Что определяет интеграл ldl

Содержание:

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть К — некоторая гладкая (или кусочно-гладкая) плоская кривая

3) На основании свойства 2 имеем

Так как уравнение ОВ есть у = 0 , то = 0. Далее, уравнение ВА записывается так: х = 1 ; поэтому х'(у) = 0. Из формулы (7) получаем

Заметим, что здесь интеграл I при фиксированных концах пути интегрирования К зависит от вида этого пути.

Пример:

вдоль линий К, указанных в примере 1.

Воспользовавшись приведенными выше уравнениями линии К, последовательно имеем:

Таким образом, здесь интеграл I имеет одно и то же значение для различных путей, соединяющих точки О и А. Принципиальное различие примеров 1 и 2 будет разъяснено. Если

есть кусочно-гладкая пространственная кривая — тройка функций, непрерывных на кривой К, то под соответствующим криволинейным интегралом второго рода понимается интеграл

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода

Пусть — непрерывно меняющаяся переменная сила и

— путь К, пробегаемый точкой ее приложения (рис. 241); обозначим через бесконечно малый вектор перемещения из текущей точки М (х, у) кривой К в бесконечно близкую точку (мы здесь пренебрегаем бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с ds). Имеем ds = . Так как на бесконечно малом пути ds непрерывную силу F можно считать постоянной, то элементарная работа силы равна

Интегрируя выражение (1) вдоль кривой К, получим работу силы

Выражение (2), очевидно, есть соответствующий криволинейный интеграл второго рода.

Итак, криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу переменной силы вдоль пути интегрирования, проекциями которой на координатные оси являются соответствующие коэффициенты при дифференциалах переменных.

Пример:

Найти работу А переменной силы , точка приложения которой описывает параболу ОВ (рис. 242)

Решение:

Согласно формуле (2) имеем

Из уравнения (3) получаем dy = 2х dx, поэтому

Аналогично, работа пространственной силы

вдоль пути К: выражается криволинейным интегралом второго рода

Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Пусть — непрерывные функции в области G (рис. 243). Рассмотрим две произвольные точки области и всевозможные пути соединяющие эти точки (М₁ — начало пути, М₂ — конец пути) и не выходящие за пределы области G. Может случиться, что

В таком случае говорят, что криволинейный интеграл второго рода

не зависит от вида пути интегрирования в данной области G.

Если выполняются условия (1), то для интеграла (2) нет необходимости указывать путь интегрирования, а достаточно отметить лишь его начальную точку и его конечную точку М₂ пути. Поэтому здесь употребляется обозначение

Справедлива следующая теорема:

Теорема: Если в области G подынтегральное выражение X dx + Y dy является полным дифференциалом некоторой функции U = U (х, у), т. е.

то криволинейный интеграл (2) не зависит от пути интегрирования в области G.

Доказательство: Пусть

— произвольный путь К в области G, соединяющий точки , причем

Из формулы (4) имеем

Далее, используя соотношения (6), будем иметь

Таким образом, значение интеграла I одно и то же при любом выборе функций , и, следовательно, интеграл I не зависит от вида пути, соединяющего точки

Следствие 1. Если выполнено соотношение (4), то в силу (9) имеем

(обобщенная формула Ньютона — Лейбница).

Следствие 2. Если подынтегральное выражение X dx + Y dy есть полный дифференциал и путь интегрирования К замкнутый, то

(кружок при интеграле обозначает интегрирование вдоль замкнутого пути).

Пример:

Решение:

Так как у dx + х dy = d (ху), то, независимо от вида пути, соединяющего точки , имеем

Работа потенциальной силы

Теорема предыдущего параграфа имеет физическое содержание. Пусть в области G определено силовое поле

Примером силового поля может служить поле силы тяжести у поверхности Земли, где на любую материальную точку массы т действует сила mg (g — ускорение свободного падения). Более общим примером силового поля является гравитационное поле, создаваемое массой М. Здесь на материальную точку массы находящуюся на расстоянии г от притягивающего центра, согласно закону Ньютона действует сила (k — гравитационная постоянная), направленная к притягивающему центру. Другим примером силового поля служит электрическое поле Кулона.

