Что не является тождеством

Тождества, определение, обозначение, примеры.

Эта статья дает начальное представление о тождествах. Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.

Навигация по странице.

Что такое тождество?

Логично начать изложение материала с определения тождества. В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:

Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.

При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ. Определение становится таким:

Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.

Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.

Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.

Знак тождества

Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства.

Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.

Примеры тождеств

Пришло время привести примеры тождеств. В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.

Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .

Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.

Источник

Тождественные преобразования

Что такое тождественные преобразования

Тождество — это равенство, выполняемое на всем множестве значений переменных, которые в него включены.

К примеру, тождествами являются, в том числе, квадратные выражения:

a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

В рассмотренных выражениях любые значения a и b обращают их в верные равенства, что полезно знать при решении примеров.

Тождественно равными выражениями называют такие два выражения, которые обладают равными значениями при всех значениях переменных.

Данное равенство существует только в том случае, когда:

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является верным при любом из значений переменных. Уравнение же верно лишь в том случае, когда имеется одно или несколько значений переменных.

В этом случае тождество не включает в себя переменные.

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) представляет собой замену одних выражений на другие, которые тождественно равны между собой.

Данное объяснение преобразований позволяет значительно упростить решение задач. К примеру, для этого используют законы сокращенного умножения, арифметические свойства и другие тождества.

Рассмотрим конкретный пример:

Выполним работу по тождественным преобразованиям этой дроби:

x 3 – x x 2 – x = x ( x 2 – 1 ) x – 1 = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x ( x – 1 ) = x + 1

x 3 – x x 2 – x = x + 1

Доказательство тождеств

В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:

В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:

x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x

x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x

Заметим, что можно сократить х :

( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1

Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1

Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:

x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0

Упростим вычисления с помощью сокращения х :

Данное равенство не является тождеством.

Примеры тождеств

Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.

От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:

От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:

Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:

При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:

a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )

Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:

a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )

Приведем примеры таких тождественных преобразований:

15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )

6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11

При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:

( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e

Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:

( a + b ) × e = ( c + d ) × e

( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e

Запишем несколько примеров:

35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4

42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12

Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:

Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:

Рассмотрим примеры тождественных преобразований:

Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:

Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:

14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65

20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.

Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:

117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38

22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14

18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6

Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.

3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )

28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )

31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )

В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.

Примеры тождественных преобразований:

( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225

Источник

Основные законы логики

Логика — это раздел философии. Он представляет собой науку о формах и законах правильного мышления. Закон логики — необходимая связь между логическими формами в процессе построения последовательного рассуждения. Цель его состоит в формулировании правил и рекомендаций, с помощью которых можно найти путь к истине. Это не законы самого окружающего мира, а правила мышления о нём.

Аристотель, который создал классификацию свойств бытия, всесторонне определяющих субъект, впервые сформулировал три из четырёх логических законов и подразумевал под этим предпосылку для объективной связи мыслей в процессе размышления. Основными в формальной логике считаются законы:

Без этого закона невозможно установить, что такое логическое следование, и понять смысл доказательства.

Логический принцип тождественности

Тождество — это примерное равенство, сходство объектов по какому-либо показателю. Принцип (синоним слова закон) его — один из основных логических законов формальной логики как науки, в соответствии с которым в процессе размышления любое суждение должно оставаться тождественными самому себе.

Аристотель формулировал это положение так: «Иметь не одно значение — значит, не иметь ни одного значения». В виде формулы этот принцип записывается следующим образом: А есть А или А = А, где А — мысль, которая может быть любой. На этом законе основаны многие положения логики. Например, следующие:

Нарушение закона тождества — пример, который привёл к логической ошибке. Ученик на уроке спрашивает учителя: «Можно наказывать человека за то, чего он не сделал?». «Конечно, нельзя», — отвечает учитель. «В таком случае не наказывайте меня, — говорит ученик, — я не сделал домашнюю работу». В этом диалоге нарушен логический принцип тождества, так как понятие «не сделал» применяется в разных значениях:

Получилось, что в одно и то же понятие было вложено два различных смысла. Нарушение закона может выражаться в следующих формах:

Нарушение закона тождества ведёт к неясности мысли, что совершенно недопустимо во многих областях, например, в юриспруденции. Неточное определение или неправильно истолкованное понятие в сфере права способствует появлению беззакония и произвола, поэтому в процессе мышления принцип тождественности выступает в виде важного правила.

Этот закон вводит требование об отсутствии в ходе размышлений подмены или смешения мысли об объекте или замены предмета мысли. Нужно учитывать, что даже в законодательных актах часто попадаются двусмысленности, а это обязательно приводит к разночтениям в истолковании и неоднозначности в применении.

