Что опаснее для вычислений переполнение или антипереполнение
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Антипереполнение
При использовании арифметики с плавающей точкой ошибками такого рода дело не ограничивается. Здесь возникают новые погрешности, обусловленные антипереполнением при сложении. Когда складываются два числа с плавающей точкой, одно из которых значительно больше другого, все меньшее число или его часть могут быть потеряны. [18]
Этот случай чуть более сложен, но в основном сводится к тому же результату: хотя для чисел с плавающей точкой диапазон представления шире, при сложении одно число может выступать по отношению к другому в качестве нуля. Таким образом, при суммировании в результате антипереполнения х полностью поглощает значение у. Значит, хотя у может оказаться и не настолько малой величиной, чтобы быть машинным нулем, при сложении в режиме плавающей точки она может выступить в качестве нуля. [20]
В следующих главах будут обсуждаться и многие другие проблемы, обусловленные использованием ЭВМ при расчетах. Почти во всех случаях эти проблемы будут связаны с антипереполнением и накоплением ошибки округления. [21]
Чтобы из одного числа с плавающей точкой вычесть другое число с плавающей точкой, сначала нужно подогнать их таким образом, чтобы их экспоненты имели одно и то же значение. Увеличение экспоненты может привести к антипереполнению ( исчезновению значащих разрядов) мантиссы, а уменьшение экспоненты может вызвать переполнение мантиссы. Антипереполнение менее опасно, поскольку число с антипереполнением можно округлить нулем. Поэтому мы выбираем первый путь. Затем мы выполняем вычитание, а потом нормализуем результат. [25]
Буферный регистр РБ ( 16-разрядный) предназначен для хранения интервалов отсчета. Он обеспечивает автоматическую перезагрузку счетчика в режиме периодических прерываний. РБ используется только для записи по программе, сбрасывается сигналом ПОДГ, а также при переполнении или антипереполнении в режиме одиночного прерывания. [26]
Операции, неопределенные для некоторых входных данных. Операция, определенная на некоторой области, на самом деле может содержать остановы по ошибке, бесконечные циклы или другие внутренние структуры, приводящие к тому, что для каких-то входных данных из области определения она оказывается неопределенной. Точное указание множества операндов, для которых операция не определена, может оказаться очень трудным делом, как, например, указание множества чисел, вызывающих антипереполнение или переполнение в арифметических операциях. [28]
Чтобы из одного числа с плавающей точкой вычесть другое число с плавающей точкой, сначала нужно подогнать их таким образом, чтобы их экспоненты имели одно и то же значение. Увеличение экспоненты может привести к антипереполнению ( исчезновению значащих разрядов) мантиссы, а уменьшение экспоненты может вызвать переполнение мантиссы. Антипереполнение менее опасно, поскольку число с антипереполнением можно округлить нулем. Поэтому мы выбираем первый путь. Затем мы выполняем вычитание, а потом нормализуем результат. [29]
Чтобы из одного числа с плавающей точкой вычесть другое число с плавающей точкой, сначала нужно подогнать их таким образом, чтобы их экспоненты имели одно и то же значение. Увеличение экспоненты может привести к антипереполнению ( исчезновению значащих разрядов) мантиссы, а уменьшение экспоненты может вызвать переполнение мантиссы. Антипереполнение менее опасно, поскольку число с антипереполнением можно округлить нулем. Поэтому мы выбираем первый путь. Затем мы выполняем вычитание, а потом нормализуем результат. [30]
На уроках математики вы никогда не обсуждали, как хранятся числа. Математика — это теоретическая наука, для которой совершенно не важно, записаны они на маленьком или большом листе бумаги, зафиксированы с помощью счётных палочек, счётов, или внутри полупроводниковой схемы. Поэтому число в математике может состоять из любого количества цифр, которое требуется в решаемой задаче.
В то же время инженеры, разрабатывающие компьютер, должны спроектировать реальное устройство из вполне определённого количества деталей. Поэтому число разрядов, отведённых для хранения каждого числа, ограничено, и точность вычислений тоже ограничена. Из-за этого при компьютерных расчётах могут возникать достаточно серьёзные проблемы. Например, сумма двух положительных чисел может получиться отрицательной, а выражение А + В может совпадать с А при ненулевом В. В этой главе мы рассмотрим важные особенности компьютерной арифметики, которые нужно учитывать при обработке данных. В первую очередь, они связаны с тем, как размещаются целые и вещественные числа в памяти компьютера.