Если существует функция такая, что

то говорят, что поле потенциальное (иначе, F — потенциальная сила), а функцию U называют потенциалом поля. В этом случае, очевидно,

Отсюда для работы А потенциальной силы F вдоль пути, соединяющего точки , имеем

т. е. работа потенциальной силы не зависит от вида пути и равна разности потенциалов силы для конечной и начальной точек пути.

В частности, если путь замкнут, то работа А = 0.

Пример:

Найти работу А силы тяжести при перемещении в вертикальной плоскости Оху (вблизи поверхности Земли) точки массы т из положения в положение (рис. 244).

Решение:

Поэтому за потенциал поля силы тяжести можно принять

Отсюда работа силы тяжести, независимо от пути , равна

Замечание. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла, взятого по пространственной кривой. В частности, если

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Криволинейные интегралы

Евклидово пространство.

Из курса аналитической геометрии известно, что в каждой паре точек \(A\) и \(B\) евклидова пространства ставится в соответствие вектор \(\overrightarrow\). Для векторов определены операции сложения и умножения на вещественные числа, для любых двух векторов определено их скалярное произведение. Если расстояние между точками определить как \(\rho(A, B) = |\overrightarrow|\), то будут удовлетворены все аксиомы метрического пространства и все введенные для метрического пространства понятия переносятся и на евклидово пространство.

Если в евклидовом пространстве фиксирована точка \(O\), то положение любой точки \(A\) определяется вектором \(\overrightarrow\), и евклидово пространство можно отождествить с векторным пространством \(E^<3>\). Базис из трех линейно независимых векторов определяет координатную систему в евклидовом пространстве. Предполагается, что пространство ориентировано при помощи правой тройки векторов. Свойства объектов, не зависящие от выбора координатной системы, называются инвариантными.

Множество всех векторов, параллельных евклидовой плоскости, образует линейное двумерное пространство \(E^<2>\). Базис из двух линейно независимых векторов определяет координатную систему в \(E^<2>\). Правая пара векторов определяет ориентацию \(E^<2>\).

Гладкие и кусочно гладкие кривые.

Напомним, что гладкая кривая в \(\boldsymbol^<3>\) задастся векторным уравнением
$$
\boldsymbol = \boldsymbol(t),\ \alpha \leq t \leq \beta,\label
$$
где вектор-функция \(\boldsymbol(t)\) является непрерывно дифференцируемой на отрезке \([\alpha, \beta]\), причем \(\boldsymbol(t) \neq 0\) на \([\alpha, \beta]\). В каждой точке гладкой кривой определена касательная.

Гладкую кривую можно задать и тремя скалярными уравнениями
$$
x = \varphi(t),\ y = \psi(t),\ z = \chi(t),\ \alpha \leq t \leq \beta,\nonumber
$$
где функции \(\varphi(t)\), \(\psi(t)\) и \(\chi(t)\) непрерывно дифференцируемы на \([\alpha, \beta]\) и \((\varphi'(t))^<2>+(\psi'(t))^<2>+(\chi'(t))^ <2>> 0\) на \([\alpha, \beta]\).

В разделе про кривые было определено, что уравнение
$$
\boldsymbol <\rho>= \boldsymbol<\rho>(\tau),\ \alpha \leq \tau \leq \beta,\label
$$
задает ту же самую гладкую кривую, что и уравнение \eqref, если оно получено из уравнения \eqref при помощи допустимой замены параметра \(t = t(\tau)\). Допустимой называлась такая замена параметра \(t = t(\tau)\), что функция \(t(\tau)\) непрерывно дифференцируема на отрезке \([a, b]\), отображает этот отрезок на отрезок \([\alpha, \beta]\) и \(t'(\tau) > 0\).

