Что не является шагом нахождения экстремума функции двух переменных

Условные экстремумы и функция Лагранжа

В задачах оптимизации возникает необходимость найти экстремумы функции двух и более переменных при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением . В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум.

Для того чтобы найти условный экстремум требуется находить частные производные и решать системы уравнений Существует алгоритм нахождения условного экстремума из трёх шагов, который сейчас и разберём на примере, и геометрический смысл условного экстремума, который должен дойти до каждого при разборе этого самого примера.

Шаг 1. Вводится функция Лагранжа

,

Пример 1. Найти условные экстремумы функции двух переменных , выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии , означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100.

Шаг 1. Решение. Приведём уравнение условия связи к требуемому виду с нулём в правой части:

.

Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравения условия связи (необходимый признак существования условного экстремума):

Решение. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значение множителя Лагранжа:

Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции:

Получили и . Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку .

Шаг 3. Пусть является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжа

и в полученном выражении подставить вместо «лямбды» её значения (значения множителя Лагранжа), найденные на шаге 2.

Если значение второго дифференциала функции Лагранжа меньше нуля (), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля (), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам.

Координаты стационарных точек подставляются в исходную точку и, таким образом, мы окончательно находим условные экстремумы (или минимум и максимум или что-то одно из этих экстремумом).

Решение. Найдём второй дифференциал функции Лагранжа:

В нашем случае, так как первое и третье составляющие равны нулю, нам не придётся подставлять в них значения множителя Лагранжа. Зато нужно найти отношения между дифференциалами dx и dy :

Теперь можем найти значение условного экстремума исходной функции, являющееся максимумом:

.

Это заданная исходной функцией максимальная площадь прямоугольника, который можно ограничить верёвкой, длина которой равна 100.

Пример 2. Найти условные экстремумы функции двух переменных при условии .

Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значения множителя Лагранжа:

Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции при двух значениях множителя Лагранжа:

Эти значения икса и игрека являются координатами двух стационарных точек. Таким образом, получили стационарные точки .

Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:

:

Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле

:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точка — точка условного максимума:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, большее нуля, следовательно, точка — точка условного минимума:

.

Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.

Пример 3. Найти условные экстремумы функции двух переменных при условии .

Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Получаем, что , однако подстановка этих значений переменных в третье уравнение системы не даёт верного равенства. Поэтому считаем, что на самом деле второй сомножитель равенства равен нулю: . Отсюда получаем

Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа . Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что . Из третьего уравнения системы получаем:

Получили две стационарные точки:

Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа . Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что .

На основании вычислений двух первых стационарных точек получилаем ещё две стационарные точки:

Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:

:

Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле

:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точки — точки условного максимума:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, большее нуля, следовательно, точки — точки условного минимума:

.

Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.

Аналогичным образом можно находить условные экстремумы функций трёх и более переменных.

Источник

Экстремум функций двух переменных

Экстремум функций двух переменных

Для заданной области O приведем функцию двух переменных z = f (x, y). Представлены следующие дистрибутивы: Определение Функция двух переменных z = f (x, y) = f (P), если существует окрестность этой точки, для каждой точки P (x \ y) в этой окрестности точка P0 в области G (X0 \ y0) — максимум. Неравенства кроме P0 f (Po)> f (P).

Рассматривайте эти понятия только тогда, когда они применяются к функциям двух переменных. Людмила Фирмаль

Примеры решения и задачи с методическими указаниями

Однако есть важные моменты, которые не являются крайними. Например, функция z = f (x, y) =. Подумай о Xy. Первая частная производная этой функции Этот момент важен, потому что он исчезает в точке Po (0 \ 0). Однако функция r-xy не имеет экстремального значения. Фактически z (P0) = 0, но в любой окрестности точки Yao (0; 0) имеются как положительные (точки, принадлежащие I и III четвертям), так и отрицательные (точки, принадлежащие II и IV четвертям) функция

Из вышесказанного, крайние точки функции включены в важные моменты. Людмила Фирмаль

Рассмотренный пример показывает, что необходимых признаков существования экстремальных значений недостаточно. Достаточное условие существования экстремального значения в критической точке P0 (* 0> Yo) заключается в следующем. A (P0) = (P0) • (P0) — \ f «xy (P0)] *> 0, к.т. Кроме того, если fx * (P0) 0, существует минимальная точка. состояние A (Rao) = (Po) ‘U (po) — [fxy (P0) Y

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

5.8. Экстремум функции многих переменных

Рассмотрим вопрос анализа «в статике» с использованием положений линейной алгебры и дифференциального исчисления, а также условий, которые позволяют идентифицировать точки оптимума. Такие условия используются для проверки выбранных точек и дают возможность выяснить, являются ли точки точками минимума, максимума или седловыми точками.

Определение. Экстремумом функции двух переменных называется её максимальное или минимальное значение на заданном множестве изменения переменных.