Предельные значения чисел
Как вы уже поняли, числа, хранящиеся в компьютере, не могут быть сколь угодно большими и имеют некоторые предельные
значения. Представим себе некоторое вычислительное устройство,
которое работает с четырехразрядными неотрицательными целыми десятичными числами (рис. 4.1). Для
вывода чисел используется четырёх разрядный индикатор, на котором можно
отобразить числа от 0 (все разряды числа
минимальны) до 9999 (все разряды максимальны) — рис. 4.2.
1Докажите эту формулу самостоятельно, например, подсчитав количество всех возможных комбинаций значений цифр в К разрядах.
Не все вещественные числа могут быть представлены в компьютере точно.
ных типа byte, которые занимают всего один байт в памяти. В то же время самое «короткое» вещественное число (типа single) требует четырёх байтов памяти.
Наконец, только для целых чисел определены операции деления нацело и нахождения остатка. В некоторых задачах они удобнее, чем простое деление с получением дробного (к тому же не совсем точного) результата: например, без них не обойтись при вычислении суммы цифр какого-то числа.
Таким образом, для всех величин, которые не могут иметь дробных значений, нужно использовать целочисленные типы данных.
Дискретность представления чисел
Из § 7 вы знаете, что существует непрерывное и дискретное представление информации. Их принципиальное различие состоит в том, что дискретная величина может принимать конечное количество различных значений в заданном интервале, а непрерывная имеет бесконечно много возможных значений. Для нашего обсуждения важно, что:
*целые числа дискретны;
*вещественные( действительные, дробные) числа непрерывны;
*современный компьютер работает только с дискретными данными.
Вопросы и задания
1. Чем отличается компьютерная арифметика от «обычной»? Почему?
2. Почему диапазон чисел в компьютере ограничен? Связано ли это
с двоичностью компьютерной арифметики?
3. Что такое переполнение разрядной сетки?
4. Какие проблемы появляются при ограниченном числе разрядов
в дробной части?
*6.. Может ли антипереполнение сделать невозможными дальнейшие вычисления?
7. Сколько битов информации несет знаковый разряд?
9.Какая математическая операция между двумя целыми числами может дать в результате нецелое число?
10.Чем различается деление для целых и вещественных чисел?
11.Какие преимущества дает разделение в компьютере целых и вещественных (дробных) чисел?
12.Вспомните определение дискретных и непрерывных величин. Какие множества чисел в математике дискретны, а какие – нет? Ответ обоснуйте.
13.Объясните, почему ограниченность разрядов дробной части приводит к нарушению свойства непрерывности.
1 Такие задачи часто даются на школьных олимпиадах по информатике; для них даже придумано специальное название : «длинная» арифметика.
14. Можно ли организовать вычисления с разрядностью, превышающей аппаратную разрядность компьютера? Попробуйте предложить способы решения этой задачи.
Подготовьте сообщение
а) «Проблемы вычислений с вещественными данными»
б) «Длинная арифметика»
Прерывания и особые ситуации: Условия генерации и осбенности обработки SIMD-исключений
В большинстве случаев поведение процессора при обработке SIMD-исключений на 100% совпадает с рекомендациями стандарта ANSI/IEEE 754 (стандарт для двоичной арифметики с плавающей точкой).
Некоторые отличия от стандарта проявляются при инициализированном режиме «сдвига к нулю» (Flush to Zero) и для команд, которые по стандарту, когда исключения не замаскированы, должны генерировать какой-либо результат перед передачей управления в обработчик исключений. Многие из таких команд оставляют все операнды неизменными и не помещают никаких результатов ни в регистры ни в память, обработчик исключения может сам сгенерировать необходимое значение перед продолжением вычислений.
Недействительная операция (#I)
Исключение «недействительная операция» индицируется флагом MXCSR.IE (бит 0). Оно генерируется в самых различных случаях, когда команды используют некорректные или специальные операнды. Если исключение не замаскировано (MXCSR.IM = 0), то вызывается обработчик исключений, и операнды остаются неизмененными. Если же исключение замаскировано, то обычно в качестве результата операции возвращается специальное значение — неопределенность в формате операнда-назначения.
Денормализованный операнд (#D)
Исключение «денормализованный операнд» индицируется флагом MXCSR.DE (бит 1). Оно генерируется при попытке использования денормализованных операндов в арифметических командах ADDPS, SUBPS, MULPS, DIVPS, SQRTPS, MAXPS, MINPS, CMPPS, ADDSS, SUBSS, MULSS, DIVSS, SQRTSS, MAXSS, MINSS, CMPSS, COMISS, UCOMISS.
