Что определяет функция ферми дирака

Функция распределения Ферми-Дирака. Энергия Ферми

Функция распределения для вырожденного коллектива фермионов впервые была получена итальянским физиком Энрико Ферми и английским физиком Полем Дираком:

. (3.20)

Химический потенциал μ для фермионов обычно называют энергией, или уровнем Ферми – Е_Ф.

Анализ выражения показывает, что при Е=Е_Ф и температуре Т>0, f_Ф(Е)=½, т.е. вероятность заселения уровня Ферми при Т>0 равна ½.

Для того чтобы понять свойства функции Ферми-Дирака, полезно рассмотреть ее поведение при Т=0. Проводник можно представить в виде потенциальной ямы для электронов, выход из которой требует совершения работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны – работы выхода (рис. 3.3, а). На рисунке показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны. Согласно постулату Паули, на каждом уровне может располагаться не более двух электронов (с противоположными спинами).

Как видно на рисунке, при Т=0 все уровни ниже уровня Ферми заняты, а все уровни выше этого уровня пусты, т.е. функция f_Ф(Е) при Т=0 имеет форму ступеньки (рис. 3.4, а).

Рис. 3.4. Распределение Ферми-Дирака: а – функция распределения Ф-Д;
б – полная функция распределения

Таким образом можно определить физический смысл уровня Ферми, но только для проводников. В случае полупроводников или изоляторов это определение неприемлемо, поскольку в этих материалах недостаточно свободных электронов и уровень Ферми находится в запрещенной зоне (п. 4.5).

Умножив функцию распределения (3.20) на число состояний (3.13), получим выражение для полной функции распределения при Т=0 (рис. 3.4, б)

, (3.21)

Проинтегрировав (3.21) в указанном интервале энергий, будем иметь выражение для энергии Ферми:

, (3.22)

где n – концентрация электронного газа в проводнике.

Используя выражение (3.21), можно получить формулы для вычисления средней энергии – и максимальной скорости электронов при абсолютном нуле

, (3.23)

. (3.24)

Необходимо отметить, что кинетическая энергия электронов Е_Ф не является тепловой энергией, а имеет чисто квантовую природу и определяется свойствами электронов как Ферми-частиц.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни (см. рис. 3.3, б). Происходит “размывание” функций распределения (см. рис. 3.4), и ступенька Е=Е_Ф преобразуется в интервал, ширина которого равна 2kT. Однако более глубокие состояния электронов остаются неизменными.

Проведенные расчеты показывают, что число термически возбужденных частиц составляет для комнатной температуры всего 1-2% от общего числа. Если проинтегрировать полную функцию распределения во всем энергетическом диапазоне, то можно получить выражение для температурной зависимости энергии Ферми

, (3.25)

Напомним, что тепловое возбуждение так незначительно влияет на характеристики вырожденного Ферми-газа, что во многих случаях этим влиянием можно пренебречь и считать Е_Ф = Е_Фо во всем температурном диапазоне.

Можно также вычислить среднюю энергию электронов при ненулевой температуре Т>0

, (3.26)

где Е_п – полная энергия электронного газа.

Ранее мы говорили о Ферми-газе, считая его вырожденным коллективом. Однако, в случае выполнения критерия (3.11) G>>N, можно говорить о снятии вырождения. Тогда критерий невырожденности (3.11) примет вид

(3.27)

. (3.28)

Из последнего соотношения следует, что для невырожденного Ферми-газа должно выполняться условие

При выполнении условия (3.27) единицей в знаменателе выражения (3.20) можно пренебречь, и выражение (3.20) совпадает с формулой для функции Максвелла-Больцмана.

Параметры электронного газа [15]

Параметры газа	Газ
невырожденный	вырожденный
, Т=0 Т>0
Jкв, Т=0 Т>0		м/с
Р, Т=0 Т>0		≈10 10 Па Р ≈ Р0

Из данных таблицы видно, что параметры вырожденного газа в отличие от газа невырожденного при нулевой температуре не равны нулю и практически не зависят от температуры. Это, в свою очередь, говорит о нетепловом квантовомеханическом характере данных процессов.

