Что открыл перельман простыми словами
История науки: гипотеза Перельмана
11 ноября 2002 года была опубликована статья Григория Перельмана, в которой приводилось доказательство гипотезы Пуанкаре.
«Это был беспрецедентный случай. Медали Филдса, столь же престижной в математике, как и Нобелевская премия в других областях науки, удостоено эпохальное достижение — работа, в которой приводится доказательство гипотезы Пуанкаре», — этими словами начинается фильм «Чары гипотезы Пуанкаре», посвященный гипотезе и человеку, ее доказавшему.
Гипотеза была сформулирована французским математиком и физиком Анри Пуанкаре в 1904 году. Она является одной из задач, с которыми работает топология, — раздел математики, в развитии которого основопологающую роль сыграл Пуанкаре. Топология в широком смысле рассматривает явление непрерывности и его свойства. В топологии любые объекты изучаются с точностью до непрерывных деформаций без разрывов. Если рассматривать трехмерное пространство, то любой объект без отверстий (например, лист) топологически эквивалентен сфере, любой объект с одним отверстием (например, кружка) — тору, следующие — тору с двумя отверстиями и так далее. Также важным понятием является ориентируемость. В простейшем случае поверхности это свойство означает невозможность попадания с одной ее стороны на другую при гладком движении вдоль нее. В частности, если свернуть лист бумаги в трубочку, то получает ориентируемая поверхность, а лист Мебиуса является неориентируемой. Аналогично в в случае замкнутых поверхностей: сфера — ориентируема, бутылка Клейна — нет.
Гипотеза звучит так: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Односвязное, то есть такое, любую замкнутую линию в котором можно стянуть в одну точку (условно — сфера, а не тор, так как на торе это помешает сделать «дырка»). Компактность в топологии является обобщением свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах. В простейшем одномерном случае компактным является, например, отрезок, так как при любом растяжении он останется ограничен некоторыми точками. А вот открытый интервал на прямой можно растянуть до бесконечной прямой, то есть он некомпактен. Трехмерное многообразие без края — это такой геометрический объект, в котором каждая точка имеет открытую окрестность в виде трехмерного шара. Примером его может служить «внутренность» тора, полноторие. Однако если добавить к нему поверхность, сам тор, то у граничных точек не будет окружения со всех сторон, а значит такой объект будет многообразием с краем. Гомеоморфизм устанавливает соответствие между объектами одного класса (условно «сфера» или «тор»). Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерного шара. Представить его людям, живущим в трехмерном пространстве, конечно, нелегко.
Иллюстрация гипотезы Пуанкаре для двумерной поверхности («обруч» на сфере)
Salix alba/Wikimedia Commons
Чтобы понять гипотезу Пуанкаре, математики предлагают провести мысленный эксперимент, например такой: «Возьмем ракету и привяжем к ней очень длинную веревку и запустим ракету в космос. Ракета с привязанной к хвосту веревкой облетает всю Вселенную и благополучно возвращается на Землю. И теперь у вас в руках оба конца веревки, которую протащили через всю Вселенную. Получилась гигантская петля. Теперь можно вытянуть всю веревку, стягивая петлю. Когда мы вытянем ее всю, что мы сможем сказать о форме Вселенной? Если вы протащите веревку через всю Вселенную и в любом случае сможете стянуть ее до конца, разве вы не признаете, что Вселенная в принципе имеет форму шара?» Таким образом мы бы доказали, что Вселенная представляет собой односвязное многообразие, то есть ее можно стянуть в точку, а, следовательно, и ее появление даже из бесконечно малого «зародыша» не противоречит топологии. Однако если это не удастся, то получается, что Вселенная обладает более сложной топологией, как минимум не проще, чем у тора. Так доказательство гипотезы приобретает мировоззренческое значение.
