Что определяет функция принадлежности

Функция принадлежности

Содержание

Определение

Для пространства рассуждения и данной функции принадлежности нечёткое множество определяется как

Функция принадлежности количественно градуирует принадлежность элементов фундаментального множества пространства рассуждения нечёткому множеству . Значение означает, что элемент не включен в нечёткое множество, описывает полностью включенный элемент. Значения между и характеризуют нечётко включенные элементы.

Нечёткое множество и классическое, четкое (crisp) множество

Классификация функций принадлежности нормальных нечетких множеств

Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности справедливо утверждение, что существует такой , при котором .

Функция принадлежности класса s

Функция принадлежности класса s определяется как:

где .

Функция принадлежности класса π

Функция принадлежности класса π определяется через функцию класса s:

где .

Функция принадлежности класса γ

Функция принадлежности класса γ определяется как:

Функция принадлежности класса t

Функция принадлежности класса t определяется как:

Функция принадлежности класса L

Функция принадлежности класса L определяется как:

См. также

Внешние ссылки

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Функция принадлежности» в других словарях:

функция принадлежности — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN membership function … Справочник технического переводчика

Функция и поле речи и языка в психоанализе — «ФУНКЦИЯ И ПОЛЕ РЕЧИ И ЯЗЫКА В ПСИХОАНАЛИЗЕ» («Fonction et champ de la parole et du langage en psychanalyse») программа переосмысления психоанализа, выдвинутая в 1953 франц. психиатром и психоаналитиком Жаком Лаканом. Этот текст был… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Характеристическая функция (нечёткая логика) — Функция принадлежности нечёткого множества это обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому… … Википедия

Индикаторная функция — Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества это функция, определенная на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента подмножеству A. Термин характеристическая функция уже занят в теории… … Википедия

Характеристическая функция множества — Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества это функция, определенная на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента подмножеству A. Термин характеристическая функция уже занят в теории… … Википедия

Нечёткое множество — Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

Нечеткие множества — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечеткое множество — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткие множества — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Источник

Что определяет функция принадлежности

В работе [66] рассмотрены и исследованы различные способы получения функций принадлежности. Введена единая математическая форма представления различных способов определения функций принадлежности. Для описания нечетких множеств предложено применять сплайн-представление, в результате чего оказалось возможным выявить вклад того или иного источника информации в конечное решение.

При использовании в качестве дополнительной переменной параметра времени t имеется возможность прогнозировать изменение функций принадлежности во времени и на их основе планировать ввод новых производственных мощностей и проведение различных ремонтных работ [134].

В работе [314] для построения функций принадлежности на основе объективной информации и данных замеров предлагаются специальные блоки для выделения свойств (» property extractor «), например, с использованием детерминированного замера х * [314]

. (4.1)

В качестве берется установившееся (или среднее) значение параметра х, а величины и выбираются с учетом особенностей функции принадлежности и наилучших результатов по распознаванию сигналов (или управлению) в серии экспериментов [314].

Преимущества применения устройств, непосредственно построенных на элементах с многозначной логикой обсуждаются в работах [282, 284]. Отмечается перспективность использования многозначной логики для реализации регуляторов, устройств и систем с нечеткой логикой, которая может быть весьма полезной при создании систем принятия решений в условиях не полностью определенных данных.

В работе [336] предлагается реализация механизма нечеткого вывода на СБИС для возможности принятия решений при наличии неопределенных и приблизительных рассуждений. Проект устройства вывода основан на нечеткой арифметике и ориентирован на поддержку неопределенных знаний и способствует извлечению знаний человека-эксперта и имитации его процесса рассуждений. Быстродействие устройства около 80 тыс. ФЛИПС (нечетких логических выводов в секунду).

В Японии создан специальный Международный институт инженерных исследований по нечеткой логике ( Laboratory for international Fuzzy Engineering Research ). Основной задачей этого института является создание компьютера для приложений области нечеткой логики. Оцениваемый в 37 млн. долл. шестилетний бюджет института финансируется примерно 40 компаниями, среди которых Hitachi, Toshiba, Toyota.

Вопросы приближения функций принадлежности и нечетких отношений и выбора среди функций принадлежности, согласованных с заданным отношением, такой, которая наилучшим образом приближает предъявленную, рассмотрены в [106].

Например, цель G вида «дебит скважины должен быть близок к 1,2 млн.м куб./сут» или ограничение С «дебит должен быть больше 0,8 млн.м куб./сут» могут быть представлены соответственно следующим образом:

; (4.2)

; (4.3)

В общем случае эти лингвистические ограничения могут быть представлены в виде (рис.4.1).

В теории нечетких множеств отсутствуют различия между целями и ограничениями, заданными на множестве альтернатив Х, так как и цели, и ограничения представляются в виде функций принадлежности.

(4.4)

В качестве четкого решения по дебиту скважины может быть принято решение q *=1,36 млн.м 3 /сут., при котором функция принадлежности для нечеткого решения достигает максимального значения (рис.2.5).

Рис.4.2.Нечеткое решение по выбору дебита скважины с учетом нечетких цели G и ограничения С.

С помощью функции принадлежности можно адекватно отразить мнение одного или нескольких экспертов. Это связано с неспособностью человека формулировать свое количественное впечатление в виде одиночного числа [179].

Пусть эксперт в качестве оптимального дебита скважины называет дебит 1,5 млн.м куб./сут. Но это не значит, что величины незначительно отличающиеся от него будут совершенно неприемлемыми, т.е. степени принадлежности и будут незначительно отличаться от . Результат экспертного опроса может задаваться в виде таблицы или непрерывной функции.

Источник

Функция принадлежности

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

В статистике метод оценки с помощью апостериорного максимума (MAP) тесно связан с методом максимального правдоподобия (ML), но дополнительно при оптимизации использует априорное распределение величины, которую оценивает.

Модели дискретного выбора — экономические (эконометрические) модели, позволяющие описывать, объяснять и прогнозировать выбор между, двумя или более альтернативами (то есть когда множество альтернатив не более чем счетно). Модели дискретного выбора позволяют на основе некоторых характеристик (атрибутов) экономического субъекта или ситуации оценить вероятность выбора той или иной альтернативы.

В теории представлений групп Ли и алгебр Ли, фундаментальное представление — это неприводимое конечномерное представление полупростой группы Ли или алгебры Ли, старший вес которого является фундаментальным весом. Например, определяющий модуль классической группы Ли является фундаментальным представлением. Любое конечномерное неприводимое представление полупростой группы Ли или алгебры Ли полностью определяется своим старшим весом (теорема Картана) и может быть построено из фундаментальных представлений.

В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.

Источник

Функции принадлежности и методы их построения

Введенное определение нечеткого множества (2.1) не накладывает ограничений на выбор функции принадлежности. Однако, на практике целесообразно использовать аналитическое представление функции принадлежности μ A x нечеткого множества A с элементами x, нечетко обладающими определяющим множество свойством R. Типизация функций принадлежности в контексте решаемой технической задачи существенно упрощает соответствующие аналитические и численные расчеты при применении методов теории нечетких множеств. Выделяют следующие типовые функции принадлежности [32], [33].

Треугольные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и т.п.:

· треугольная и трапецеидальная функции

Z-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «малое количество», «небольшое значение», «незначительная величина», «низкий уровень» и т.п.:

· квадратичный и гармонический Z-сплайны

· Z-сигмоидальная и Z-линейная функции

S-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень» и т.п.:

· квадратичный и гармонический S-сплайны

· S-сигмоидальная и S-линейная функции

П-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно в пределах от и до», «примерно равно», «около» и т.п.:

· колоколообразная и гауссова функции

Существует множество других функций принадлежности нечетких множеств, заданных как композиции вышеупомянутых базовых функций (двойная гауссова, двойная сигмоидальная и т.п.), либо как комбинации по участкам возрастания и убывания (сигмоидально-гауссова, сплайн-треугольная и т.п.).

1. Дополнение нечеткого множества обозначается символом (или иногда ) и определяется следующим образом:

(3.33)

Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Так, например, если — названиенечеткого множества, то «не » понимается как (см. пример 3.8).

