Что относится к математике
Разделы математики
Существует три официальных способа подразделения математики.
Содержание
Математика как специальность
Математика как специальность научных работников министерства науки и технологий Российской Федерации [1] подразделяется на научные специальности
Математика как учебная дисциплина
Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе, и образованную дисциплинами:
и высшую математику, изучаемую в ВУЗе. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности. Программа обучения по специальности математика [2] образована следующими учебными дисциплинами:
Знаком (ф) отмечены дисциплины, которые изучаются при обучении по специальности «физика».
Систематизация научных работ
Для систематизации научных работ используется Универсальная десятичная классификация 51.
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Разделы математики» в других словарях:
МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ — Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера
История математики — История науки … Википедия
История математики в России — Данная статья часть обзора История математики. Содержание 1 Древность и средневековье 2 XVII век 3 … Википедия
Философия математики — учение о сущности математического знания и о базовых принципах математических доказательств, раздел философии науки; её можно также назвать «метаматематикой». Содержание 1 Возможность оснований математики 2 Литература … Википедия
История математики в Индии — Данная статья часть обзора История математики. Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний.… … Википедия
Институт математики и механики (НИИММ СПбГУ) — Научно исследовательский институт математики и механики имени академика В. И. Смирнова (НИИММ СПбГУ) структурное подразделение Санкт Петербургского государственного университета. Выполняет организационную роль, является материальной базой для… … Википедия
Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия
Дискретная математика — Дискретная математика область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях. К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а… … Википедия
Математический анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… … Википедия
МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ — способ построения теории, при к ром в ее основу кладутся нек рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых д о к а з а т е л ь с т в а м и. Правила, по к рым… … Философская энциклопедия
Математика
Содержание
Основные сведения
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).
Этимология
В текстах на русском языке слово «математика» или «мафематика» встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год) [5]
Определения
Одно из первых определений предмета математики дал Декарт [6] :
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Это определение Энгельса [8] ; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.
Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,— именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.
Приведём ещё несколько современных определений.
Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.
Разделы математики
1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:
и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.
Программа обучения по специальности математика [13] образована следующими учебными дисциплинами:
2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации [14] подразделяется на специальности:
3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» [15] универсальной десятичной классификации (УДК).
4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.
Обозначения
Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.
Краткая история
Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:
Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.
Философия математики
Цели и методы
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.
Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.
Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство 
, при 
3″ border=»0″ /> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях». [16]
Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.
Основания
Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.
Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.
Теоретико-множественный подход
Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.
Логицизм
Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.
Формализм
Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.
Интуиционизм
Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).
Конструктивная математика
Основные темы
Числа
Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.
| |||||||||||||||
 |  | ||||||||||||||
| Комплексные числа | Кватернионы | ||||||||||||||
 Числовые системы | |
|---|---|
| Счётные множества | Натуральные числа ( ) • Целые ( ) • Рациональные ( ) • Алгебраические ( ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |
| Вещественные числа и их расширения | Вещественные ( ) • Комплексные ( ) • Кватернионы ( ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ( ) • Седенионы ( ) • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.) |
| Другие числовые системы | Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа |
| См. также | Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион |
Преобразования
 |  |  |  |
| Арифметика | Дифференциальное и интегральное исчисление | Векторный анализ | Анализ |
 |  |  | |
| Дифференциальные уравнения | Динамические системы | Теория хаоса |
Структуры
Пространственные отношения
Более наглядные подходы в математике.
Дискретная математика
Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.
 |  |  |  |
| Математическая логика | Теория вычислимости | Криптография | Теория графов |
Коды в системах классификации знаний
Онлайновые сервисы
Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. [20] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.
Что такое математика
Математика — царица всех наук
Гаусс Карл Фридрих
Математика — наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. Наука, занимающаяся изучением чисел, структур, пространств и преобразований.
Как правило, люди думают, что математика — это всего лишь арифметика, то есть изучение чисел и действий с их помощью, например, умножения и деления. На самом деле математика — это намного больше. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой. Взаимоотношения чисел выражаются в математических символах, которые описывают Вселенную, в которой мы живем. Любой нормальный ребенок может преуспевать в математике, потому что «ощущение числа» — это врожденная способность. Правда, для этого нужно приложить некоторые усилия и затратить немного времени.
Умение считать — это еще не все. Ребенку необходимо уметь хорошо выражать свои мысли, чтобы понимать задачи и устанавливать связи между фактами, которые хранятся в памяти. Для того чтобы выучить таблицу умножения, нужны память и речь. Именно поэтому некоторым людям с поврежденным мозгом трудно умножать, хотя другие виды счета не представляют для них сложности.
Для того чтобы хорошо знать геометрию и разбираться в форме и пространстве, требуются и другие виды мышления. С помощью математики мы решаем в жизни проблемы, например, делим шоколадку поровну или находим нужный размер ботинок. Благодаря знанию математики ребенок умеет копить карманные деньги и понимает, что можно купить и сколько денег тогда у него останется. Математика — это еще и способность отсчитать нужное количество семян и посеять их в горшочек, отмерять нужное количество муки для пирога или ткани на платье, понять счет футбольной игры и множество других повседневных дел. Везде: в банке, в магазине, дома, на работе — нам необходимо умение понимать числа, формы и меры и обращаться с ними. Числа — это только часть особого математического языка, а лучший способ выучить любой язык — это применять его. И начинать лучше с ранних лет.
О математике «умно»
Обычно идеализированные свойства исследуемых объектов и процессов формулируются в виде аксиом, затем по строгим правилам логического вывода из них выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Т.о. первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное к математике положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе существует много различных определений математики.
Разделы математики
Цели и методы
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного математика — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.
Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.
Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.
Видео-лекция Смирнова С.К. и Ященко И.В. «Что такое математика»: