к бесконечности (рисунок 6.2).

Рисунок 6.2. Остаточный спрос в модели Эджворта (Qmax – ограниченный объем производства каждой из двух фирм)

Если обе фирмы назначают цену Р=МС, их совокупный выпуск (Q_мах = К₁+К₂) достаточен, чтобы удовлетворить отраслевой спрос (мой рис 1).

Если фирма 1 увеличит свою цену, потребители захотят покупать товар фирмы 2, предлагающей более низкую цену. Однако половина потребителей не сможет купить продукт из-за ограниченности производственных возможностей фирмы 2. Они будут вынуждены покупать продукт у фирмы 1 по высокой цене. (мой рис 2).

Фирма 1 столкнется с остаточным спросом RD_I, причем Qrd_I(Р) = Qd(Р) – К₂. (мой рис 3).

По отношению к этому остаточному спросу фирма 1 будет действовать как монополист, максимизируя прибыль там, где МRrd₁–МС₁. Цена фирмы 1 будет установлена на уровне Р₁>Р₂=МС, так что фирма 1 будет получать положительную экономическую прибыль, в то время как прибыль фирмы 2 останется равной нулю, несмотря на ее большую долю рынка.

В следующий период фирма 2 поднимет свою цену, но установит ее на уровне ниже P₁ так, чтобы переманить покупателей фирмы 1. Однако, поскольку производственные мощности фирмы 2 ограничены, она сможет удовлетворить только две трети рыночного спроса при установившейся цене. В этот период фирма 2 продаст в два раза больше, чем фирма 1, почти по той же цене, в результате чего прибыли фирмы 2 удвоятся по сравнению с 1.

Еще через период фирмы будут постепенно по очереди снижать цены до тех пор, пока одна из фирм не установит конечную цену Рк на уровне, при котором за счет роста объема продаж (ограничений, налагаемых производственными мощностями) ее прибыль не окажется равной прибыли при наивысшей цене

С этой точки зрения другая фирма может попытаться поднять цену до уровня Р₁. В результате начнется новый цикл последовательного снижения цен фирмами.

Таким образом, статическое равновесие с одной ценой никогда не будет достигнуто; уровень цен будет последовательно подниматься и опускаться в интервале Рк

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Источник