Что определяет формула стокса

Формула Стокса

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Содержание

Общая формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p-мерное подмногообразие σ и дифференциальная форма ω степени p−1 класса C 1 (). Тогда если граница подмногообразия ∂σ положительно ориентирована, то

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M.

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая l, соединяющая две точки a и b (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма ω нулевой степени класса C 1 — это дифференцируемая функция f. Формула Стокса тогда записывается в виде

Формула Грина

Пусть M — плоскость, а D — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах x и y — это выражение , и для интеграла этой формы по границе области D верно

Формула Кельвина — Стокса

Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность (p = 2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n = 3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура ∂Σ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность Σ, ограниченную контуром:

или в координатной записи

Формула Остроградского

Пусть теперь ∂V — кусочно-гладкая гиперповерхность (p = n−1), ограничивающая некоторую область V в n-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области ∂V:

Что эквивалентно записи:

Литература

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Формула Стокса» в других словарях:

ФОРМУЛА СТОКСА — формула скорости оседания частицы в жидкости: где v скорость оседания, g ускорение силы тяжести, r радиус частицы, ρ плотность вещества частицы, ρ плотность жидкости, μ коэф. вязкости жидкости. Коэф. К зависит от формы частицы и… … Геологическая энциклопедия

формула Стокса — Stokso formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Stokes formula vok. Stokessche Formel, f rus. формула Стокса, f pranc. formule de Stokes, f … Fizikos terminų žodynas

Формула Стокса-Эйнштейна — В физике (главным образом в молекулярно кинетической теории) соотношением Эйнштейна (также называемое соотношением Эйнштейна Смолуховского) называется выражение, связывающее подвижность молекулы (молекулярный параметр) с коэффициентом диффузии и… … Википедия

Формула конечных приращений — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений или теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и … Википедия

Формула Гаусса—Остроградского — Формула Остроградского математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного… … Википедия

Формула Гаусса-Остроградского — Теорема Остроградского Гаусса утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n кратным интегралом по области и (n − 1) кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v1,v2. vn) есть векторное поле… … Википедия

Стокса формула — сопротивления сферы формула, определяющая силу сопротивления X сферы диаметра d, движущейся в покоящейся вязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью V( ) при малых Рейнольдса числах Re Энциклопедия техники

СТОКСА ТЕОРЕМА — обобщение Стокса формулы, утверждениео равенстве интеграла от внеш. дифференциала dw дифференциальной формы поориентированному компактному многообразию М интегралу от самой формыпо ориентированному (согласованно с ориентацией многообразия М )краю … Физическая энциклопедия

Источник

СТОКСА ФОРМУЛА

Предложена Дж. Стоксом (G. Stokes, 1854). 2)С. ф. наз. также обобщение формулы (*), представляющее собой равенство интеграла от внешнего дифференциала дифференциальной формы по ориентированному компактному многообразию Ми интеграла от самой формы по ориентированному согласованно с ориентацией многообразия Мкраю многообразия М:

Полезное

Смотреть что такое «СТОКСА ФОРМУЛА» в других словарях:

Стокса формула — сопротивления сферы формула, определяющая силу сопротивления X сферы диаметра d, движущейся в покоящейся вязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью V( ) при малых Рейнольдса числах Re Энциклопедия техники

СТОКСА ФОРМУЛА — формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру с поверхностным интегралом по поверхности, ограниченной этим контуром. Предложена Дж. Г. Стоксом в 1854 … Большой Энциклопедический словарь

Стокса формула — формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру с поверхностным интегралом по поверхности, ограниченной этим контуром. Предложена Дж. Г. Стоксом в 1854. * * * СТОКСА ФОРМУЛА СТОКСА ФОРМУЛА, формула, связывающая криволинейный… … Энциклопедический словарь

Стокса формула — Зависимость cx сферы от Re. Стокса формула сопротивления сферы — формула, определяющая силу сопротивления X сферы диаметра d, движущейся в покоящейся вязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью V∞ при малых Рейнольдса числах Re l: X … Энциклопедия «Авиация»