Иногда имеет смысл расширить класс допустимых замен параметров. Говорят, что замена параметра \(t = t(\tau)\), \(\alpha \leq \tau \leq \beta\), допустима, если:

Полезно заметить, что при наложенных ограничениях функция \(t(\tau)\) имеет на отрезке \([a, b]\) обратную. Обратная замена параметра \(\tau = \tau(t)\) также удовлетворяет условиям а)-в).

Кривая \(\Gamma\) называется гладкой, если существует параметрическое уравнение этой кривой типа \eqref с непрерывно дифференцируемой функцией \(\boldsymbol(t)\), удовлетворяющей условию \(|\boldsymbol(t)| > 0\) на \([\alpha, \beta]\).

В дальнейшем, как правило, уравнение гладкой кривой будем задавать при помощи непрерывно дифференцируемой вектор-функции \(\boldsymbol(t)\).

Если интерпретировать параметр \(t\) как время, то уравнение \eqref задает закон движения материальной точки в пространстве \(\boldsymbol^<3>\). Вектор скорости \(\boldsymbol(t)\) в каждой точке гладкой кривой коллинеарен вектору касательной. Единичный вектор касательной, заданный в некоторой точке гладкой кривой, определяет ориентацию кривой (направление движения точки по кривой).

Точка \(A(x(\alpha), y(\alpha), z(\alpha))\) называется началом кривой, точка \(B(x(\beta), y(\beta), z(\beta))\) — концом кривой. У замкнутой кривой начало и конец совпадают. Если закон движения точки в пространстве задается формулой \eqref и при движении по кривой точка проходит через заданную точку \(C \in \boldsymbol^<3>\) более одного раза, то точка \(C\) называется точкой самопересечения кривой. Замкнутую кривую, у которой нет других точек самопересечения, кроме концов, будем называть простым контуром.

Для плоской кривой можно считать \(z = 0\), если выбрать оси \(Ox\) и \(Oy\) в плоскости кривой.

Кусочно гладкая кривая есть непрерывная кривая, распадающаяся на конечное число гладких кривых. Например, границу треугольника или квадрата можно рассматривать как кусочно гладкую кривую (рис. 50.1).

Рис. 50.1

Кривую, начало которой есть точка \(A\), а конец — точка \(B\), будем обозначать через \(\Gamma_\). Точку кривой, соответствующую значению \(t\) параметра, будем обозначать через \(A_\). Если \(t_

Криволинейные интегралы первого рода.

Пусть на некотором множестве, содержащем кривую \(\Gamma\), задана непрерывная функция \(R(x, y, z)\). Если гладкая кривая \(\Gamma\) задана уравнением \eqref, то определенный интеграл
$$
\int\limits_<\alpha>^<\beta>R(x(t),y(t),z(t))|\boldsymbol(t)|dt\nonumber
$$
будем называть криволинейным интегралом первого рода от функции \(R(x, y, z)\) по кривой \(\Gamma\) и обозначать \(\int\limits_<\Gamma>R(x, y, z)ds\). Таким образом, по определению
$$
\int\limits_<\Gamma>R(x, y, z)ds = \int\limits_<\alpha>^<\beta>R(x(t),y(t),z(t))|\boldsymbol(t)|dt.\label
$$

Рассмотрим свойства криволинейного интеграла \eqref.

Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

\(\circ\) Предположим, что совершен переход от уравнения кривой \eqref к уравнению \(\boldsymbol <\rho>= \boldsymbol<\rho>(\tau)\), \(a \leq \tau \leq b\), при помощи допустимой замены параметра \(t = t(\tau)\), удовлетворяющей вышеперечисленным условиям. Делая в интеграле \eqref замену переменной \(t = t(\tau)\), получаем, учитывая, что на каждом из интервалов \((a_, a_)\) функция \(t'(\tau) > 0\):
$$
\int\limits_<\alpha>^<\beta>R(x(t), y(t), z(t))|\boldsymbol(t)|dt = \int\limits_^R(x(t(\tau)), y(t(\tau)), z(t(\tau)))\left|\frac>