Источник

Функции распределения частиц. Функция Ферми-Дирака

Функцией распределения в статистической теории принято называть функцию, которая в условиях термодинамического равновесия при заданной температуре Т пропорциональна вероятности того, что некоторая частица занимает определенный энергетический уровень Е.

Вид функции распределения зависит от возможного количества частиц в данном разрешенном энергетическом состоянии и от того, являются ли данные частицы различимыми. Различимость – это свойство частиц изменять физические характеристики твердого тела при перестановке частиц местами.

; (2.32)

где μ – химический потенциал, выражающий изменение свободной энергии системы при изменении числа частиц в системе на одну при постоянной температуре и постоянном объеме системы: (фактически – работа выхода); С – постоянная, которая находится из условия, что сумма частиц на всех уровнях системы равна некоторому заданному и неизменному числу N. Название химический потенциал, а не какой–либо другой, подчеркивает лишь то обстоятельство, что рассматриваемые частицы способны двигаться по законам механики.

В отличие от классических представлений в квантовой механике микрочастицы являются неразличимыми. Микрочастицы подразделяются на 2 группы: бозоны и фермионы. Бозоны могут неограниченно заполнять одно и то же энергетическое состояние, причем тем легче, чем больше их в этом состоянии находится. Фермионы подчиняются запрету Паули. Это значит, что одно квантовое состояние может быть занято не более чем одним фермионом.

Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

(2.33)

В условиях равновесия бозоны имеют минимум свободной энергии, поэтому химический потенциал бозонов равен нулю. Отсюда следует

(2.33А)

Распределение фермионов по энергетическим уровням описывается с помощью функции Ферми-Дирака:

(2.34)

Характерно, что вид функции Ферми-Дирака не зависит от свойств системы, а зависит только от температуры. Конкретные свойства системы отражаются лишь на положении уровня Ферми. Графическое изображение функции распределения Ферми-Дирака представлено на рис. 2.4.

Основные свойства функции Ферми-Дирака.

1. , т.е. уровень Ферми занят с вероятностью 0,5 (всегда!).

То есть уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля равна 0.5.

2. К. Тогда:для и для ,

т.е. при температуре К все разрешенные состояния ниже уровня Ферми заняты, а все выше него – полностью свободны. Это отличается от случая классических частиц, когда при К все электроны имеют .

Следовательно, энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

3. Если энергия электронов значительно выше энергии Ферми, т.е. , тогда

. (2.35)

Формула (2.35) представляет собой классическое распределение Максвелла-Больцмана. Таким образом, функция Ферми-Дирака при больших энергиях переходит в распределение Максвелла-Больцмана.

4. Если энергия электрона ниже Е_F настолько, что , тогда:

, (2.36)

т.е. в области энергий, существенно меньших , разрешенные состояния заняты с вероятностью, близкой к 1.

5. В области функция изменяется очень быстро от значений, близких к 1, до нуля. Скорость изменения зависит от , и для температуры абсолютного нуля равна бесконечности (рис.2.4 в).

Функция распределения Ферми-Дирака (2.34) характеризует вероятность заполнения данного состояния электроном. Вероятность того, что в состоянии с энергией Е электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

(2.37)

Следовательно, функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электрона.

(а)	(б)
(в)
Рис. 2.4. Распределение Ферми-Дирака.

При Т>0 часть электронов за счет теплового движения смогут перейти в состояние с E>E_F. Число частиц, перешедших на более высокие уровни, равно количеству образовавшихся свободных состояний в области Е

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией E-E_F>>, выражение для F(E) принимает вид:

, (2.38)

то есть совпадает с функцией распределения Максвелла-Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам.

Если распределение носителей заряда по энергиям в полупроводнике подчиняются статистике Больцмана, то полупроводник называют невырожденными.

Невырожденными являются такие полупроводники, у которых уровень Ферми расположен внутри запрещенной зоны на расстоянии более нескольких kT от границы с разрешенной зоной.

2.3. Степень заполнения примесных уровней

Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь в концентрации N_d. Донор, удерживающий электрон, электрически нейтрален. Это соответствует, например, случаю, когда один из узлов кристаллической решетки кремния занят атомом мышьяка. При этом пятый валентный электрон атома донорной примеси не принимает участия в ковалентной связи и ему соответствует энер­гетический уровень, расположенный ниже дна зоны проводимости на величину Е_d (рис. 2.5 а).

Поскольку у донорной примеси имеется только один электрон, который может принимать участие в проводимости, то полное число состояний для донорной примеси должно быть равно количеству атомов введенной примеси на единицу объема кристалла, т. е. равно N_d.

Рис. 2.5. Электронный (а) и акцепторный (б) полупроводники.

Предположим, что концентрация электронов, находящихся на уровне донорной примеси, равна п_d. В этом случае концентрация ионизованных донорных атомов р_d, образовавшихся в результате тепловых переходов электронов с донорных уровней в зону прово­димости и имеющих положительный заряд, составит

(2.40)

Используя (2.39), это равенство можно записать в виде

(2.41)

откуда следует,что концентрация электронов, находящихсянауровнях донорной примеси, равна:

, (2.42)

Где g – фактор спинового вырождения (физический смысл – число квантовых состояний с одной и той же энергией).

а концентрация положительных ионов донорной примеси на осно­вании равенств (2.40) и (2.42) будет выражаться соотношением вида:

(2.43)

Тогда вероятность нахождения электрона на донорном уровне с энергией Е_d будет определяться выражением:

, (2.44)

а функция распределения для положительных ионов донорной примеси на основании и (2.43) будет:

(2.45)

Таким образом, для одновалентной донорной примеси, для которой примесный уровень двукратно вырожден, фактор (сте­пень) спинового вырождения g = 2.

Рассмотрим теперь акцепторный полупроводник, например кремний, легированный бором. Допустим, что концентрация введенной примеси равна N_a. Энергетическая схема такого полупроводника Представлена на рис. 2.5 б.

Нейтральный атом бора с соседними атомами кремния образует три ковалентные связи, четвертая связь одного из четырех соседних атомов кремния остается незавершенной, и она, располагаясь около атома бора, ведет себя как положительная дырка. В эту незавершен­ную связь может перейти электрон от соседнего атома кремния, и для этого потребуется энергия, равная Е_а. В результате образуется свободная дырка, а атом бора превращается в отрицательно заря­женный ион бора. Таким образом, на энергетическом уровне акцеп­торной примеси находится один электрон с произвольным направ­лением спина (нейтральное состояние акцепторной примеси) либо имеется два электрона с антипараллельными спинами в случае, когда атом акцепторной примеси для укомплектования парной связи захватывает электрон из валентной зоны (ионизованное состояние акцепторной примеси). Следовательно, степень вырождения акцеп­торного уровня g = 2. Поэтому концентрация электронов n_a на уровнях акцепторной примеси (или концентрация отрицательных ионов) при данной температуре будет определяться соотношением вида

(2.46)

а концентрация дырок на акцепторной примеси р_а соответственно будет равна:

(2.46а)

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Что определяет функция ферми дирака

3.1. Статистическое описание коллектива частиц.

Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны

Системы, состоящие из большого количества тождественных частиц, являются предметом изучения статистической физики. Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Хорошо известен метод статистического описания коллектива молекул идеального газа. Несмотря на то, что скорость отдельной молекулы газа является величиной случайной в газе, состоящем из большого числа одинаковых молекул, наблюдается определенная закономерность в распределении их по скоростям. Используя методы статистической физики, всегда можно указать, какая доля молекул имеет скорость, заключенную в данном интервале значений.