Если SIMD-исключение «денормализованный операнд» не замаскировано (MXCSR.DM = 0), то при встрече денормализованного операнда устанавливается флаг MXCSR.DE и происходит вызов обработчика исключений (операнды при этом не изменяются).
Если SIMD-исключение «денормализованный операнд» замаскировано (MXCSR.DM = 1), то возвращается округленный результат (но только в том случае, когда этот результат не вызывает других незамаскированных исключений).
Деление на нуль (#Z)
Исключение «деление на нуль» индицируется флагом MXCSR.ZE (бит 2). Оно возникает при делении ненулевого операнда на нуль. Это возможно в командах DIVPS, DIVSS.
Если исключение не замаскировано (MXCSR.ZM = 0), то вызывается обработчик исключения, а исходные операнды остаются неизменными.
Если же исключение замаскировано (MXCSR.ZM = 1), то возвращается бесконечность со знаком равным исключающему ИЛИ (XOR) знаков операндов.
Переполнение (#O)
Исключение «переполнение» индицируется флагом MXCSR.OE (бит 3). Оно генерируется, если результат операции превышает максимально допустимое значение для положительных чисел или минимально допустимое для отрицательных. Это может происходить в командах ADDPS, SUBPS, MULPS, DIVPS, ADDSS, SUBSS, MULSS, DIVSS.
Если SIMD-исключение «переполнение» замаскировано (MXCSR.OM = 1), то при встрече переполнения процессор устанавливает флаги MXCSR.OE, MXCSR.PE и возвращается одно из значений по таблице 3.9.
Таблица 3.9. Значения, возвращаемые, когда SIMD-исключение «переполнение» замаскировано
Если SIMD-исключение «переполнение» не замаскировано (MXCSR.OM = 0), истинный результат вычисляется без ограничения экспоненты (т.е. вычисления внутри процессора идут со значениями иной разрядности, чем это предусмотрено для результата), затем округляется и делится на 2192. Далее процессор устанавливает флаг MXCSR.OE и, в зависимости от полученного результата, флаг исключения точности MXCSR.PE и передает управление обработчику исключений.
Антипереполнение (#U)
Исключение «антипереполнение» индицируется флагом MXCSR.UE (бит 4). Оно может быть вызвано командами ADDPS, SUBPS, MULPS, DIVPS, ADDSS, SUBSS, MULSS, DIVSS, которые выдают очень маленький результат, который из-за своей малости не может быть представлен в формате операнда-назначения без потери точности.
Если SIMD-исключение «антипереполнение» замаскировано (MXCSR.UM = 1), то возвращается денормализованный, нормализованный или нулевой результат, также может генерироваться исключение #P.
Если SIMD-исключение «антипереполнение» не замаскировано (MXCSR.UM = 0), то истинный результат вычисляется без ограничения экспоненты (т.е. вычисления внутри процессора идут со значениями иной разрядности, чем это предусмотрено для результата), затем округляется и умножается на 2192. Далее процессор устанавливает флаг MXCSR.UE и, в зависимости от полученного результата, флаг исключения точности MXCSR.PE и передает управление обработчику исключений.
Неточный результат (#P)
Что опаснее для вычислений переполнение или антипереполнение
Assembler Язык Ассемблера Статьи Низкоуровневое программирование для дZенствующих Уроки Крэкинг DirectX/OpenGL   Оптимизация   Компиляторы   Вирусология   Сеть   Процессоры   Исследование программ Инструментарий Исходники
1. От автора
Начнём с теории: немного почитав, отложим её в сторону, приступив к.
2. Введение
Если представить, что двоичная точка находится после третьего разряда справа, то:
Правило перевода дробной части просто и подобно переводу целой части:
При этом арифметические операции над такой переменной как над целым числом будут давать правильные результаты, если считать, что двоичная точка фиксирована.
Конечно, можно придумать некоторые усложнения, что позволят улучшить ситуацию. Например, можно хранить коэффициент масштаба, на который следует умножить число, чтобы получить его истинное значение. Именно эта идея и положена в основу представления вещественных чисел как чисел «с плавающей точкой».
Интересно будет узнать, что данный способ представления как раз был выбран для FPU, с одной единственной оговоркой. Поскольку числа хранятся в двоичной системе, то, какое ни было бы двоичное число, его можно записать в виде:
Что мы видим? Старший бит мантиссы всегда будет 1. Да, это так, поскольку двоичное число состоит только из 0 и 1, а когда мы отбросим все «левые» нули, то обязательно получим старший бит равным 1. Недолго думая, инженеры Интел решили оставить этот бит «в уме», повысив тем самым точность представления числа. Но теперь мы вплотную подошли к формату хранения чисел с плавающей точкой.
3. Формат хранения чисел с «плавающей точкой»
В случае 128 bits фирме Intel пришлось изобретать ещё один формат «расширенной точности», а по сему выбор 10 байтового формата оказался оптимальным (хотя и недальновидным).
Другой характерной особенностью является знаковый бит S. Как и ожидалось, его единичное значение соответствует знаку «-«, а нулевое «+».
Теперь, когда формат определён, читателю предлагается потренироваться в переводе чисел. Предлагаю два простеньких примера: 0.125 и 0.625. Вы можете усложнить их: 23.125 и 456.625. Свои результаты вы сможете проверить, например, записав результат в переменную dword, и посмотрев под отладчиком число в стеке FPU. Автор настаивает на такой практике, даже если вы не новичок.
4. Особые числа
4.1. Ноль
4.2. Бесконечность
5. Особые ситуации
Продолжая повествование об особых ненормализованных числах, автор подошёл к описанию особых ситуаций. Пока скажем только то, что FPU обладает возможностью отвечать на особенные экстремальные операции особенными «ненормализованными» результатами. «Экстремальной» операцией можно назвать деление на ноль, но мир FPU полон многими другими, имеющими свой математический смысл.
Как ни странно, но данная ситуация является наиболее частой. Например, дробь 1/3 представляется периодической десятичной вида 0.3333333. То же самое наблюдается и в двоичном формате. Следует отметить, что количество «неточно» представляемых дробей для двоичной системы больше, нежели для десятичной.
Более явно эта ситуация проявляется в преобразовании форматов. Например, числа двойной точности в число с одинарной. В большинстве случаев программист может считать, что ситуация «неточного результата» не есть ошибка, и приводит к округлению или усечению результата.
6. Специальные значения
FPU позволяет программисту отреагировать на исключительную ситуацию при помощи двух методов: либо при помощи ловушек (прерываний или исключений*), либо при помощи контроля на образование специальных значений. Здесь мы остановимся на разборе этих специальных значений.
6.1. Случай неточного результата
Случай неточного результата, как правило, попросту приводит к округлению. При этом, по сути, специальное значение не возвращается.
FPU содержит четыре режима округления, управляемого при помощи поля RC регистра управления CR:
На рисунках показаны схематически эти режимы. 
6.2. Численное антипереполнение
1. Если все биты поля порядка равны 0, то
2. мы будем считать, что порядок равен 1
3. а старший бит мантиссы равен не 1, а 0.
* Нельзя забывать, что в формате расширенной точности старший бит мантиссы всё равно равен 1.
Итак, если случай численного антипереполнения замаскирован, и результат слишком мал, чтобы его представить в виде нормализованного значения, FPU формирует денормализованное число. Если же это невозможно, образуется ноль. Такая методика называется плавным переполнением. Она реализована на большинстве современных калькуляторах инженерного типа, и приводит к верному результату. Например:
по правилам должно дать ноль. Но это не обязательно, если бы было реализовано резкое переполнение. Так, например, если a-b вызывает антипереполнение, то в случае резкого переполнения образовался бы ноль, и общий результат получился бы как b. Метод плавного переполнения обеспечивает нужный эффект. Но здесь мы незримо переходим к рассмотрению другого особого случая.
6.3. Особый случай денормализованного операнда
Итак, возвращаясь к предыдущему примеру. В данном случае после вычитания мы имеем денормализованный операнд. Это значит, что операндом следующей операции будет денормализованное число. Именно этот случай и называется случаем денормализованного операнда. Обычно он маскируется и таким образом разрешается использовать в операциях денормализованные числа.
Поскольку при проектировании FPU разработчики стремились обеспечить заданную точность, операции с денормализованным операндом (ами) дают следующие результаты:
1. ноль, если результат слишком мал, чтобы представить его в виде денормализованного операнда.
2. Денормализованный результат, если он достаточно мал, чтобы быть представленным денормализованным числом.
3. Нормализованный результат, если потеря точности при использовании денормализованного операнда меньше, чем потеря точности при ошибке округления (например, произведение большого нормализованного числа и денормализованного).
5. Особый случай недействительной операции, если результат подобен условию 4, но приёмник не имеет расширенной точности.
Правила 1-5 позволяют гарантировать, что все операции с ненормализованными/денормализрованными числами, дают либо ненормализованный результат, либо результат имеет малую потерю точности.
6.4. Деление на ноль (или «на ноль делить возможно»)
*Здесь символом [8] обозначена бесконечность.