Человек не может взглянуть на Вселенную со стороны, однако Пуанкаре предположил, что можно математически доказать принадлежность формы Вселенной к тому или иному классу, что и предполагает гипотеза. Первые два доказательства — самого Пуанкаре и человека, обратившего внимание математиков на гипотезу, Джона Уайтхеда, — быстро были опровергнуты самими авторами. Однако интерес к гипотезе нарастал: доказать ее пытались лучшие умы, но безуспешно. Иногда, как в случае математика греческого происхождения Христоса Папакириакопулоса, стремление найти доказательство приобретало характер одержимости, но не приводило к значительным подвижкам. Другому математику, американцу Стивену Смейлу, удалось доказать гипотезу, но только для пространства с большим, чем четыре, числом измерений. Еще один американец, Майкл Фридман, доказал гипотезу для четырехмерного пространства, за что получил медаль Филдса. Однако использовать эти достижения для трехмерного пространства было невозможно.
Найти доказательство гипотезы удалось лишь через 98 лет после ее создания российскому математику Григорию Перельману. Он опубликовал в электронном архиве научных статей и препринтов три статьи, по сути, содержащие это доказательство. По сути — потому что обоснованные в них положения не являются доказательством гипотезы Пуанкаре, но снимают основные проблемы, стоявшие перед математиками. Перельман сделал основную часть работы, оставив приведение доказательства к законченному виду своим коллегам. На это ушло несколько лет: задача осложнялась тем, что в работе использовались не привычные топологам методы, а принципы и понятия дифференциальной геометрии и физики.
Так как заявления о том, что доказательство найдено, звучали уже не раз, неудивительно, что поначалу и к статьям Перельмана отнеслись скептически. Его приглашали в Принстон и другие ведущие университеты с циклом лекций, раскрывающих смысл доказательства. И лишь в 2006 году было вынесено решение — доказательство Перельмана верно, а гипотезу Пуанкаре следуют считать доказанной. За это Перельману присудили премию Филдса, однако принять ее он отказался.
Что же доказал Григорий Перельман?
Сергей Дужин,
доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института РАН
«Троицкий вариант» №10(104), 22 мая 2012 года
Последним великим достижением чистой математики называют доказательство петербуржцем Григорием Перельманом в 2002–2003 годах гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое связное, односвязное, компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S 3 ».
В этой фразе имеется несколько терминов, которые я постараюсь объяснить так, чтобы их общий смысл стал понятен нематематикам (я предполагаю, что читатель закончил среднюю школу и кое-что из школьной математики еще помнит).
Начнем с понятия гомеоморфизма, центрального в топологии. Вообще, топологию часто определяют как «резиновую геометрию», т. е. как науку о свойствах геометрических образов, которые не меняются при плавных деформациях без разрывов и склеек, а точнее, при возможности установить между двумя объектами взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие.
Главную идею проще всего объяснить на классическом примере кружки и бублика. Первую можно превратить во второй непрерывной деформацией.
Эти рисунки наглядно показывают, что кружка гомеоморфна бублику, причем этот факт верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для заполненных тел (трехмерных многообразий с краем).
Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы.
Размерность многообразия — это число степеней свободы у точки, которая на нем «живет». У каждой точки есть окрестность в виде диска соответствующей размерности, т. е. интервала прямой в одномерном случае, круга на плоскости в двумерном, шара в трехмерном и т. д. Одномерных связных многообразий без края с точки зрения топологии всего два: это прямая и окружность. Из них только окружность компактна.
Примером пространства, не являющегося многообразием, может служить, например, пара пересекающихся линий — ведь у точки пересечения двух линий любая окрестность имеет форму креста, у нее нет окрестности, которая была бы сама по себе просто интервалом (а у всех других точек такие окрестности есть). Математики в таких случаях говорят, что мы имеем дело с особым многообразием, у которого есть одна особая точка.
