В цепи, содержащей индуктивность L и ёмкость С, могут возникать электрические колебания. Такая цепь называется колебательным контуром (рис. 4.1).

Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток (например включив магнитное поле).

Поскольку активное сопротивление контура , полная энергия остаётся постоянной. Если энергия конденсатора равна нулю, то энергия магнитного поля максимальна, и наоборот. Рассмотрим процессы, происходящие в колебательном контуре, в сравнении с колебаниями маятника (рис. 4.2).

Ниже мы увидим, что эта аналогия сохраняется и в математических уравнениях. В соответствии со вторым законом Кирхгофа (и законом сохранения энергии), можно записать:

Но, т.к. тогда получим .

Введем обозначение: – собственная частота контура, отсюда получим основное уравнение колебаний в контуре:

Решением этого уравнения является выражение вида

Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с собственной частотой контура ω₀.

Для периода колебаний справедлива формула Томсона:

,

Продифференцируем (4.2.3) по времени и получим выражение для тока:

Напряжение на конденсаторе отличается от заряда на 1/С:

Таким образом, ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. На индуктивности, наоборот, напряжение опережает ток на π/2.

где – волновое сопротивление [Ом].

Выражение (4.2.7) – это закон Ома для колебательного контура.

Источник

Свободные колебания в контуре

Если переключатель П поставить в положение 1, то конденсатор С зарядится от источника питания до напряжения U. После перевода переключателя в положение 2 конденсатор С начнет разряжаться через катушку L.

Ток в контуре постепенно достигает максимального значения, так как в индуктивности возникает э. д. с. самоиндукции. Согласно закону Ленца, эта э. д. с. при увеличении тока имеет противоположное ему направление. Спустя некоторое время t1 ( рис. 98,6 ) вся первоначально запасенная энергия электрического поля конденсатора перейдет в энергию магнитного поля катушки.

Рис. 98. Свободные колебания в контуре : а — схема, поясняющая свободные колебания; б — график свободных колебаний в идеальном контуре; в — график свободных колебаний в реальном контуре.

Исходя из этой закономерности, можно написать следующее равенство:

Подставив вместо U его значение, равное и преобразовав полученное уравнение, получим формулу, определяющую частоту свободных колебаний в идеальном контуре :

(140)

Частоту ƒ, угловую частоту ω = 2πƒ и период свободных колебаний Т в идеальном контуре обычно обозначают с индексом «нуль»:

	(141)
	(142)
	(143)

Во всех этих формулах L — выражено в генри, С — в фарадах, ƒ 0 — в герцах, Т 0 — в секундах.

Частота и период свободных (собственных) колебаний в контуре определяются его полной индуктивностью и полной емкостью.

Если ключ К разомкнуть, то в контуре будут иметь место активные потери. В том реальном случае, когда эти активные потери в контуре меньше 2√L/C, колебания в контуре окажутся затухающими ( рис. 98, в ). В течение каждого периода колебаний часть первоначально запасенной энергии будет безвозвратно теряться в активном сопротивлении контура. Аналитически ток в колебательном контуре выражается следующей формулой:

(144)

— амплитуда тока в контуре при t=0; е —δt — множитель, учитывающий уменьшение первоначальной амплитуды с течением времени; е — основание натуральных логарифмов; — коэффициент затухания; — волновое сопротивление контура.

Изменение амплитуды тока или напряжения в процессе затухания колебаний за полный период характеризуется логарифмическим декрементом затухания ϑ

(145)

С достаточной для практики точностью угловую частоту затухающих колебаний ω 0 можно рассчитывать по формуле ω 0 = 1/√LC, справедливой для идеального контура. Если воспользоваться формулой (144), то легко прийти к выводу, что амплитуда тока в контуре окажется равной нулю только через бесконечно долгое время. Действительно, множитель е —δt теоретически будет равен нулю при t = ∞. Условно считают, что колебательный процесс в контуре закончится, когда первоначальная амплитуда тока в контуре уменьшится в 100 раз. Тогда можно написать очевидное равенство

где t к — продолжительность колебательного процесса в контуре.