Стокса формула — Зависимость cx сферы от Re. Стокса формула сопротивления сферы — формула, определяющая силу сопротивления X сферы диаметра d, движущейся в покоящейся вязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью V∞ при малых Рейнольдса числах Re l: X … Энциклопедия «Авиация»

Стокса формула — … Википедия

СТОКСА ТЕОРЕМА — обобщение Стокса формулы, утверждениео равенстве интеграла от внеш. дифференциала dw дифференциальной формы поориентированному компактному многообразию М интегралу от самой формыпо ориентированному (согласованно с ориентацией многообразия М )краю … Физическая энциклопедия

ФОРМУЛА СТОКСА — формула скорости оседания частицы в жидкости: где v скорость оседания, g ускорение силы тяжести, r радиус частицы, ρ плотность вещества частицы, ρ плотность жидкости, μ коэф. вязкости жидкости. Коэф. К зависит от формы частицы и… … Геологическая энциклопедия

Формула Грина — Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в … Википедия

Источник

Формула Стокса

Формула Стокса для простой гладкой поверхности.

Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простая поверхность \(\Sigma\) уравнением
$$
\boldsymbol = \boldsymbol(u, v),\ (u, v) \in \Omega \subset \boldsymbol^<2>.\label
$$
Здесь \(\Omega\) — замкнутая область, граница которой есть положительно ориентированный гладкий (или кусочно гладкий) контур (при обходе границы \(\partial\Omega\) область \(\Omega\) остается слева). Пусть \(\partial\Omega\) задается уравнениями
$$
u = u(t),\ v = v(t),\ \alpha \leq t \leq \beta.\label
$$
Образ кривой \(\partial\Omega\) при отображении \eqref мы назвали положительно ориентированным краем поверхности \(\Sigma\) и обозначили \(\partial\Sigma\).

Напомним, что ориентация поверхности \(\Sigma\), создаваемая полем нормалей \(\boldsymbol = [\boldsymbol_, \boldsymbol_]\), называется согласованной с положительной ориентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает с известным правилом правого винта.

Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности, натянутой на кусочно гладкий контур. \(\bullet\)

Формула Стокса для кусочно гладкой поверхности.

Разрежем кусочно гладкую поверхность на конечное число гладких кусков и запишем формулу Стокса для каждого куска. Если эти формулы сложить, то криволинейные интегралы по разрезам взаимно уничтожатся, так как разрезы входят в ориентированные границы кусков с противоположными ориентациями. Останется только криволинейный интеграл по краю поверхности \(\partial \Sigma\). Сумма потоков через куски даст, в силу аддитивности поверхностного интеграла, поток через всю поверхность \(\Sigma\), следовательно, формула Стокса справедлива и для кусочно гладкой поверхности.

Инвариантность ротора в ориентированном евклидовом пространстве.

При изменении ориентации пространства на противоположную нормаль к площадке и направление обхода контура \(\partial C_<\varepsilon>\) уже нужно согласовывать по правилу левого винта, и вместо формулы \eqref мы получим формулу со знаком минус. Таким образом, при изменении ориентации пространства вектор \(\operatorname\boldsymbol\) меняет знак.

Потенциальные векторные поля.

Условимся называть область \(G\) поверхностно односвязной, если на любой простой кусочно гладкий контур \(\Gamma \subset G\) можно натянуть кусочно гладкую поверхность \(\Sigma \subset G\). Например, пространство, из которого удалена одна точка, — поверхностно односвязная область, но то же пространство, из которого удалена целая прямая, не является поверхностно односвязной областью.

Как и в плоском случае, индукцией по числу звеньев ломаной теперь можно доказать, что \(\int\limits_ (\boldsymbol, d\boldsymbol) = 0\) по любой ломаной \(L\) (не обязательно простой). В силу теоремы 2 существует потенциал \(U(M)\). \(\bullet\)

Формула Стокса в некоторых случаях может упростить вычисление криволинейного интеграла.

Вычислить криволинейный интеграл
$$
J = \int\limits_<\Gamma_> (x^<2>-yz)\ dx + (y^<2>-xz)\ dy + (z^<2>-xy)\ dz,\nonumber
$$
взятый по отрезку винтовой линии (рис. 57.1) \(x = a \cos t\), \(y = a \sin t\), \(z = \displaystyle\frac<2\pi>\) от точки \(A(a, 0, 0)\) до точки \(B(a, 0, h)\).

