Что нужно для алгебры в 7 классе
Что нужно для алгебры в 7 классе
Выражения и их преобразования
☑ 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а: 
Степенью числа а с показателем 1 называют само число а: а 1 = а.
Степень числа а ≠ 0 с показателем 0 равна 1: а 0 = 1.
☑ 2. Свойства степеней с натуральными показателями:
а m • а n = а m+n
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
(а m ) n = а mn
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
(ab) n = а n b n
При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена –8а 2 b 4 равна 6.
☑ 4. Многочленом называют сумму одночленов. Например, 3х 5 – 4х 2 + 1, 7a 3 b – ab 2 + ab + 6 —многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена 5х 3 у + 3х 2 у 5 + ху равна степени одночлена 3х 2 у 5 , т. е. равна 7.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
☑ 5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок : если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,
(3аb + 5с 2 ) + (ab – с 2 ) = 3ab + 5с 2 + ab – с 2 = 4аb + 4с 2
При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,
(6x 2 – у) – (2x 2 – 8у) = 6х 2 – у – 2х 2 + 8у = 4х 2 + 7у
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например,
а 2 (3аb – b 3 + 1) = 3а 3 b – а 2 b 3 + а 2
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например,
(5х – 1)(3х + 2) = 15x 2 – Зx + 10x – 2 = 15x 2 + 7x – 2
☑ 6. Формулы сокращённого умножения:
(а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
(а – b) 2 = а 2 – 2аb + b 2
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
(а + b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3ab 2 + b 3
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(а – b) 3 = а 3 – 3а 2 b + Заb 2 – b 3
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(а – b)(а + b) = а 2 – b 2
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
а 3 + b 3 = (а + b)(a 2 – аb + b 2 )
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
а 3 – b 3 = (а – b)(a 2 + ab + b 2 )
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
☑ 7. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов.
Для разложения многочленов на множители применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Например, многочлен 5х 3 – х 2 у можно разложить на множители, вынеся за скобки х 2 :
Многочлен 3х – 3у – ах + ау можно разложить на множители, используя способ группировки:
3х – 3у – ах + ау = (3x – 3у) – (ах – ау) = 3(х – у) – а (х – у) = (х – у)(3 – а).
Многочлен а 4 – 25x 2 можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов двух выражений:
а 4 – 25x 2 = (а 2 ) 2 – (5x) 2 = (а 2 – 5x)(а 2 + 5x).
Иногда многочлен удаётся разложить на множители, применив последовательно несколько способов.
Алгебра 7 класс Все формулы
Уравнения
Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
☑ 9. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Например, уравнения x 2 = 25 и (х + 5)(х – 5) = 0 равносильны. Каждое из них имеет два корня: –5 и 5. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства:
Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней. Например, уравнение 0 • х = 7 не имеет корней.
Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах = b является любое число.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
В уравнении с двумя переменными можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя их знаки, и обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом получаются уравнения, равносильные исходному.
☑ 12. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — числа.
☑ 13. Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
☑ 14. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел х = 7, у = –1 — решение системы 
так как является верным каждое из равенств 7 + (–1) = 6 и 2 • 7 – (–1) = 15.
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
☑ 15. Для решения систем линейных уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения.
При графическом способе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение:
При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом:
При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:
Алгебра 7 класс Все формулы
Функции
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Графиком линейной функции у = kx + b является прямая. Число k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = kx + b.
Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.
Линейную функцию, задаваемую формулой у = kx при k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью.
График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k у = х 2 — парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.
График функции у = х 3 проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.
Статистические характеристики
☑ Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Модой ряда чисел называют число, которое встречается в данном ряду чаще других. Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называют число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называют среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Например, медиана ряда чисел 17, 21, 27, 29, 32, 37, 41 равна 29, а медиана ряда чисел 28, 43, 54, 56, 58, 62 равна 55.
Медианой произвольного ряда чисел называют медиану соответствующего упорядоченного ряда.
Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Вы смотрели Конспект «Алгебра 7 класс Все формулы и определения» — краткий курс алгебры за 7 класс. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского). Выберите дальнейшие действия:
Репетитор по математике 7 класс
Предлагаю Вам новый раздел со справочной, учебно-методической и разъяснительно-рекомендательной информацией, связанной с запросом репетитор по математике 7 класс. Также здесь будут публиковаться мои заметки об особенностях работы с маленькими учениками (пока отдельные части этой страницы находятся в стадии доработки).