(146)

(147)

Отношение волнового сопротивления р к сопротивлению потерь R в контуре является для данного контура величиной постоянной. Оно обозначается буквой Q и называется добротностью контура:

(148)

Величина, обратная добротности, называется затуханием контура и обозначается буквой d. Затухание контура численно равно логарифмическому декременту затухания, уменьшенному в π раз:

(149)

Добротность, или затухание, является очень важным параметром, характеризующим качество колебательного контура и отдельных его элементов.

Источник

Как сказал.

Вопросы к экзамену

Для всех групп технического профиля

Список лекций по физике за 1,2 семестр

Я учу детей тому, как надо учиться

Часто сталкиваюсь с тем, что дети не верят в то, что могут учиться и научиться, считают, что учиться очень трудно.

Урок 42. Свободные электромагнитные колебания

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания.

Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения заряда, силы тока и напряжения.

Свободными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Вынужденными называются колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы

Свободные электромагнитные колебания – это периодически повторяющиеся изменения электромагнитных величин (q – электрический заряд, I – сила тока, U – разность потенциалов), происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур или колебательный контур.

Колебательный контур – это система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C, катушки индуктивности L и проводника с сопротивлением R

Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из индуктивности L и емкости С.

Свободные электромагнитные колебания можно наблюдать на экране осциллографа.

Как видно из графика колебаний, полученного на осцилографе, свободные электромагнитные колебания являются затухающими, т.е.их амплитуда уменьшается с течением времени. Это происходит потому, что часть электрической энергии на активном сопротивлении R превращается во внутреннюю энерги. проводника (проводник нагревается при прохождении по нему электрического тока).

Рассмотрим, как происходят колебания в колебательном контуре и какие изменения энергии при этом происходят. Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0).

Если зарядить конденсатор до напряжения U₀ то в начальный момент времени t₁=0 на обкладках конденсатора установятся амплитудные значения напряжения U₀ и заряда q₀ = CU₀.

Полная энергия W системы равна энергии электрического поля W_эл:

Если цепь замыкают, то начинает течь ток. В контуре возникает э.д.с. самоиндукции

Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно (так как, согламно правилу Ленца, возникающий индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван. Т.е. магнитное поле индукционного тока не дает мгновенно увеличиться магнитному потоку тока в контуре). При этом ток увеличивается постепенно, достигая своего максимального значения I₀ в момент времени t₂=T/4, а заряд на конденсаторе становится равным нулю.

По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля. Полная энергия контура после разрядки конденсатора равна энергии магнитного поля W_м:

В следующий момент времени ток течет в том же направлении, уменьшаясь до нуля, что вызывает перезарядку конденсатора. Ток не прекращается мгновенно после разрядки конденсатора вследствии самоиндукции (теперь магнитное поле индукционного тока не дает магнитному потоку тока в контуре мгновенно уменьшиться). В момент времени t₃=T/2 заряд конденсатора опять максимален и равен первоначальному заряду q = q₀, напряжение тоже равно первоначальному U = U₀, а ток в контуре равен нулю I = 0.

Затем конденсатор снова разряжается, ток через индуктивность течёт в обратном направлении. Через промежуток времени Т система приходит в исходное состояние. Завершается полное колебание, процесс повторяется.

График изменения заряда и силы тока при свободных электромагнитных колебаниях в контуре показывает, что колебания силы тока отстают от колебаний заряда на π/2.

В любой момент времени полная энергия:

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W_э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W_м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается постоянной.

Свободные электрические колебания аналогичны механическим колебаниям. На рисунке приведены графики изменения заряда q(t) конденсатора и смещения x(t) груза от положения равновесия, а также графики тока I(t) и скорости груза υ(t) за один период колебаний.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний и период колебаний — формула Томпсона

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.

Для колебаний заряда, напряжения и силы тока получаются формулы:

Для катушки индуктивности:

Вспомомним основные характеристики колебательного движения :

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →