Что открыл перельман в математике
drumsmen
drumsmenПУСТЬ ВРЕМЯ ВАШИХ ПЕРЕМЕН РАБОТАЕТ НА ВАС!
«Задача тысячелетия», решенная российским математическим гением, имеет отношение к происхождению Вселенной. Понять суть загадки дано не каждому математику…
ИГРА РАЗУМА
Еще недавно математика не сулила ни славы, ни богатства своим «жрецам». Им даже Нобелевскую премию не давали. Нет такой номинации. Ведь, по весьма популярной легенде, жена Нобеля однажды изменила ему с математиком. И в отместку богач лишил всю их крючкотворную братию своего уважения и призовых денег.
Ситуация изменилась в 2000 году. Частный математический Институт Клэя (Clay Mathematics Institute) выбрал семь наиболее трудных задач и пообещал за решение каждой платить по миллиону долларов.
На математиков посмотрели с уважением. В 2001 году на экраны даже вышел фильм «Игры разума», главным героем которого стал математик.
Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства. Или оценить его, не имея возможности взглянуть на форму этого пространства со стороны. Например, на нашу Вселенную.
Как написал в своей популярной книге другой российский математик, Владимир Успенский, «в отличие от двухмерных сфер трехмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трехчлен».
Жюль Анри Пуанкаре предположил такое в 1904 году. Теперь Перельман убедил всех понимающих, что французский тополог был прав. И превратил его гипотезу в теорему.
Доказательство помогает понять, какая форма у нашей Вселенной. И позволяет весьма обоснованно предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера.
Гениальный математик из Санкт-Петербурга Григорий Перельман, прославившийся на весь мир доказательством гипотезы Пуанкаре, наконец, объяснил свой отказ от присужденной за это премии в миллион долларов. Как утверждает «Комсомольская правда», ученый-затворник раскрылся в беседе с журналистом и продюсером кинокомпании «Президент-фильм», которая с согласия Перельмана будет снимать о нем художественную ленту «Формула Вселенной».
Пообщаться с великим математиком посчастливилось Александру Забровскому — он несколько лет назад уехал из Москвы в Израиль и догадался связаться сначала с мамой Григория Яковлевича через еврейскую общину Петербурга, оказав ей помощь. Она поговорила с сыном, и после ее хорошей характеристики тот согласился на встречу. Это поистине можно назвать достижением — журналистам не удавалось «поймать» ученого, хотя они сутками просиживали у его подъезда.
Как рассказал газете Забровский, Перельман произвел впечатление «абсолютно вменяемого, здорового, адекватного и нормального человека»: «Реалистичный, прагматичный и здравомыслящий, но не лишенный сентиментальности и азарта… Все, что ему приписали в прессе, будто он «не в себе», — полная чушь! Он твердо знает, чего хочет, и знает, как добиться цели».
Фильм, ради которого математик пошел на контакт и согласился помогать, будет не о нем самом, а о сотрудничестве и противоборстве трех основных мировых математических школ: российской, китайской и американской, наиболее продвинувшихся по стезе изучения и управления Вселенной.
На вопрос, почему Перельман отказался от миллиона, он ответил:
«Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите — зачем же мне бежать за миллионом?»
Забровский разрешил изданию опубликовать фрагмент интервью с ученым, взятого на скамейке в сквере напротив Мариинского театра.
Ученого обижает, как его называют в российской прессе
Перельман объяснил, что не общается с журналистами, потому что тех занимает не наука, а вопросы личного и бытового характера — начиная с причин отказа от миллиона и заканчивая вопросом о стрижке волос и ногтей.
Конкретно с российскими СМИ он не хочет контактировать еще и из-за неуважительного к нему отношения. Например, в прессе его называют Гришей, и такая фамильярность обижает.
Григорий Перельман рассказал, что еще со школьных лет привык что называется «тренировать мозг». Вспоминая, как, будучи «делегатом» от СССР получил золотую медаль на математической олимпиаде в Будапеште, он сказал: «Мы пытались решать задачи, где непременным условием было умение абстрактно мыслить.
В этом отвлечении от математической логики и был главный смысл ежедневных тренировок. Чтобы найти правильное решение, необходимо было представить себе «кусочек мира».
В качестве примера такой «труднорешаемой» задачи он привел такую: «Помните библейскую легенду о том, как Иисус Христос ходил по воде, аки посуху. Так вот мне нужно было рассчитать, с какой скоростью он должен был двигаться по водам, чтобы не провалиться».
С тех пор всю свою деятельность Перельман посвятил исследованию проблемы изучения свойств трехмерного пространства Вселенной: «Это очень интересно. Я пытаюсь объять необъятное. Только ведь любое необъятное тоже объятно», — рассуждает он.
Диссертацию ученый писал под руководством академика Александрова. «Тема была несложной: «Седловидные поверхности в евклидовой геометрии». Можете представить себе в бесконечности равновеликие и неравномерно удаленные друг от друга поверхности? Нам нужно измерить «впадины» между ними», — пояснил математик.
Что значит открытие Перельмана, пугающее спецслужбы мира
«Формулой Вселенной» утверждение Пуанкаре называют из-за его важности в изучении сложных физических процессов в теории мироздания и из-за того, что оно дает ответ на вопрос о форме Вселенной. Сыграет это доказательство большую роль в развитии нанотехнологий».
«Я научился вычислять пустоты, вместе с моими коллегами мы познаем механизмы заполнения социальных и экономических «пустот», — сказал он. — Пустоты есть везде. Их можно вычислять, и это дает большие возможности…
Как пишет издание, масштаб того, что открыл Григорий Яковлевич, фактически шагающий впереди сегодняшней мировой науки, сделало его объектом постоянного интереса спецслужб, не только российских, но и зарубежных.
Он постиг некие сверхзнания, помогающие понять мироздание. И тут возникают вопросы такого рода: «А что будет, если его знания найдут практическое воплощение?»
По сути, спецслужбам нужно знать — представляет ли собой Перельман, а точнее, его знания, угрозу для человечества? Ведь если с помощью его знаний можно свернуть Вселенную в точку, а потом ее развернуть, то мы можем погибнуть либо возродиться в ином качестве? И тогда мы ли это будем? И нужно ли нам вообще управлять Вселенной?
А В ЭТО ВРЕМЯ
Мама гения: «Не задавайте нам вопросов о деньгах!»
Когда стало известно, что математику присудили «Премию тысячелетия», перед его дверью собралась толпа журналистов. Все хотели лично поздравить Перельмана и узнать, возьмет ли он свой законный миллион.
Мы долго стучали в хлипкую дверь (вот бы на премиальные деньги заменить ее), однако математик не открыл. Зато его мать вполне доходчиво расставила все точки над «i» прямо из прихожей.
Люди, живущие в этом же подъезде, очень удивлялись, увидев внезапный интерес к Перельману.
Говорят, накануне математик был замечен с полными пакетами продуктов из магазина. Готовился «держать осаду» вместе с мамой. В прошлый раз, когда в прессе началась шумиха по поводу премии, Перельман не выходил из квартиры три недели.
КСТАТИ
За что еще дадут миллион долларов…
В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клея (Landon T. Clay) в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени (Clay Mathematics Institute) для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь самых, по их мнению, головоломных проблем. И назначили по миллиону долларов за каждую.
1. Проблема Кука
2. Гипотеза Римана
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера
Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.
4. Гипотеза Ходжа
В ХХ веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.
5. Уравнения Навье – Стокса
О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.
6. Уравнения Янга – Миллса
Что доказал Григорий Перельман? для чайников
— Вчера рассказал сыну теорию струн. Пусть лучше от меня узнает, чем во дворе.
Эта статья оскорбляет чувства гуманитариев по религиозному и гендерному признакам, поэтому, когда вы поймете, что ваш мир не будет прежним, вернитесь и не читайте статью. (статья – компиляция разных авторов, ибо очень сложно, прошу их простить меня)
Начнем с топологии. Вообще, топологию определяют как «резиновую геометрию», как науку о свойствах геометрических образов. Для понимания, чем топология занимается покажем видео –
( это не имеет отношения к распутыванию наушников, и выворачиванию наволочек, хоть и похожеJ)
Великим достижением чистой математики называют доказательство Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое связное, односвязное, компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S 3 ». (В переводе на общедоступный язык, это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать.
и наручниками
кружка гомеоморфна бублику, причем этот факт верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для заполненных тел (трехмерных многообразий с краем).
Но это, опять-таки, минимальная оценка. Астрономы считают, что скопления пыли в межгалактическом пространстве отбирают у нас 90% наблюдаемых объектов — 7 триллионов легко превращается в 73 триллиона.
Тут человеки меряются чем то, пытаются представить себя чем то, или себе. а там, за окном вон чего происходит.)
«Но по факту, может оказаться (из за этих математиков), вся эта бесконечная для нас Вселенная занимает место в миллиарды раз меньше, чем кончик иглы»
Как так? Обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно.( В этой фразе имеется непонятное, которые надо объяснить так, чтобы их общий смысл стал понятен. Добавляем видеоряд –
Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии.
Если мыльный пузырь двумерная сфера, то третье измерение можно представить как интерференционную картину (Распределение интенсивности света, получающееся в результате интерференции, в месте ее наблюдения). на его поверхности, например, ну это всем просто и понятно.
Но если быть честным и пройти этот путь до конца, то нужно понимать, что пространство (или чего там) может быть совсем иным и не представляемым.
Читатель! Если ты еще здесь, дальше будет легче, потерпи.
Шарику в колее, катящемуся под уклон, тоже может казаться что движения в других направлениях невозможны. И в его понимании свойства системы координат не будут отличаться от свойств времени. Ну или как вариант какой либо астероид между галактиками. Траектория его движения близка к прямой. Понять что это не прямая можно только после очень долгих наблюдений. Потому как галактики далеко, и их воздействие почти неощутимо. Как понять это находясь на астероиде — тот еще вопросик. И для этого астероида по сути есть только одно измерение пространства и одно времени. Хотя вселенная та же что и у нас.
Так что то, что мы так воспринимаем время, может быть простым субъективным заблуждением. Саму природу времени и все его свойства мы не понимаем и не факт что когда либо поймем. Т.е. в данном случае нужно говорить что «с точки зрения такой то теории, мы считаем что пространство и время обладают разными свойствами».
Надеюсь, ты читатель разобрался в этом. Но не расстраивайся, если так же как и я. После опубликования доказательства Перельмана прошло четыре года прежде чем некоторые (во всем мире) смогли проверить и подтвердить истинность доказательства.
Когда то, думающие люди разделили Мир на Познаваемый и НЕПОЗНАВАЕМЫЙ (в принципе непознаваемый).
И в Непознаваемый мир поместили ВЕРУ.
«БОГ» смог бы доказать людям что это именно «ОН БОГ»?.
Разница в возможностях огромна и бесконечна!
ТОЛЬКО ВЕРИТЬ в непознаваемое.
Если сосредоточиться на Главном – «БОГ» это Доказуемо и Познаваемо, или Опровергаемо. Слово «Бог», это попытка описать неописуемое, пожалуйста не придирайтесь.
Кто может обладать знанием и умением различать, «Бог» это или просто «материя+сознание»? Реальное и объективное, или личное впечатление?
Зы: не сомневаюсь, что есть люди, понявшие и видящие многомерность пространства до 7 измерения, и даже есть люди, понявшие и видящие многомерность «Бога», но заканчиваются ли многомерности и познания на этом? Может их 42?
Что же доказал Григорий Перельман?
Сергей Дужин,
доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института РАН
«Троицкий вариант» №10(104), 22 мая 2012 года
Последним великим достижением чистой математики называют доказательство петербуржцем Григорием Перельманом в 2002–2003 годах гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое связное, односвязное, компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S 3 ».
В этой фразе имеется несколько терминов, которые я постараюсь объяснить так, чтобы их общий смысл стал понятен нематематикам (я предполагаю, что читатель закончил среднюю школу и кое-что из школьной математики еще помнит).
Начнем с понятия гомеоморфизма, центрального в топологии. Вообще, топологию часто определяют как «резиновую геометрию», т. е. как науку о свойствах геометрических образов, которые не меняются при плавных деформациях без разрывов и склеек, а точнее, при возможности установить между двумя объектами взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие.
Главную идею проще всего объяснить на классическом примере кружки и бублика. Первую можно превратить во второй непрерывной деформацией.
Эти рисунки наглядно показывают, что кружка гомеоморфна бублику, причем этот факт верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для заполненных тел (трехмерных многообразий с краем).
Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы.
Размерность многообразия — это число степеней свободы у точки, которая на нем «живет». У каждой точки есть окрестность в виде диска соответствующей размерности, т. е. интервала прямой в одномерном случае, круга на плоскости в двумерном, шара в трехмерном и т. д. Одномерных связных многообразий без края с точки зрения топологии всего два: это прямая и окружность. Из них только окружность компактна.