2. Объединение нечетких множеств и обозначается (или, что более привычно, ) и определяется следующим образом:

(3.34)

Объединение соответствует логической связке «или». Так, если, например, и — названия нечетких множеств, то запись « или » понимается как .

3. Пересечение и обозначается и определяется следующим образом:

(3.35)

Пересечение соответствует логической связке «и», т. е.

(3.36)

Замечание 3.7.Следует иметь в виду, что

и

— не единственные операции, посредством которых можно определить операции объединения и пересечения (по этому вопросу см. [25] и [26]). В связи с этим важно отметить, что если операция «и» определяется с помощью операции min, как в (3.36), то она является «жесткой» в том смысле, что в ней недостаточно учитываются функции принадлежности обоих множеств. В противоположность этому операция «и», определяемая с помощью арифметического произведения, как в (3.37), является «мягкой». Какое из этих двух, а возможно, и других определений является наиболее подходящим, зависит от смысла, вкладываемого в эту операцию в каждом конкретном случае.

4. Произведение и обозначается и определяется формулой

(3.37)

Таким образом, любое нечеткое множество , где — положительное число, следует понимать так:

(3.38)

Аналогично, если — любое неотрицательное число, такое, что , то

(3.39)

Частными случаями операции возведения в степень [см. (3.35)] являются операция концентрирования, определяемая следующим образом

(3.40)

и операция растяжения

(3.41)

Как будет показано в §6, операции концентрирования и растяжения полезны в представлении лингвистических неопределенностей.

Пример 3.8. Если

(3.42)

(3.43)

5. Если — нечеткие подмножества универсального множества , а — неотрицательные весовые коэффициенты, сумма которых равна 1, то выпуклой комбинацией нечетких множеств называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

(3.44)

где знак + означает арифметическое суммирование. Понятие выпуклой комбинации полезно в представлении таких лингвистических неопределенностей, каксущественно, типичнои т. п. [27].

6. Пусть — нечеткие подмножества универсальных множеств соответственно. Декартово произведение этих подмножеств обозначается и определяется как нечеткое подмножество множества с функцией принадлежности

. (3.45)

Таким образом [см. (3.52)],

(3.46)

Пример 3.9.Если , и , то

(3.47)

7. Оператор увеличения нечеткости используется обычно для преобразования обычного (не нечеткого) множества в нечеткое или для увеличения нечеткости нечеткого множества. Так, результатом действия оператора увеличения нечеткости на нечеткое подмножество множества является нечеткое подмножество вида

(3.48)

где нечеткое множество является ядром оператора , т. е. результатом действия оператора на одноточечное множество :

(3.49)

— произведение (в смысле определения (3.39)) числа и нечеткого множества , a — знак объединения семейства нечетких множеств , . В сущности, выражение (3.48) аналогично интегральному представлению линейного оператора, в котором играет роль импульсной переходной функции.

Пример 3.10. Пусть , и определены следующий образом:

(3.50)

(3.51)

Операция увеличения нечеткости играет важную роль в определении таких лингвистических неопределенностей, какболее или менее, слегка, несколько (в какой-то степени), много и т. д. Например, если класс положительных чисел обозначить символом: положительный, тогда словосочетаниеслегка положительный является названием нечеткого подмножества множества действительных чисел, функция принадлежности которого имеет вид, показанный на рис. 3.1. В этом случае нечеткое понятиеслегкаесть оператор увеличения нечеткости, который преобразует нечеткое множество положительный в нечеткое множествослегка положительный. Однако не всегда возможно выразить результат действия оператора увеличения нечеткости в форме (3.48), причем операторслегка как раз и представляет такой случай. Более подробное обсуждение этого и других вопросов, связанных с этим оператором, можно найти в [27].

Рис. 3.1. Функции принадлежности значений положительныйи слегка положительный

6. Основные свойства нечетких множеств

— коммутативность;

— ассоциативность;

— идемпотентность;

— дистрибутивность;

— теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

A  ,

A  E.

(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и«, «или«, «не«.

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция T:[0,1][0,1][0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

Простым случаем треугольных норм являются:

Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция :[0,1][0,1] [0,1], со свойствами:

Источник