Меня всегда интересовало, зачем в поисковых строчках яндекса или гугла к главной фразе репетитор по математике приписывают еще и 7 класс? Можно подумать, что есть такие репетиторы, которые работают только семиклассниками и больше ни с какими другими возрастами. Да, математика 7 класса – это особый этап освоения предмета, с весьма своеобразными подходами к обучению, отличие которых от работы со старшеклассниками видят все, в том числе и преподаватели, которые в силу своего образования таковыми не являются. Но одно дело — чувствовать эту разницу, а другое дело – уметь следовать заложенным в программе 7 класса морально-методическим принципам. Видимо те немногие родители, кого интересует выбор репетитора по математике в 7 классе, осознают всю сложность работы с возрастом 12-13 лет и пытаются получить ответы на какие-то поисковые вопросы. Эта страница как раз для таких мам и пап.
Оценивая потребность в информационной поддержке сочетания «репетитор по математике» в паре с «7 классом», я решил изменить традициям и создать практическую страничку, на которой можно было бы соединить дидактический и методический раздел с заданиями и инструкциями по работе преподавателя в 7 классе. Это тесты, перечень тем, изучаемых семиклассниками по разным программам, советы репетитору по работе с математикой 7 класса, родителям по «уходу» за школьниками в младшем и среднем возрасте и др. Читайте, решайте, оценивайте себя или своего ребенка, его репетитора / школьного преподавателя и обращайтесь за помощью в случае необходимости.
Полезные материалы по математике для 7 класса от репетитора
Мой тест по алгебре за 7 класс (повышенной сложности):
Тест за 7 класс по алгебре (учебник Макарычева)
Если Вы занимались какое-то время с учеником 7 класса самостоятельно или нанимали ему преподавателя, то наверняка знаете, как тяжело запрягать новую телегу под названием «геометрия». Далеко не всем профессиональным репетиторам по математике удается в 7 классе растолковать маленькому ученику азы этого весьма специфического предмета. Чрезвычайно трудно понять логику доказательства простых и очевидных фактов, тех, которые видны невооруженным глазом и понятны без лишних слов. Тем не менее, репетитор по математике должен довести технику до полного ее осознания и принятия. Пожалуй, это главная проблема, с которой приходится сталкиваться репетитору. Я решаю ее через сочетание целого ряда методов и упражнений, направленных не только на разъяснение новых принципов, но и на запоминание типичных для ранней геометрии логических переходов.
Как мне кажется, правильная работа репетитора по математике с 7 классом по геометрии в самом начале ее изучения должна быть направлена запоминание наиболее часто используемых образцов записей, стандартных схем и даже результатов некоторых обосновании. Она позволяет сформировать у ученика ощущение близости новых для него форм и методов. Дело в том, что ребенок понимает и принимает в свой мир только то, что хорошо помнит и с чем регулярно приходится сталкиваться в жизни. А запоминает то, что его окружает с утра до вечера, в чем он живет.
Конечно, наивно предполагать, что репетитору по математике в 7 классе удастся погрузить подопечного в планиметрию «на полную катушку», но максимально заполнить мир новыми понятиями и заданиями необходимо. Именно с таким расчетом подбираются упражнения, способные притянуть школьника, а не отбросить его от предмета. При наделении меня достаточным количеством временем на начальном этапе изучения геометрии я предлагаю своему подопечному множество заданий развивающего вводного плана (переходного типа), для выполнения которых нужно просто что-то нарисовать, перечислить изображенные объекты, обозначить их, сравнить их размеры, сопоставить рисунки с их символикой. Идет отработка таких понятий, как пересечение, принадлежность, уяснение обозначений и относительного расположения нескольких объектов по отношению друг другу. Надо сказать, что чем проще задание, тем сложнее его разрабатывать, подбирать и оформлять. Важно провести работу над запоминанием терминов, ибо математическая речь, которой владеет Ваш репетитор математике 7 класс, для ученика может оказаться не соответствующей его словарному запасу и смысловой привязке к определенным картинкам.
Терминологическая работа чрезвычайно важна, ибо аккуратные с точки зрения точной математики разъяснения репетитора в 7 классе кажутся детям чем-то космически далеким и непонятным. Однако не стоит увлекаться терминами и не стоит превращать занятия в уроки рисования, ибо суть геометрии в ином.
Проблем с математикой 7 класса хватит на целый сайт, и нет смысла перечислять их все на этой странице.
Отличия между программами по математике 5 — 6 класса и 7 класса?
Преподавание математики в 7 классе принципиально отличается от аналогичной работы в 5 классе и даже в недавно оконченном 6 классе. Главным образом это связано с разделением предмета на геометрию (планиметрию) и алгебру, а также необходимостью заниматься формированием некоего универсального инструмента для решения практических, текстовых или геометрических задач в будущем. Речь идут об умении решать уравнения, а позже и неравенства. Поэтому все усилия репетитора по математике в работе с курсом алгебры 7 класса направляются на изучение буквенных выражений. Некоторых детей это сильно ломает, так как за годы учебы в 5 — 6 классах они привыкают к определенным схемам и правилам изучения математики: а именно к работе с отдельными числами и отдельными арифметическими действиями. В 7 классе репетитор пытается заставить ребенка по-иному взглянуть на буквенные записи и научить оценивать результаты вычислений без их непосредственного выполнения. Например, нужно догадаться, что ни одно число не является корнем уравнения 
. Заметим, что 6 классе репетитору не приходится разбирать все варианты ответов линейный уравнений.
Есть несколько качеств и профессиональных навыков, которыми должен обладать преподаватель, работающий с семиклассниками.
Репетитор по математике 7 класс – это:
1) Преподаватель, способный грамотно спланировать разделение уроков на алгебру геометрию
3) Репетитор – психолог.
В 7 классе дети вплотную подходят к тяжелому переходному возрасту 14-15 лет. Не исключены ранние конфликты на почве учебы с родителями и учителями. Репетитор, обладающий определенными психологическими знаниями и способностью убедить ребенка в том, что нужно учиться, как правило, добивается хороших результатов даже в работе с трудными подростками.
Существует целый рад принципиальных изменений при переходе от программ 5 — 6 класса к 7 классу. Вот они:
1) Изменение подходов к решению текстовых задач. Если шестиклассники сочетают арифметические действия с уравнениями (в примерном соотношении 1:1), то в 7 классе для решения текстовых задач используются только одни уравнения. В 8 — 9 классе они будут только усложняться, в связи с чем на репетитора по математике сваливается работа по изучению одночленов и многочленов во всех мыслимых и немыслимых сочетаниях степеней, слагаемых, скобок и алгебраических действий.
2) Резкое снижение доли практических задач в 7 классе. Это является следствием заполнения программы заданиями, направленными на формирования алгебраической базы школьника.
3) Полное обоснование используемых теорем, тождеств, выводов и алгоритмов. Никогда ранее ученик не сталкивался с таой математикой. Для того, чтобы репетитор в 7 классе не испытывал с учеников проблем с доказательствами (выводами), необходима подготовка их восприятию на материале олимпиадных задач для 5 — 6 класса определенного вида. Они имеются копилке материалов любого хорошего репетитора.
4) Ведение целого ряда новых фундаментальных понятий, таких как функция, тождество, система уравнений и др. В геометрии их еще больше.
5) Увеличение объема записей в тетрадях (по геометрии) и количества типовых заданий (по алгебре). Следствием этого является увеличение физической нагрузки ученика. Она может привести к первым протестам и конфликтам с репетитором по математике и родителями.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике для 7 класса.
Сайт то интересный, но я надеялась, что будет объяснение непонятных мне тем по алгебре за 7 класс.
А откуда репетитор по математике знает, какие темы не понимает отдельно взятый посетитель сайта? Для качественного изложения тем и точных пояснений надо иметь полное представление об объеме усвоенной информации, а также скорости и типе мышления слушателя. Без контакта с учеником виртуально активные репетиторы по математике смогут только показывать задачи выборочно и отвечать на вполне конкретные вопросы. Если дела с математикой неважные — советую нанять толкового репетитора для реальных (и регулярных) занятий.
Здравствуйте. не могли бы Вы «поделиться» заданиями повышенной сложности (не олимпиады) по алгебре и геометрии за 7 класс. Сын учиться в сильной гимназии, чтобы тренироваться материала не хватает. А всплывают нетиповые задания только на самостоятельных или контрольных. Спасибо. Если есть методичка или сборник готовы приобрести за денежное вознаграждение. Спасибо.