(3.1)

Таким образом, функция распределения частиц по энергиям есть плотность заполнения данных состояний частицами.

Для молекул идеального газа f(E) известна как функция распределения Максвелла-Больцмана:

(3.2)

Формулу (3.2) называют часто также каноническим распределением или распределением Гиббса. Из этого распределения можно легко получить известное из молекулярной физики распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения. Статистика молекул идеального газа исходит из следующих основных положений:

1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.

2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по состояниям (новому микросостоянию).

3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны.

Предположение о том, что электронный газ в металлах подчиняется статистике Максвелла-Больцмана, опровергается рядом экспериментальных результатов. Например, из этого предположения следует, что электроны должны давать вклад в теплоемкость металлов, который примерно на два порядка больше экспериментально наблюдаемой величины. Противоречие снимается, если учитывать квантовые свойства частиц в кристаллах.

Рис. 3.1. Сравнение различных статистик на примере распределения двух частиц по трем состояниям:

Статистике Бозе-Эйнштейна подчиняются фотоны и фононы, играющие важную роль в физических свойствах твердых тел. Функция распределения Бозе-Эйнштейна имеет вид

(3.3)

Если полное число частиц не фиксировано, а должно определяться из условия термодинамического равновесия, как это имеет место для фотонов при излучении абсолютно черного тела, или фононов в кристалле, химический потенциал равен нулю. В этом случае формула (3.3) совпадает с формулой Планка, определяющей среднее число фотонов в данном типе колебаний теплового излучения абсолютно черного тела.

3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми.

Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака

Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид:

Вид функции распределения Ферми-Дирака при Т = 0К представлен на рис. 3.2,а. На рис. 3.2,б показано распределение электронов по энергетическим уровням в зоне проводимости металла при этой же температуре.

Рис. 3.3. Функция распределения Ферми-Дирака при Т>0K

Рис. 3.2. Функция распределения Ферми-Дирака (а) и распределение электронов в зоне проводимости металла при Т=0К (б)

(3.5)

экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (3.4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду

(3.6)

Выражение (3.6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-Больцмана.

Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Е свободен, т.е. занят дыркой, равна

(3.7)

Таким образом, функция распределения Ферми-Дирака для дырок аналогична функции распределения для электронов, если в ней изменить знаки показателей экспонент. Это хорошо согласуется с представлением о том, что дырки являются носителями положительного заряда.

Газ носителей заряда, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака, называется вырожденным. Если носители заряда подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, то они называются невырожденными.

3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок

(3.8)

(3.9)

Подставляя значения k 2 и dk в формулу (3.10), получим

Учитывая (3.8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости:

(3.11)

Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона:

(3.12)

(3.13)

Следует подчеркнуть, что формулы (3.11) и (3.13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, т.е. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E) неизвестен. На рис. 3.4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

Рис. 3.4. Плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зоне

Площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней в интервале энергий dE

3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике.

Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок

Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN, находящихся в dZ состояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (3.1) определяется выражением

Учитывая, что dZ = g(E) dE, получим

Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение (3.14) в пределах зоны

Преобразуем теперь выражение (3.16) к виду

Произведем замену переменных в подынтегральном выражении

В результате получим

(3.17)

Величину N_c называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Это название связано с тем, что полная концентрация электронов, распределенных в действительности в определенном энергетическом интервале в зоне проводимости, такая же, как если бы зона была занята N_c уровнями, обладающими одной и той же энергией Е_c.

Тогда концентрация дырок

При условии, что газ дырок невырожденный, получим

(3.19)

где эффективная плотность состояний в валентной зоне

Перемножая выражения (3.17) и (3.19), получим

(3.21)

(3.22)

Вопрос о том, является газ носителей заряда в кристалле вырожденным или невырожденным определяется только его концентрацией и температурой. Подстановка численных значений величин, входящих в неравенство (3.22), приводит к выводу о том, что при комнатной температуре (Т

Таким образом, закон действующих масс выполняется для любого невырожденного полупроводника независимо от роли примесей, т.е. в любом невырожденном полупроводнике увеличение концентрации носителей одного знака приводит к уменьшению концентрации носителей противоположного знака. Следует отметить также, что произведение электронной и дырочной концентраций не зависит от положения уровня Ферми.