Двумерные компактные многообразия хорошо известны. Если рассматривать только ориентируемые 1 многообразия без края, то они с топологической точки зрения составляют простой, хотя и бесконечный, список: и так далее. Каждое такое многообразие получается из сферы приклеиванием нескольких ручек, число которых называется родом поверхности.
На рисунке изображены поверхности рода 0, 1, 2 и 3. Чем выделяется сфера из всех поверхностей этого списка? Оказывается, односвязностью: на сфере любую замкнутую кривую можно стянуть в точку, а на любой другой поверхности всегда можно указать кривую, которую стянуть в точку по поверхности невозможно.
Любопытно, что и трехмерные компактные многообразия без края можно в некотором смысле классифицировать, т. е. выстроить в некоторый список, хотя не такой прямолинейный, как в двумерном случае, а имеющий довольно сложную структуру. Тем не менее, трехмерная сфера S 3 выделяется в этом списке точно так же, как двумерная сфера в списке, приведенном выше. Тот факт, что любая кривая на S 3 стягивается в точку, доказывается столь же просто, как и в двумерном случае. А вот обратное утверждение, а именно, что это свойство уникально именно для сферы, т. е. что на любом другом трехмерном многообразии есть нестягиваемые кривые, очень трудное и в точности составляет содержание гипотезы Пуанкаре, о которой мы ведем речь.
Поясним эту конструкцию сначала на простых примерах. Возьмем обычную бесконечную прямую (одномерный аналог пространства) и добавим к ней одну «бесконечно удаленную» точку, считая, что при движении по прямой вправо или влево мы в конце концов попадаем в эту точку. С топологической точки зрения нет разницы между бесконечной прямой и ограниченным открытым отрезком (без концевых точек). Такой отрезок можно непрерывно изогнуть в виде дуги, свести поближе концы и вклеить в место стыка недостающую точку. Мы получим, очевидно, окружность — одномерный аналог сферы.
Таким образом, сфера без одной точки — это топологически все равно, что плоскость, а добавление точки превращает плоскость в сферу.
Вот как это можно понять. Вложим тор в R 3 как обычно, в виде круглого бублика, и проведем вертикальную прямую — ось вращения этого бублика. Через ось проведем произвольную плоскость, она пересечет наше полноторие по двум кругам, показанным на рисунке зеленым цветом, а дополнительная часть плоскости разбивается на непрерывное семейство красных окружностей. К их числу относится и центральная ось, выделенная более жирно, потому что в сфере S 3 прямая замыкается в окружность. Трехмерная картина получается из этой двумерной вращением вокруг оси. Полный набор повернутых окружностей заполнит при этом трехмерное тело, гомеоморфное полноторию, только выглядящее необычно.
В самом деле, центральная ось будет в нем осевой окружностью, а остальные будут играть роль параллелей — окружностей, составляющих обычное полноторие.
Чтобы было с чем сравнивать 3-сферу, я приведу еще один пример компактного 3-многообразия, а именно трехмерный тор. Трехмерный тор можно построить следующим образом. Возьмем в качестве исходного материала обычный трехмерный куб:
В нем имеется три пары граней: левая и правая, верхняя и нижняя, передняя и задняя. В каждой паре параллельных граней отождествим попарно точки, получающиеся друг из друга переносом вдоль ребра куба. То есть будем считать (чисто абстрактно, без применения физических деформаций), что, например, A и A’ — это одна и та же точка, а B и B’ — тоже одна точка, но отличная от точки A. Все внутренние точки куба будем рассматривать как обычно. Сам по себе куб — это многообразие с краем, но после проделанных склеек край замыкается сам на себя и исчезает. В самом деле, окрестностями точек A и A’ в кубе (они лежат на левой и правой заштрихованных гранях) служат половинки шаров, которые после склейки граней сливаются в целый шарик, служащий окрестностью соответствующей точки трехмерного тора.
Чтобы ощутить устройство 3-тора исходя из обыденных представлений о физическом пространстве, нужно выбрать три взаимно перпендикулярных направления: вперед, влево и вверх — и мысленно считать, как в фантастических рассказах, что при движении в любом из этих направлений достаточно долгое, но конечное время, мы вернемся в исходную точку, но с противоположного направления. Это тоже «компактификация пространства», но не одноточечная, использованная раньше для построения сферы, а более сложная.
На трехмерном торе есть нестягиваемые пути; например, таковым является отрезок AA’ на рисунке (на торе он изображает замкнутый путь). Его нельзя стянуть, потому что при любой непрерывной деформации точки A и A’ обязаны двигаться по своим граням, оставаясь строго друг напротив друга (иначе кривая разомкнется).
Итак, мы видим, что бывают односвязные и неодносвязные компактные 3-многообразия. Перельман доказал, что односвязное многообразие ровно одно.
Исходной идеей доказательства является использование так называемого «потока Риччи»: мы берем односвязное компактное 3-многообразие, наделяем его произвольной геометрией (т. е. вводим некоторую метрику с расстояниями и углами), а затем рассматриваем его эволюцию вдоль потока Риччи. Ричард Гамильтон, который высказал эту идею в 1981 году, надеялся, что при такой эволюции наше многообразие превратится в сферу. Оказалось, что это неверно, — в трехмерном случае поток Риччи способен портить многообразие, т. е. делать из него немногообразие (нечто с особыми точками, как в приведенном выше примере пересекающихся прямых). Перельману путем преодоления неимоверных технических трудностей, с использованием тяжелого аппарата уравнений с частными производными, удалось внести поправки в поток Риччи вблизи особых точек таким образом, что при эволюции топология многообразия не меняется, особых точек не возникает, а в конце концов, оно превращается в круглую сферу. Но нужно объяснить, наконец, что же такое этот поток Риччи. Потоки, использованные Гамильтоном и Перельманом, относятся к изменению внутренней метрики на абстрактном многообразии, и это объяснить довольно трудно, поэтому я ограничусь описанием «внешнего» потока Риччи на одномерных многообразиях, вложенных в плоскость.
Представим себе гладкую замкнутую кривую на евклидовой плоскости, выберем на ней направление и рассмотрим в каждой точке касательный вектор единичной длины. Тогда при обходе кривой в выбранном направлении этот вектор будет поворачиваться с какой-то угловой скоростью, которая называется кривизной. В тех местах, где кривая изогнута круче, кривизна (по абсолютной величине) будет больше, а там, где она более плавная, кривизна будет меньше.
Кривизну будем считать положительной, если вектор скорости поворачивает в сторону внутренней части плоскости, разбитой нашей кривой на две части, и отрицательной, если он поворачивает вовне. Это соглашение не зависит от направления обхода кривой. В точках перегиба, где вращение меняет направление, кривизна будет равна 0. Например, окружность радиуса 1 имеет постоянную положительную кривизну, равную 1 (если считать ее в радианах).
Теперь забудем про касательные векторы и к каждой точке кривой прикрепим, наоборот, перпендикулярный ей вектор, по длине равный кривизне в данной точке и направленный вовнутрь, если кривизна положительна, и вовне, если отрицательна, а затем заставим каждую точку двигаться в направлении соответствующего вектора со скоростью, пропорциональной его длине. Вот пример:
Оказывается, что любая замкнутая кривая на плоскости ведет себя при такой эволюции подобным же образом, т. е. превращается, в конце концов, в окружность. Это и есть доказательство одномерного аналога гипотезы Пуанкаре при помощи потока Риччи (впрочем, само утверждение в данном случае и так очевидно, просто способ доказательства иллюстрирует, что происходит в размерности 3).
Заметим в заключение, что рассуждение Перельмана доказывает не только гипотезу Пуанкаре, но и гораздо более общую гипотезу геометризации Тёрстона, которая в известном смысле описывает устройство всех вообще компактных трехмерных многообразий. Но этот предмет лежит уже за рамками настоящей элементарной статьи.