Интересней то, что при операциях с бесконечностью FPU даёт математически корректные результаты:
Однако операции с операндами «бесконечность» или «ноль» вызывают особый случай недействительной операции, впрочем, как и попытка деления бесконечности на ноль, либо подобное.
6.5. Режимы сравнения
Проективный режим «скрывает» факт наличия двух бесконечностей и нулей. То есть сравнение бесконечности с числом вызывает особый случай недействительной операции, а сравнение бесконечностей всегда даёт результат: равны. Или: сложение / вычитание бесконечности и числа даёт бесконечность, а вычитание/сложение бесконечностей вызывает снова особый случай недействительной операции.
В современных процессорах программист имеет дело с аффинным режимом, а значит, все операции дают верный, математически корректный результат.
6.6. Численное переполнение
Как и следует ожидать, результатом переполнения есть бесконечность. Однако этого следует ожидать программисту, но не математику. С точки зрения математики такой результат не есть правильный. Но если можно как-то смириться с данным фактом, сложно смириться с «ошибкой знака», которая бывает при переполнении, и зависит от корректности округления. Случай переполнения желательно не маскировать.
6.7. Особый случай недействительной операции
Это самый серьёзный случай из всех, здесь рассмотренных, так как после данной ситуации не может быть вычислений. Из всех рассмотренных ситуаций результатом в таком случае может стать NAN (не число). NAN имеет: поле порядка все биты 1, а поле мантиссы что угодно кроме нуля. Особым NAN числом является неопределенность, которая имеет мантиссу 11 в формате расширенной точности, и 1 в остальных случаях. FPU не даёт нечислу превратиться в число. А поэтому в случае бесконтрольного появления нечисла следует их размножение, что может привести к трудно обнаружимым ошибкам.
7. Далее.
Начнём с теории; немного почитав, отложим её в сторону, приступив к практике. А как лучше попрактиковаться? Нет ничего лучше, чем практиковаться в окне отладчика. Автор надеется, что перед тем как читатель раскроет следующую часть, он ещё почитает об архитектуре FPU. И разберётся в некоторых азах, если этого ещё не сделал.
Значение слова переполнение
Переполнение в словаре кроссвордиста
переполнение
Большой современный толковый словарь русского языка
ср.
1) Процесс действия по знач. глаг.: переполнять, переполнить, переполняться, переполниться.
2) Состояние по знач. глаг.: переполняться, переполниться.
Новый толково-словообразовательный словарь русского языка Ефремовой
Словарь русского языка Лопатина
переполнение ср.
1) Процесс действия по знач. глаг.: переполнять, переполнить, переполняться, переполниться.
2) Состояние по знач. глаг.: переполняться, переполниться.
Толковый словарь Ефремовой
1. Действие по глаг. переполнить-переполнять. Переполнение вагона.
2. Состояние по глаг. переполниться-переполняться. Переполнение желудка.
Толковый словарь русского языка Ушакова
Полный орфографический словарь русского языка
И чудеса, кои происходят с людьми, есть милость, есть деяние милосердия, есть переполнение любовью к твари сердца Господнего!
Или переполнение телевизионного эфира всевозможными клипами, так быстро приевшимися и вызвавшими уже сейчас у многих тоску по своему национальному, отнятому, забытому.
Кроме того, мыслителям наравне с помешанными свойственны: постоянное переполнение мозга кровью (гиперемия), сильный жар в голове и охлаждение конечностей, склонность к острым болезням мозга и слабая чувствительность к голоду и холоду.
Когда она достала его плошку с землей, прося извинения — он ведь был очень занят, а переполнение мочевого пузыря ему вредно, — он посмотрел на нее с брезгливым презрением.
В головном мозге отмечено сильное переполнение кровью, нередко с разрывом сосудов в мозговых оболочках и на поверхности мозговых извилин.
Причиной болезней считал излишества в пище и переполнение вен, поэтому для лечения применял преимущественно диету, кровопускания, слабительные и рвотные средства.
Червь Морриса стал первым сетевым червем, успешно распространившимся «на свободе», и одной из первых известных программ, эксплуатирующих такую уязвимость, как переполнение буфера.
Давит и возрастающая требовательность так называемого слабого пола — как к потенции мужчины, так, и в гораздо большей степени, к его кошельку: давит переполнение телеэфира порнухой; давит медицинская реклама: ты импотент или вот-вот им станешь, внушает она, — кушай наш препаратик, и все будет хоккей. А при этом психологическая образованность наших дам растет медленно и не в ту сторону.
А потом, когда наступало переполнение силой, вы ныряли в волны озера, и купались в нем, уплывая все дальше от водопада.