Что определяет уровень ферми

Что определяет уровень ферми

История развития коллоидной химии

Студентам

Знакомимся ближе

Разделы

Уровень Ферми

Вероятность нахождения электрона на том или ином энергетическом уровне при температуре Т определяется функцией Ферми – Дирака:

где W_F – энергетический уровень, называемый уровнем Ферми.

При Т=0°К вероятность занятия электронами уровней W > W_F равна нулю:

а уровней W W_F, а энергетические уровни ВЗ – условию W 0°К появляется небольшая вероятность занятия электронами уровней в ЗП, а вероятность занятия уровней в ВЗ соответственно снижается.

Из формулы Ферми – Дирака видно, что при температуре, отличной от абсолютного нуля (Т>0), уровень Ферми – это такой энергетический уровень W = W_F, формальная вероятность заполнения которого электроном равна 0,5 (т.к. е° = 1).

Формальное потому, что уровень Ферми находится в запрещенной зоне и фактически не может быть занят электроном. Таким образом, конкретный смысл имеют только те участники кривой распределения f_n(W), которые расположены в ЗП и в ВЗ.

Кривая распределения Ферми – Дирака всегда симметрична относительно уровня Ферми. Из этого, в частности, следует, что в собственном полупроводнике уровень Ферми расположен посередине ЗЗ. При повышении температуры от нуля появляется определенная вероятность занятия электронами энергетических уровней в ЗП. Но при этом на такую же величину снижается вероятность нахождения электронов в ВЗ. Нетрудно видеть, что при симметричном размещении кривой распределения f_n(W) относительно уровня Ферми это возможно только в случае, если уровень Ферми будет находиться посередине ЗЗ.

Источник

Уровень Ферми

В физике, энергия Ферми ( E_F ) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Это может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Фермионы — частицы с полуцелым спином, обычно 1/2, такие как электроны — подчиняются принципу запрета Паули, согласно которому две одинаковые частицы не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми — Дирака. Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания энергии. Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния; различие не важно, когда система является макроскопической). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Ферми. Частицы с энергией равной энергии Ферми двигаются со скоростью называемой скоростью Ферми.

В свободном электронном газе (квантовомеханическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу. Кое-что подобное можно сделать для периодических систем, типа электронов движущихся в атомной решётке металла, используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми. Для свободного электронного газа, поверхность Ферми — поверхность сферы; для периодических систем, она вообще имеет искаженную форму. Объем заключённый под поверхностью Ферми определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью. Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при положительных температурах

При положительной температуре ферми-газ не будет являться вырожденным, и населённость уровней будет плавно уменьшаться от нижних уровней к верхним. В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

См. также

Литература

Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. С. 53. ISBN 5-06-000681-6

Источник

Уровни Ферми

Концентрация электронов в зоне проводимости (и образовавшихся дырок в валентной зоне) при заданной температуре Т пропорциональна вероятности «заполнения» электроном уровня Е при этой температуре.

Эта вероятность описывается функцией распределения Ферми–Дирака

,

в которой Е_F — энергия Ферми (или уровень Ферми), наименьшая энергия, необходимая для возбуждения одной частицы и перехода ее в зону проводимости. За начало отсчета энергии удобно выбрать (в энергетической диаграмме кристалла) нулевое значение.

б). Если вблизи нижнего края зоны проводимости расположены заполненные уровни примесных атомов (донорные уровни), то при сообщении электронам, находящимся на этих уровнях энергии ΔЕ₁

Энергия Ферми представляет собой среднюю энергию возбуждения электронов, «перебрасываемых» в зону проводимости. При абсолютном нуле и вблизи него уровень Ферми полупроводников-доноров расположен вблизи донорных уровней, т.к. в этой области температур переходы электронов через всю запрещенную зону (с верхнего уровня валентной зоны в зону проводимости) маловероятны.

Однако, с увеличением температуры вещества увеличивается число электронов, переходящих через всю запрещенную зону в зону проводимости, благодаря тепловому хаотическому движению и тепловым флуктуациям.

При каждом из таких переходов образуются два носителя тока (электрон и дырка). Следовательно, для образования одного носителя тока необходима энергия ΔЕg/2. Уровень Ферми перемещается (опускается) из области донорных уровней к своему предельному положению – в центр полосы запрещенных энергий (рис.7б).

в). В акцепторных полупроводниках при абсолютном нуле и вблизи него уровни Ферми расположены вблизи акцепторных уровней (у верхней границы валентной зоны). С увеличением температуры увеличивается число электронов, переходящих через всю запрещенную зону в зону проводимости, и уровень Ферми перемещается (поднимается), стремясь, как и в донорных полупроводниках, к своему предельному положению – в центр запрещенной зоны (рис.7в).

IV. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ.

1. Металлы. Удельная электропроводность металла σ, полученная в электродинамике при выводе закона Ома в дифференциальной форме j = σ Е на основе классической электропроводности, выражается формулой

,

В металле n и практически не зависят от температуры (при Т=0 К и температуре плавления концентрация электронов проводимости практически одинакова), а прямо пропорциональна , следовательно, согласно классической теории электропроводности, σ должна быть пропорциональна . Однако, экспериментально в широкой области температур получена зависимость , подтвержденная расчетами, проведенными на основе квантовой теории электропроводности.

В ней доказано, что внешнее электрическое поле ускоряет не все свободные электроны в металле (как принято считать в классической теории), а лишь электроны, находящиеся на уровне Ферми или вблизи него. Электроны на более «глубоких» уровнях не принимают участие в электропроводности.

Кроме того, следует учесть, что электроны проводимости перемещаются не только под действием внешнего электрического поля напряженности Е, но и в периодическом поле кристаллической решетки, действие которой следует учесть, введя эффективную массу электрона m*;

где — сила, обусловленная действием на электрон поля кристаллической решетки.

2. В чистом полупроводнике носителями тока также являются электроны проводимости, но механизм их возникновения отличается от механизма возникновения электронов проводимости в металлах.

Такие атомы отдают валентные электроны, которые переходят через зону запрещенных энергий ΔЕg в зону проводимости. Поэтому при любой температуре, большей абсолютного нуля, в зоне проводимости полупроводника имеется некоторое количество электронов.

Одновременно с появлением в зоне проводимости электронов в ранее заполненной (валентной) зоне возникают дырки, перемещающиеся под действием внешнего электрического поля в направлении, противоположном перемещению электронов в зоне проводимости. При этом концентрации электронов и дырок одинаковы, n_э = n_д = n, а суммарная плотность тока j, обусловленная движением электронов и дырок

,

u_э — подвижность электронов проводимости,

Для установления зависимости σ от Т, необходимо знать зависимость n, u_э и u_д от Т.

Концентрация электронов проводимости в полупроводнике при температуре Т пропорциональна вероятности заполнения уровня Е в зоне проводимости, которая определяется формулой

Примем E за нижнюю границу зоны проводимости, на которую переходит электрон с верхней границы валентной зоны Е_в

Отсюда следует, что

При ΔЕ_g >> kT, , и, следовательно, концентрация электронов проводимости

Таким образом, при сравнении температурной зависимости n(T) и u(T) становится очевидной определяющая роль температурной зависимости n(T) в выражении для удельной электропроводности

σ = n∙e∙(u_э + u_д), т.е.

3. В примесных полупроводниках при Т

Источник

Определение положения уровня Ферми

В предыдущих рассуждениях мы считали, что уровень Ферми задан. Посмотрим теперь, как можно найти положение уровня Ферми.

(1.20)

(1.21)

где через E_i = (1/2)*(E_V + E_C) обозначена энергия середины запрещенной зоны. При выводе правого выражения для F величина (N_C/N_V) была заменена на (m_n/m_p) с помощью уравнения (1.11).

Для случая m_n * = m_p * энергия Ферми в собственном полупроводнике находится посреди запрещенной зоны F = (E_C + E_V)/2.

Положение уровня Ферми зависит от того, какие другие величины заданы. Если известны концентрации носителей заряда в зонах n и p, то значение F можно определить из формул (1.10) и (1.13). Так, для невырожденного полупроводника n-типа имеем:

(1.22)

Аналогично для невырожденного полупроводника p-типа

(1.23)

Из выражений (1.22 и 1.23) видно, что чем больше концентрация основных носителей, тем ближе уровень Ферми к краю соответствующей зоны. Для донорного полупроводника n₀ = N_D (1.17), тогда

(1.24) Для акцепторного полупроводника p₀ = N_A (1.19), тогда (1.25)

Источник

Энергия Ферми

Энергия Фе́рми () системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Физический смысл уровня Ферми: вероятность обнаружения частицы на уровне Ферми составляет 0,5 при любых температурах, кроме T = 0.

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми.

Фермионы — частицы с полуцелым спином, обычно 1/2, такие как электроны — подчиняются принципу запрета Паули, согласно которому две одинаковые частицы не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми — Дирака. Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания энергии. Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния; различие не важно, когда система является макроскопической). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми. Частицы с энергией равной энергии Ферми двигаются со скоростью называемой скоростью Фе́рми.

В свободном электронном газе (квантовомеханическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу. Кое-что подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла, используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми. Для свободного электронного газа, поверхность Ферми — поверхность сферы; для периодических систем, она вообще имеет искаженную форму. Объем заключённый под поверхностью Ферми определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью. Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

При ненулевой температуре ферми-газ не будет являться вырожденным, и населённость уровней будет плавно уменьшаться от нижних уровней к верхним. В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

где — энергия Ферми, — постоянная Больцмана, и — температура. Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми . Характерная температура имеет порядок 10 5 K для металла, следовательно при комнатной температуре (300 K), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми — Дирака.

См. также

Литература

Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. — С. 53. — ISBN 5-06-000681-6.

Источник