1 За неимением места, я не буду говорить о неориентируемых многообразиях, примером которых может служить известная бутылка Клейна — поверхность, которую нельзя вложить в пространство без самопересечений.
drumsmen
drumsmenПУСТЬ ВРЕМЯ ВАШИХ ПЕРЕМЕН РАБОТАЕТ НА ВАС!
«Задача тысячелетия», решенная российским математическим гением, имеет отношение к происхождению Вселенной. Понять суть загадки дано не каждому математику…
ИГРА РАЗУМА
Еще недавно математика не сулила ни славы, ни богатства своим «жрецам». Им даже Нобелевскую премию не давали. Нет такой номинации. Ведь, по весьма популярной легенде, жена Нобеля однажды изменила ему с математиком. И в отместку богач лишил всю их крючкотворную братию своего уважения и призовых денег.
Ситуация изменилась в 2000 году. Частный математический Институт Клэя (Clay Mathematics Institute) выбрал семь наиболее трудных задач и пообещал за решение каждой платить по миллиону долларов.
На математиков посмотрели с уважением. В 2001 году на экраны даже вышел фильм «Игры разума», главным героем которого стал математик.
Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства. Или оценить его, не имея возможности взглянуть на форму этого пространства со стороны. Например, на нашу Вселенную.
Как написал в своей популярной книге другой российский математик, Владимир Успенский, «в отличие от двухмерных сфер трехмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трехчлен».
Жюль Анри Пуанкаре предположил такое в 1904 году. Теперь Перельман убедил всех понимающих, что французский тополог был прав. И превратил его гипотезу в теорему.
Доказательство помогает понять, какая форма у нашей Вселенной. И позволяет весьма обоснованно предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера.
Гениальный математик из Санкт-Петербурга Григорий Перельман, прославившийся на весь мир доказательством гипотезы Пуанкаре, наконец, объяснил свой отказ от присужденной за это премии в миллион долларов. Как утверждает «Комсомольская правда», ученый-затворник раскрылся в беседе с журналистом и продюсером кинокомпании «Президент-фильм», которая с согласия Перельмана будет снимать о нем художественную ленту «Формула Вселенной».
Пообщаться с великим математиком посчастливилось Александру Забровскому — он несколько лет назад уехал из Москвы в Израиль и догадался связаться сначала с мамой Григория Яковлевича через еврейскую общину Петербурга, оказав ей помощь. Она поговорила с сыном, и после ее хорошей характеристики тот согласился на встречу. Это поистине можно назвать достижением — журналистам не удавалось «поймать» ученого, хотя они сутками просиживали у его подъезда.
Как рассказал газете Забровский, Перельман произвел впечатление «абсолютно вменяемого, здорового, адекватного и нормального человека»: «Реалистичный, прагматичный и здравомыслящий, но не лишенный сентиментальности и азарта… Все, что ему приписали в прессе, будто он «не в себе», — полная чушь! Он твердо знает, чего хочет, и знает, как добиться цели».
Фильм, ради которого математик пошел на контакт и согласился помогать, будет не о нем самом, а о сотрудничестве и противоборстве трех основных мировых математических школ: российской, китайской и американской, наиболее продвинувшихся по стезе изучения и управления Вселенной.
На вопрос, почему Перельман отказался от миллиона, он ответил:
«Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите — зачем же мне бежать за миллионом?»
Забровский разрешил изданию опубликовать фрагмент интервью с ученым, взятого на скамейке в сквере напротив Мариинского театра.
Ученого обижает, как его называют в российской прессе
Перельман объяснил, что не общается с журналистами, потому что тех занимает не наука, а вопросы личного и бытового характера — начиная с причин отказа от миллиона и заканчивая вопросом о стрижке волос и ногтей.
Конкретно с российскими СМИ он не хочет контактировать еще и из-за неуважительного к нему отношения. Например, в прессе его называют Гришей, и такая фамильярность обижает.