Рис. 57.1

Таким образом,
$$
J = \int\limits_<\Gamma_> (\boldsymbol, d\boldsymbol) = \int\limits_<\Gamma’_> (\boldsymbol, d\boldsymbol) = \frac><3>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Источник

Стокса формула

Смотреть что такое «Стокса формула» в других словарях:

Стокса формула — сопротивления сферы формула, определяющая силу сопротивления X сферы диаметра d, движущейся в покоящейся вязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью V( ) при малых Рейнольдса числах Re Энциклопедия техники

СТОКСА ФОРМУЛА — формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру с поверхностным интегралом по поверхности, ограниченной этим контуром. Предложена Дж. Г. Стоксом в 1854 … Большой Энциклопедический словарь

Стокса формула — формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру с поверхностным интегралом по поверхности, ограниченной этим контуром. Предложена Дж. Г. Стоксом в 1854. * * * СТОКСА ФОРМУЛА СТОКСА ФОРМУЛА, формула, связывающая криволинейный… … Энциклопедический словарь

Стокса формула — Зависимость cx сферы от Re. Стокса формула сопротивления сферы — формула, определяющая силу сопротивления X сферы диаметра d, движущейся в покоящейся вязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью V∞ при малых Рейнольдса числах Re l: X … Энциклопедия «Авиация»

Стокса формула — Зависимость cx сферы от Re. Стокса формула сопротивления сферы — формула, определяющая силу сопротивления X сферы диаметра d, движущейся в покоящейся вязкой несжимаемой жидкости с постоянной скоростью V∞ при малых Рейнольдса числах Re l: X … Энциклопедия «Авиация»

СТОКСА ФОРМУЛА — 1) формула, выражающая связь между потоком векторного поля через двумерное ориентированное многообразие и циркуляцию этого поля по соответствующим образом ориентированному краю этого многообразия. Пусть S ориентированная кусочно гладкая… … Математическая энциклопедия

Стокса формула — … Википедия

СТОКСА ТЕОРЕМА — обобщение Стокса формулы, утверждениео равенстве интеграла от внеш. дифференциала dw дифференциальной формы поориентированному компактному многообразию М интегралу от самой формыпо ориентированному (согласованно с ориентацией многообразия М )краю … Физическая энциклопедия

ФОРМУЛА СТОКСА — формула скорости оседания частицы в жидкости: где v скорость оседания, g ускорение силы тяжести, r радиус частицы, ρ плотность вещества частицы, ρ плотность жидкости, μ коэф. вязкости жидкости. Коэф. К зависит от формы частицы и… … Геологическая энциклопедия

Формула Грина — Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в … Википедия

Источник

Как определить вязкость жидкости методом Стокса?

Формулу определения вязкости Стокс вывел ещё в 1851 году.

Он получил выражение, описывающее действие силы трения (лобового сопротивления) на круглый объект, движущийся в вязкой жидкости с небольшим числом Рейнольдса.

Чтобы понять, как определять вязкость жидкости методом Стокса необходимо узнать теоретическое описание процесса, вывод формулы и сам описание самого метода.

Всё это и конкретные методы описаны далее в статье.

Содержание статьи

Что такое вязкость

Сама по себе вязкость это свойство жидкости сопротивляться сдвигу слоев. Такой сдвиг выражается в том, что при относительном перемещении слоёв жидкости тот слой, что движется медленнее тормозит слой, который движется быстрее и наоборот.

Вязкость проявляется в наличии между молекулами жидкости сил притяжения, которые пытаются сдерживать движение слоев при перемещении одной части жидкости относительно другой.

По природе все жидкости являются вязкими, потому что между молекулами существуют силы притяжения и отталкивания. Если один слой жидкости вывести из равновесия и сдвигать его относительно другого с некоторой скоростью, то силы взаимного притяжения молекул будут пытаться тормозить это движение.

Движение тела в жидкой среде

Когда твердое тело попадает в жидкость, оно сталкивается с некоторым сопротивлением. Происхождение сил сопротивления жидкости в этом случае может быть объяснено двумя разными механизмами.