Виды преобразований

Тождеством в математике называется равенство, которое верно при всех значениях, входящих в него переменных для различных классов функций. Значение этого слова — полное сходство, подобие объектов, явлений друг другу или самим себе. К тождествам можно отнести:

Тождество Эйлера — e iπ + 1 = 0 — часто приводят как пример феноменального результата, который устанавливает неочевидную зависимость между геометрией (число пи) и математическим анализом (экспонента). Формула связывает пять фундаментальных математических констант:

Тождественным преобразованием называются операции, которые проводятся для замены исходного выражения на тождественно равное. Например, x 3 — xy 2 = x (x — y)(x + y) — это тождество, так как вынесение за скобки общего множителя и применение формул сокращённого умножения являются тождественными преобразованиями. Для демонстрации подставим вместо переменных x и y произвольные значения. Пусть x = 5; y = 4. Получим слева: 125 — 5 x 16 = 45, справа 5 (5 — 4)(5 + 4) = 45. Совпадение обеих частей равенства доказывает тождественность.

Способы доказательства

Равенство и тождество, которое относится к предельному случаю равенства, — это термины, используемые в математике при решении уравнений. Для доказательства тождества нужно сделать тождественные преобразования выражений в одной или обеих частях равенства и получить одинаковые результаты. При выполнении преобразований необходимо обращать внимание на область допустимых значений (ОДЗ) переменных. Эти операции могут суживать ОДЗ или оставлять её прежней.

При переходе от выражения x + (-y) к выражению (x — y) область допустимых значений переменных x и y будет прежняя. Переход от выражения (x — 5) к отношению (x — 5) 2 / (x — 5) приводит к сужению ОДЗ переменной x от (-ꚙ, +ꚙ) до (-ꚙ, 5) U (5, +ꚙ). Способы доказательства:

В теории множеств для доказательства тождественности часто используются круги или диаграммы Эйлера.

В них графическими методами наглядно можно представить различные операции над множествами: пересечение, объединение, разность, симметрическую разность. Существуют методы построения пересекающихся кругов Эйлера для любого выражения онлайн. Это тоже упрощает доказательство тождественности.

Чтобы доказать нетождественность двух частей выражения, требуется найти хотя бы одно значение переменной из области допустимых значений. При ее подстановке числовые выражения частей получатся неравными друг другу. Разница между уравнением и тождеством заключается в том, что первое может быть выполнено только при некоторых значениях переменных, которые будут его решением, а второе — при всех значениях.

Тождество — это многозначный термин, применяемый в философии, математике, физике. Понятие тождественности уникально по охвату им различной проблематики. С ним сталкиваются и школьники на уроках алгебры и геометрии, и крупные учёные при проведении многочисленных исследований в современной науке.

Источник

Тождество

Полезное

Смотреть что такое «Тождество» в других словарях:

Тождество — Тождество ♦ Identité Совпадение, свойство быть таким же. Таким же, как что? Таким же, как такое же, иначе это будет уже не тождество. Таким образом, тождество есть в первую очередь отношение себя к себе (мое тождество это и есть я сам) либо … Философский словарь Спонвиля

ТОЖДЕСТВО — понятие, выражающее предельный случай равенства объектов, когда не только все родовидовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Совпадение родовидовых свойств (сходство), вообще говоря, не ограничивает числа приравниваемых… … Философская энциклопедия

тождество — См … Словарь синонимов

ТОЖДЕСТВО — отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как одно и то же ; предельный случай отношения равенства. В математике тождество это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для… … Большой Энциклопедический словарь

тождество — ТОЖДЕСТВО, а и ТОЖЕСТВО, а, ср. 1. Полное сходство, совпадение. Т. взглядов. 2. (тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. | прил. тождественный, ая, ое и тожественный, ая, ое (к 1… … Толковый словарь Ожегова

тождество — ТОЖДЕСТВО понятие, обычно представленное в естественном языке либо в форме «я (есть) то же, что и Ь >, или «а тождественно Ь», что может быть символизировано как «а = Ь» (такое утверждение обычно называют абсолютным Т.), либо в форме… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

тождество — (неправильно тождество) и устарелое тожество (сохраняется в речи математиков, физиков) … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

ТОЖДЕСТВО — и РАЗЛИЧИЕ две взаимосвязанные категории философии и логики. При определении понятий Т. и Р. используют два фундаментальных принципа: принцип индивидуации и принцип Т. неразличимых. Согласно принципу индивидуации, который был содержательно развит … История Философии: Энциклопедия

ТОЖДЕСТВО — англ. identity; нем. Identitat. 1. В математике уравнение, справедливое при всех допустимых значениях аргументов. 2. Предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Antinazi.… … Энциклопедия социологии

ТОЖДЕСТВО — (обозначение ≡) (identity, symbol ≡) Уравнение, являющееся истинным при любых значениях входящих в него переменных. Так, z ≡ х + y означает, что z всегда сумма х и y. Многие экономисты порой не последовательны и используют обычный знак даже тогда … Экономический словарь

Источник

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Источник