Примером пространства, не являющегося многообразием, может служить, например, пара пересекающихся линий — ведь у точки пересечения двух линий любая окрестность имеет форму креста, у нее нет окрестности, которая была бы сама по себе просто интервалом (а у всех других точек такие окрестности есть). Математики в таких случаях говорят, что мы имеем дело с особым многообразием, у которого есть одна особая точка.
Двумерные компактные многообразия хорошо известны. Если рассматривать только ориентируемые 1 многообразия без края, то они с топологической точки зрения составляют простой, хотя и бесконечный, список: и так далее. Каждое такое многообразие получается из сферы приклеиванием нескольких ручек, число которых называется родом поверхности.
На рисунке изображены поверхности рода 0, 1, 2 и 3. Чем выделяется сфера из всех поверхностей этого списка? Оказывается, односвязностью: на сфере любую замкнутую кривую можно стянуть в точку, а на любой другой поверхности всегда можно указать кривую, которую стянуть в точку по поверхности невозможно.
Любопытно, что и трехмерные компактные многообразия без края можно в некотором смысле классифицировать, т. е. выстроить в некоторый список, хотя не такой прямолинейный, как в двумерном случае, а имеющий довольно сложную структуру. Тем не менее, трехмерная сфера S 3 выделяется в этом списке точно так же, как двумерная сфера в списке, приведенном выше. Тот факт, что любая кривая на S 3 стягивается в точку, доказывается столь же просто, как и в двумерном случае. А вот обратное утверждение, а именно, что это свойство уникально именно для сферы, т. е. что на любом другом трехмерном многообразии есть нестягиваемые кривые, очень трудное и в точности составляет содержание гипотезы Пуанкаре, о которой мы ведем речь.
Поясним эту конструкцию сначала на простых примерах. Возьмем обычную бесконечную прямую (одномерный аналог пространства) и добавим к ней одну «бесконечно удаленную» точку, считая, что при движении по прямой вправо или влево мы в конце концов попадаем в эту точку. С топологической точки зрения нет разницы между бесконечной прямой и ограниченным открытым отрезком (без концевых точек). Такой отрезок можно непрерывно изогнуть в виде дуги, свести поближе концы и вклеить в место стыка недостающую точку. Мы получим, очевидно, окружность — одномерный аналог сферы.
Таким образом, сфера без одной точки — это топологически все равно, что плоскость, а добавление точки превращает плоскость в сферу.
Вот как это можно понять. Вложим тор в R 3 как обычно, в виде круглого бублика, и проведем вертикальную прямую — ось вращения этого бублика. Через ось проведем произвольную плоскость, она пересечет наше полноторие по двум кругам, показанным на рисунке зеленым цветом, а дополнительная часть плоскости разбивается на непрерывное семейство красных окружностей. К их числу относится и центральная ось, выделенная более жирно, потому что в сфере S 3 прямая замыкается в окружность. Трехмерная картина получается из этой двумерной вращением вокруг оси. Полный набор повернутых окружностей заполнит при этом трехмерное тело, гомеоморфное полноторию, только выглядящее необычно.
В самом деле, центральная ось будет в нем осевой окружностью, а остальные будут играть роль параллелей — окружностей, составляющих обычное полноторие.
Чтобы было с чем сравнивать 3-сферу, я приведу еще один пример компактного 3-многообразия, а именно трехмерный тор. Трехмерный тор можно построить следующим образом. Возьмем в качестве исходного материала обычный трехмерный куб:
В нем имеется три пары граней: левая и правая, верхняя и нижняя, передняя и задняя. В каждой паре параллельных граней отождествим попарно точки, получающиеся друг из друга переносом вдоль ребра куба. То есть будем считать (чисто абстрактно, без применения физических деформаций), что, например, A и A’ — это одна и та же точка, а B и B’ — тоже одна точка, но отличная от точки A. Все внутренние точки куба будем рассматривать как обычно. Сам по себе куб — это многообразие с краем, но после проделанных склеек край замыкается сам на себя и исчезает. В самом деле, окрестностями точек A и A’ в кубе (они лежат на левой и правой заштрихованных гранях) служат половинки шаров, которые после склейки граней сливаются в целый шарик, служащий окрестностью соответствующей точки трехмерного тора.