3.5. Уровень Ферми в полупроводниках

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (n = p), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (3.17) и (3.19), получим

Разрешая последнее равенство относительно Е_F, получим

(3.23)

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (3.23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N_d на функцию распределения Ферми-Дирака:

Подстановка в условие электронейтральности (3.24) концентраций электронов (3.17) и дырок (3.19), а также концентрации электронов на донорных уровнях (3.25) приводит к следующему уравнению относительно положения уровня Ферми Е_F :

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (3.24 ) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (3.25).

Уравнение (3.26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (3.26) имеет вид

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 3.6,б.

3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми

Положение уровня Ферми в собственных и примесных полупроводниках связано с концентрацией носителей заряда, установившейсяпри данной температуре в состоянии термодинамического равновесия. Переброс электронов в зону проводимости за счет температурного возбуждения и возникновение в результате этого процесса дырок в валентной зоне называется термической генерацией свободных носителей заряда. Одновременно происходит и обратный процесс: электроны возвращаются в валентную зону, в результате чего исчезают электрон и дырка. Этот процесс называется рекомбинацией носителей заряда. Для количественного описания процессов генерации и рекомбинации носителей заряда в полупроводниках используют понятия скорости генерации, скорости рекомбинации и времени жизни носителей заряда.

Время жизни носителeй t — это среднее время от генерации носителя до его рекомбинации.

Из приведенных выше определений непосредственно следуют следующие соотношения между скоростями рекомбинации электронов R_n и дырок R_p и их временами жизни t _n и t _p соответственно:

(3.28)

При фиксированной температуре устанавливается термодинамическое равновесие, при котором процессы генерации и рекомбинации взаимно уравновешиваются. Такие носители, находящиеся в тепловом равновесии с кристаллической решеткой, называются равновесными.

Электропроводность полупроводника может быть возбуждена и другими способами, например, облучением светом, действием ионизирующих частиц, электрическим полем, инжекцией носителей через контакт и др. Во всех этих случаях дополнительно к равновесным носителям в полупроводнике возникают носители заряда, которые не будут находиться в состоянии теплового равновесия с кристаллом. Такие носители называются неравновесными.

Общую концентрацию электронов в зоне проводимости n в случае равновесных и неравновесных носителей можно представить в виде

Общая концентрация дырок

Поскольку распределение Ферми-Дирака справедливо только для состояния термодинамического равновесия, то понятно, что статистика неравновесных носителей должна быть иной. В отсутствие термодинамического равновесия принято вводить два новых параметра распределения E_Fn для электронов и E_Fp для дырок. Эти параметры выбираюттаким образом, чтобы для концентраций электронов и дырок при наличии неравновесныхносителей выполнялись уравнения (3.17) и (3.19) соответственно при условии замены E_F на E_Fn для электронов и на E_Fp для дырок. Величины E_Fn и E_Fp называют квазиуровнями Ферми электронов и дырок соответственно. Таким образом, в невырожденных полупроводниках справедливы уравнения

Поскольку при наличии избыточных носителей заряда закон действующих масс не выполняется ( ), т.к. нет никакой зависимости между D n и D p, квазиуровни Ферми для электронов и дырок разные и не совпадают с равновесным уровнем Ферми (рис.3.7).

В состоянии термодинамического равновесия квазиуровни Ферми совпадают с равновесным уровнем Ферми E_F. Чем выше концентрация неравновесных носителей заряда, тем дальше отстоят квазиуровниФерми от уровня Ферми. Из уравнений (3.31), (3.32), (3.17) и (3.19) следует

Неравновесные носители играют важную роль в работе полупроводниковых приборов.

Источник