Что относится к многогранникам

Что такое многогранник? Примеры

Примеры многогранников:

1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Популярное

Изобретение календаря замечательное событие для человечества. То, что год состоит из 12ти месяцев ни для кого не секрет. С тех пор люди самыми различными способами группируют.

Геометрическая форма коробочки издалека напоминает округлую форму, что делает акцент на сходство с мячиком. Но если присмотреться по внимательнее, то мы видим.

Предположим, вы впервые увидели на прилавке книжного магазина или на страницах в интернете издание «Волшебные грани». Хочется попробовать? Но вот вопрос, какой выпуск взять на пробу.

Какое из известных нам геометрических тел обладает наибольшей прочностью? Наиболее устойчиво к внешним деформациям?

В качестве заставки для этой статьи мы предлагаем картинку из популярной телевикторины.

Источник

Лекции по теме «Многогранники»

Правильных многогранников вызывающе мало,

но этот весьма скромный по численности отряд

сумел пробраться в самые глубины различных наук.

На протяжении многих веков людей словно притягивают эти тела. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам (которых они считали полубогами) в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.

Но не только руками человека создаются эти загадочные тела. Одни из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (были обнаружены учеными с помощью электрического микроскопа). А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.

Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединённых таким образом, что каждая сторона любого многогранника является стороной ровно одного многоугольника. Многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами.

1. История изучения многогранников.

греческого «тетраэдр», «октаэдр», «гексаэдр», «додекаэдр», «икосаэдр»

означают: «четырехгранник», «восьмигранник», «шестигранник».

2. Свойства многогранников

Этим красивым телам посвящена 13-я книга «Начал» Евклида. ( Евклид (ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик).

Основное сочинение Евклида называется «Начала». «Начала» состоят из тринадцати книг. XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским. В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. Некоторый «платонизм» Евклида связан с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». «Начала» могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых «Платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

3. Многогранники выпуклые и невыпуклые

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону каждого плоского многоугольника на его поверхности (рис.б и рис. д)

4. Правильные многогранники

Первое определение: Правильным называется многогранник, у которого все грани это правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

Второе определение: Правильный многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Третье определение : Многогранник правильный если существует три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины

Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к

рис.1.

Платон и Платоновы тела

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь.

Атомы «стихий» настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомню, что консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин платоновых тел, ни обьемы правильных многогранников, ни число ребер или граней.

Характеристики Платоновых тел

Число вершин плюс число граней минус число рёбер равно двум.

Вершины + грани – ребра = 2

Евклид: Призма есть телесная фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же – параллелограммы.

Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания.

Свойства призмы :

Основания призмы равны.

У призмы основания лежат в параллельных плоскостях.

У призмы боковые ребра параллельны и равны.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Основания (ABCDE, KLMNP) – 2 грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, которые лежат в плоскостях, параллельных друг другу.

Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждая

из граней, не считая оснований. Все боковые грани – это параллелограммы.

Боковая поверхность – сумма боковых граней.

Полная поверхность – сумма основания и боковой поверхности.

Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороны боковых граней.

Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он перпендикулярен этим плоскостям.

Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной грани.

Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также диагональ основания.

Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной площади основания.

Площадь боковой поверхности произвольной призмы: S=P*l,

где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

Площадь боковой поверхности прямой призмы : S=P*h,

где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым рёбрам призмы.

Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

Свойства правильной четырехугольной призмы.

Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата;

Верхнее и нижнее основания параллельны;

Боковые грани имеют вид прямоугольников;

Все боковые грани равны между собой;

Боковые грани перпендикулярны основаниям;

Боковые ребра параллельны между собой и равны;

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям;

Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником;

Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям.

Формулы для правильной четырехугольной призмы.

Если основание призмы есть параллелограмм, то он называется параллелепипедом .

Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными (параллелепипед называется прямым, если его ребра перпендикулярны основаниям, в противном случае параллелепипед называется наклонным).

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины; SF — апофема

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); SO — высота

диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

OF — радиус вписанной в основание окружности

Если все боковые рёбра равны, то:

вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;

также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

высоты боковых граней равны;

площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: V = 1/3 Sh

Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания: S _p = S _b + S _o

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

боковые рёбра правильной пирамиды равны;

в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;

в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;

площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Источник

Что относится к многогранникам

Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников:

а) модель		б) эпюр
Рисунок 67. Пирамида

2. Призма — многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом (рис. 68).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 68. Призма

3. Призматоид — многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники или трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований (рис.69).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 69. Призматоид

4. Тела Платона. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными . Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 70. Тетраэдр

Гексаэдр — правильный шестигранник (рис. 71). Это куб состоящий из шести равных квадратов.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 71. Гексаэдр

Октаэдр — правильный восьмигранник ( рис.72). Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 72. Октаэдр

Додекаэдр — правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины (рис. 73).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 73. Додекаэдр

Икосаэдр — состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины (рис.74).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 74. Икосаэдр

5. Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Источник