Чтобы ощутить устройство 3-тора исходя из обыденных представлений о физическом пространстве, нужно выбрать три взаимно перпендикулярных направления: вперед, влево и вверх — и мысленно считать, как в фантастических рассказах, что при движении в любом из этих направлений достаточно долгое, но конечное время, мы вернемся в исходную точку, но с противоположного направления. Это тоже «компактификация пространства», но не одноточечная, использованная раньше для построения сферы, а более сложная.
На трехмерном торе есть нестягиваемые пути; например, таковым является отрезок AA’ на рисунке (на торе он изображает замкнутый путь). Его нельзя стянуть, потому что при любой непрерывной деформации точки A и A’ обязаны двигаться по своим граням, оставаясь строго друг напротив друга (иначе кривая разомкнется).
Итак, мы видим, что бывают односвязные и неодносвязные компактные 3-многообразия. Перельман доказал, что односвязное многообразие ровно одно.
Исходной идеей доказательства является использование так называемого «потока Риччи»: мы берем односвязное компактное 3-многообразие, наделяем его произвольной геометрией (т. е. вводим некоторую метрику с расстояниями и углами), а затем рассматриваем его эволюцию вдоль потока Риччи. Ричард Гамильтон, который высказал эту идею в 1981 году, надеялся, что при такой эволюции наше многообразие превратится в сферу. Оказалось, что это неверно, — в трехмерном случае поток Риччи способен портить многообразие, т. е. делать из него немногообразие (нечто с особыми точками, как в приведенном выше примере пересекающихся прямых). Перельману путем преодоления неимоверных технических трудностей, с использованием тяжелого аппарата уравнений с частными производными, удалось внести поправки в поток Риччи вблизи особых точек таким образом, что при эволюции топология многообразия не меняется, особых точек не возникает, а в конце концов, оно превращается в круглую сферу. Но нужно объяснить, наконец, что же такое этот поток Риччи. Потоки, использованные Гамильтоном и Перельманом, относятся к изменению внутренней метрики на абстрактном многообразии, и это объяснить довольно трудно, поэтому я ограничусь описанием «внешнего» потока Риччи на одномерных многообразиях, вложенных в плоскость.
Представим себе гладкую замкнутую кривую на евклидовой плоскости, выберем на ней направление и рассмотрим в каждой точке касательный вектор единичной длины. Тогда при обходе кривой в выбранном направлении этот вектор будет поворачиваться с какой-то угловой скоростью, которая называется кривизной. В тех местах, где кривая изогнута круче, кривизна (по абсолютной величине) будет больше, а там, где она более плавная, кривизна будет меньше.
Кривизну будем считать положительной, если вектор скорости поворачивает в сторону внутренней части плоскости, разбитой нашей кривой на две части, и отрицательной, если он поворачивает вовне. Это соглашение не зависит от направления обхода кривой. В точках перегиба, где вращение меняет направление, кривизна будет равна 0. Например, окружность радиуса 1 имеет постоянную положительную кривизну, равную 1 (если считать ее в радианах).
Теперь забудем про касательные векторы и к каждой точке кривой прикрепим, наоборот, перпендикулярный ей вектор, по длине равный кривизне в данной точке и направленный вовнутрь, если кривизна положительна, и вовне, если отрицательна, а затем заставим каждую точку двигаться в направлении соответствующего вектора со скоростью, пропорциональной его длине. Вот пример:
Оказывается, что любая замкнутая кривая на плоскости ведет себя при такой эволюции подобным же образом, т. е. превращается, в конце концов, в окружность. Это и есть доказательство одномерного аналога гипотезы Пуанкаре при помощи потока Риччи (впрочем, само утверждение в данном случае и так очевидно, просто способ доказательства иллюстрирует, что происходит в размерности 3).
Заметим в заключение, что рассуждение Перельмана доказывает не только гипотезу Пуанкаре, но и гораздо более общую гипотезу геометризации Тёрстона, которая в известном смысле описывает устройство всех вообще компактных трехмерных многообразий. Но этот предмет лежит уже за рамками настоящей элементарной статьи.
1 За неимением места, я не буду говорить о неориентируемых многообразиях, примером которых может служить известная бутылка Клейна — поверхность, которую нельзя вложить в пространство без самопересечений.