Григорий Перельман рассказал, что еще со школьных лет привык что называется «тренировать мозг». Вспоминая, как, будучи «делегатом» от СССР получил золотую медаль на математической олимпиаде в Будапеште, он сказал: «Мы пытались решать задачи, где непременным условием было умение абстрактно мыслить.
В этом отвлечении от математической логики и был главный смысл ежедневных тренировок. Чтобы найти правильное решение, необходимо было представить себе «кусочек мира».
В качестве примера такой «труднорешаемой» задачи он привел такую: «Помните библейскую легенду о том, как Иисус Христос ходил по воде, аки посуху. Так вот мне нужно было рассчитать, с какой скоростью он должен был двигаться по водам, чтобы не провалиться».
С тех пор всю свою деятельность Перельман посвятил исследованию проблемы изучения свойств трехмерного пространства Вселенной: «Это очень интересно. Я пытаюсь объять необъятное. Только ведь любое необъятное тоже объятно», — рассуждает он.
Диссертацию ученый писал под руководством академика Александрова. «Тема была несложной: «Седловидные поверхности в евклидовой геометрии». Можете представить себе в бесконечности равновеликие и неравномерно удаленные друг от друга поверхности? Нам нужно измерить «впадины» между ними», — пояснил математик.
Что значит открытие Перельмана, пугающее спецслужбы мира
«Формулой Вселенной» утверждение Пуанкаре называют из-за его важности в изучении сложных физических процессов в теории мироздания и из-за того, что оно дает ответ на вопрос о форме Вселенной. Сыграет это доказательство большую роль в развитии нанотехнологий».
«Я научился вычислять пустоты, вместе с моими коллегами мы познаем механизмы заполнения социальных и экономических «пустот», — сказал он. — Пустоты есть везде. Их можно вычислять, и это дает большие возможности…
Как пишет издание, масштаб того, что открыл Григорий Яковлевич, фактически шагающий впереди сегодняшней мировой науки, сделало его объектом постоянного интереса спецслужб, не только российских, но и зарубежных.
Он постиг некие сверхзнания, помогающие понять мироздание. И тут возникают вопросы такого рода: «А что будет, если его знания найдут практическое воплощение?»
По сути, спецслужбам нужно знать — представляет ли собой Перельман, а точнее, его знания, угрозу для человечества? Ведь если с помощью его знаний можно свернуть Вселенную в точку, а потом ее развернуть, то мы можем погибнуть либо возродиться в ином качестве? И тогда мы ли это будем? И нужно ли нам вообще управлять Вселенной?
А В ЭТО ВРЕМЯ
Мама гения: «Не задавайте нам вопросов о деньгах!»
Когда стало известно, что математику присудили «Премию тысячелетия», перед его дверью собралась толпа журналистов. Все хотели лично поздравить Перельмана и узнать, возьмет ли он свой законный миллион.
Мы долго стучали в хлипкую дверь (вот бы на премиальные деньги заменить ее), однако математик не открыл. Зато его мать вполне доходчиво расставила все точки над «i» прямо из прихожей.
Люди, живущие в этом же подъезде, очень удивлялись, увидев внезапный интерес к Перельману.
Говорят, накануне математик был замечен с полными пакетами продуктов из магазина. Готовился «держать осаду» вместе с мамой. В прошлый раз, когда в прессе началась шумиха по поводу премии, Перельман не выходил из квартиры три недели.
КСТАТИ
За что еще дадут миллион долларов…
В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клея (Landon T. Clay) в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени (Clay Mathematics Institute) для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь самых, по их мнению, головоломных проблем. И назначили по миллиону долларов за каждую.
1. Проблема Кука
2. Гипотеза Римана
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера
Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.
4. Гипотеза Ходжа
В ХХ веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.
5. Уравнения Навье – Стокса
О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.
6. Уравнения Янга – Миллса