Можно воспользоваться материалами Ершовой и Голобородько. Вариант «В» как раз усложненный, но не олимпиадный. На самом деле подбор разнообразных содержательных задач для 7 класса — большая проблема, ибо истинная математики только набирает высоту и дети еще многого не знают. Поэтому составители таких упражнений сильно ограничены в средствах. Я уже давно сам составляю задания для 7 класса под конкретных учеников, что позволяет репетитору в 80-90% случаев работать автономно. А когда попадаются интересные задачки — заношу их в свою базу.
Александр Николаевич, добрый день. Как на Ваш взгляд, стоит ли требовать с учеников 7 класса совершенно дословную формулировку теорем по геометрии, или все-таки ученик должен понимать смысл и формулировать грамотно своими словами? Мне кажется, что такие требования преподавателя провоцируют ученика на зубрежку математики, т.к. учитель совершенно не принимает никакого отступления от написанного в учебнике. И еще, задаете ли Вы домашнее задание ученикам 7 класса или достаточно проработки материала с репетитором по математике непосредственно на занятии? Нагрузка все-таки сильно увеличится. Заранее благодарю Вас за ответ.
Здравствуйте, Наталия! Ох, какой интересный вопрос задали. Хоть статью пиши. Отвечу вкратце. По моему мнению — нет, не должен. Правда все измеряется степенью искажений. Даже в разных учебниках встречаются немного разные формулировки. Если смысл передается и с русским языком все в норме — пожалуйста. Чаще всего, конечно, дети либо двух слов связать не могут (математическая речь не поставлена), либо недопустимо коверкают. Надо смотреть как именно Ваш ученик излагает. Но я понимаю и преподавателей. Им важно чтобы в классе звучала какая то одна форма. Если потребовать ее читать «слово в слово», то при ответах учеников у доски или с места увеличится частота правильного прочтения. Формулировка лучше отложится в голове. Но это в школе. Если Вы ходите к репетитору по математике, проблема уходит, ибо не нужно вещать на весь класс. Хороший репетитор должен сам несколько раз в течение урока проговорить формулировку в правильной форме. К сожалению, по опыту опроса приходящих ко мне школьников, далеко не все репетиторы выкладываются на уроке. Конечно, уже через час говорильни язык отваливается. Постановкой математической речи вообще редко кто специально занимается. Отсюда одно мычание или молчание у детей (даже если понимают и умеют применять теоремы). По поводу домашних — задаю обязательно. Но у меня выверенные задания. Они так выбираются, чтобы не перегружать ребенка. Часто с готовыми рисунками даю листочки. И потом старюсь добиваться полного понимания темы на уроке, а домашнее мое, при большой загрузки ученика, ставит целью не отшлифовать какое то умение (это можно и школе доверить), а распознать глубину и проблемы владения тем или иным навыком по прошествии какого то времени. Вопрос тонкий, ибо все индивидуально. С одним учеником репетитор по математике, если это толковый специалист, работает по одному сценарию, а с другим несколько по иному. Но вообще, если делать ставку на математику, то лучше бы сократить до минимального все кружки, секции и прочую развлекуху, ибо для высокого уровня владения математикой требуется погружение в нее с головой. Если Вы на это готовы — задания будут более массивными. Но они опять же направлены не на натаскивание, а на развитие навыка справляться с самым широким спектром и уровнем заданий. Я больше учу ребенка думать, анализировать, сканировать задачу, сопоставлять ее с уже решенными. В двух словах не расскажешь, но мои объяснения или демонстрации всегда так построены, чтобы уже на этапе знакомства с новым снизить потребность в отработке простейших операций. Ученику становятся очевидными простейшие вещи и можно сразу двигаться вперед.
Здравствуйте! Как мотивировать ребёнка на занятия математикой?
Здравствуйте, Татьяна! Мотивация — это очень сложный момент на уроках с репетитором. Все очень индивидуально, ибо многое зависит от того, чем ученик живет и что ему нравится делать вне учебы. Важнейшая роль отводится демонстрациям репетитора примеров практического использования математики. Зайдите епо ссылке на соответствующую страничку.Также Вы можете прочитать мою статью относительно мотивации: как пробудить интерес к математике