Если скорость движения твердого тела маленькая и за ним не образовывается завихрений, то силы сопротивления жидкости характеризуются только вязкостью.

В таком случае слои жидкости, которые прилегают к этому твердому телу, движутся вместе с ним. Но слои жидкости, граничащие с первыми слоями, тоже приходят в движения из-за сил молекулярного притяжения (сцепления).

Таким образом образуются силы, которые затормаживают относительное движение твердого тела в жидкости.

Завихрения вокруг твердого тела образуются из-за различия скоростей движения жидкости перед телом и за ним. При этом давление в стационарном потоке жидкости изменяется таким образом, что в области вихрей оно существенном меньше.

Разность давлений в областях перед твердым телом и за ним создает противоположную по направлению движения силу лобового сопротивления жидкости. Эта сила тормозит движение твердого тела.

Сила сопротивления

В случае, когда движение твердого тела в жидкости происходит без образования вихрей, т.е. медленно, сила сопротивления образуется по первому из двух описанных механизмов.

Для тел круглой формы, согласно формуле Стокса, сила сопротивления будет равна:

где μ – вязкость жидкости;
r – радиус шарика;
υ – скорость равномерного движения шарика.

Условие использования формулы

Существует несколько ограничений для применения формулы Стокса.
1. вязкая среда не ограничена стенками и находится в покое
2. скольжений на границах с твердым телом нет
3. движение жидкости ламинарное
4. радиус круглого тела намного больше, чем длина среднего пробега молекул жидкой среды

Формула вязкости

Рассмотрим конкретный случай, когда на шар, движущийся в жидкости действуют три силы:
F_T – сила тяжести;
F_A – сила Архимеда (выталкивающая сила);
T_C – сила лобового сопротивления.

Для круглого шарика сила тяжести будет:

где r –радиус шара;
ρ – плотность шара;
ρ₀ – плотность жидкости;
g – ускорение свободного падения;
υ – скорость равномерного движения шарика;
μ – вязкость жидкости.

В жидкости выталкивающая сила и сила тяжести постоянны. Сила лобового сопротивления пропорциональна скорости движения шарика и на первых этапах она существенно меньше силы тяжести.

При дальнейшем движении шарика наступает момент, когда все три силы уравновешиваются и тогда:

или подставляя формулы

таким образом, определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса сводится к формуле

Определение вязкости методом Стокса

Для того чтобы определить вязкость методом Стокса используют высокий сосуд цилиндрической формы.

На сосуд наносят метки А и В. Такие метки располагаются на заведомо известном расстоянии l друг от друга.

Затем в сосуд наливают исследуемую жидкость выше верхней метки А на 4 – 5 сантиметров. Это необходимо для того, чтобы во время прохождения шариком первой метки его скорость можно было считать установившейся.

Далее шарик бросают в сосуд и секундомером определяют время за которое он проход расстояние от метки А до метки В.

Учитывая, что скорость это отношения длины пути ко времени, т.е.:

и заменяя радиус шарика его диаметром d и определяет коэффициент вязкости жидкости методом стокса

Указанная выше формула применимо в тех случаях, когда шар падает в безграничной среде. Если он падает вдоль оси трубки диаметром R0 (как в этом случае) необходимо ввести поправки на радиус сосуда.

При падении шара радиусом r в трубе радиусом R₀ и высотой h формула будет выглядеть

Исходя из всего вышесказанного получаем, что определение вязкости жидкости методом Стокса требует значения таких параметров, как:
плотность материала шарика;
плотность жидкости;
радиус шарика;
радиус сосуда;
скорость движения шарика.

Видео про методы определения вязкости

Вязкость – это важная характеристика жидкой среды. Её необходимо учитывать при перекачке жидкостей и газов по трубопроводам, смазке машин и механизмов, разливке расплавленных металлов.

Для определения вязкости используют специальные приборы вискозиметры и специальные методы определения. Каждый из методов определения вязкости характеризуется своим набором условий применения.

Но независимо от метода общими остаются:
1. результат измерение не должен зависеть от линейных размеров вискозиметра.
2. не должно быть пристеночного скольжения жидкости.
3. поток жидкости в используемом вискозиметре должен быть ламинарным.

Источник