Экстремумы и методы их нахождения имеют широкое применение в экономических исследованиях, при выборе наилучших вариантов инвестиций, производственных программ, вложения денег в покупки и т. п.

Определение. Значение функции F(M) в точке М0 называется Максимумом (минимумом), если оно является набольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках:

.

Пример 53. На рис. 37 представлен график функции двух переменных, точка М0(5, 8), в которой достигается максимум функции, окрестность точки М0(5, 8), максимальное значение функции F(X, Y), равное F(5, 8); на рис. 38 – график функции точка М0(4, 9), в которой достигается минимум функции, окрестность точки М0(4, 9), минимальное значение функции F(4, 9).

Из определения экстремума функции видно, что понятие экстремума является локальным. Другими словами, можно сказать, что приведенное определение экстремума является определением локального экстремума, функция может иметь несколько локальных максимумов или минимумов. Ясно, что при нахождении лучшего решения следует ориентироваться на наибольший из локальных максимумов, если ищется наибольшее значение функции, и на наименьший из локальных минимумов, если ищется наименьшее значение функции.

Определение. Наибольшая величина из локальных максимумов называется Глобальным максимумом, наименьший из локальных минимумов – Глобальным минимумом.

Задача нахождения локальных экстремумов, а тем более глобальных, для функции нескольких переменных является достаточно трудной, в общем случае для произвольного числа переменных практически неразрешимой. Для выпуклых функций разработаны специальные методы нахождения экстремумов.

Замечание. Любой локальный экстремум выпуклой функции является глобальным.

Определение. Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Такие точки называются Критическими.

Замечание. Это необходимые условия экстремума, но недостаточные, они могут выполняться и в точках, где нет экстремума.

Это определение дает схему нахождения экстремальных точек. Составляется система уравнений относительно переменных Х и У:

Решение системы представляет собой пары (х0, у0), (х1, у1) и т. д., которые называются точками «подозрительными» на экстремум, т. е., если функция имеет экстремумы, то они могут достигаться только в этих точках. Для определения, достигается ли в каждой из найденных точек максимальное (минимальное) значение или в рассматриваемой точке нет экстремума, требуется проведение дополнительных исследований.

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, получаем систему уравнений:

Решение этой системы очевидно: Х = 0, у = 1. Поскольку Z  0 при всех Х, у, то ясно, что найденная точка (0, 1) есть точка минимума.

Решение. Найдем частные производные и приравняем их к нулю:

Точка (0, 0) является «подозрительной». Однако экстремума функция в этой точке не имеет, так как в любой окрестности этой точки она принимает значения разных знаков, а в самой точке (0, 0) значение функции равно нулю.

Рассмотрим Достаточные условия экстремума для функции двух переменных.

Пусть функция z = f(x, y) непрерывна со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой окрестности точки М(х0, у0). Пусть в этой точке выполнены необходимые условия экстремума:

В этой точке пусть вычислены частные производные второго порядка.

Тогда Достаточные условия максимума и минимума имеют вид:

2) если D 0, при этом А = 6 > 0 и, следовательно, в точке М1 – минимум.

Пример 57. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Ищем критические точки:

Находим М0(1, 0) и М1(-1, 0). Эти точки принадлежат области определения исследуемой функции: - 1, то> 0. Здесь оказалось, что вблизи точки М разность Не сохраняет знака, вследствие чего в точке М нет экстремума.

Замечание. Для функций с числом переменных больше двух достаточные условия экстремума имеют сложный вид и требуют глубоких знаний по математическому анализу

Пример 59. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Ищем критические точки:

Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях X, Y, Z; они не существуют (обращаются в бесконечность) в точке М(0, 0, 0). Эта точка лежит внутри области определения функции W, которая представляет совокупность всех точек (X, Y, Z) пространства. Поэтому М(0, 0, 0) критическая точка.

Исследуя знак разности Вблизи точки М, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях Х, Y, Z она сохраняет положительный знак. Поэтому М есть точка минимума,

1. Дайте определение функции многих переменных.

2. Приведите примеры функций многих переменных, используемых в экономике.

3. Что называется графиком функции двух переменных? Приведите примеры.

4. Сформулируйте определение множества (линии) уровня функции двух переменных. Может ли множество уровня функции двух переменных не быть линией?

5. Опишите взаимосвязь между градиентом функции двух переменных и ее линией уровня.

6. Перечислите основные свойства градиента функции.

7. Дайте определение возрастающей (убывающей) функции многих переменных.

8. В каком случае функция является вогнутой?

9. Всегда ли локальный экстремум выпуклой функции является глобальным?

10. Дайте определение экстремума функции двух переменных.

11. Сформулируйте достаточные условия максимума и минимума функции двух переменных.

Источник

Экстремум функции многих переменных

Содержание:

Экстремум функции многих переменных

Матрица вида (5.13) называется матрицей Гесса.

где ε → 0, когда

Очевидно, что точка X 0 является точкой максимума, если Аналогично, точка X 0 является точкой минимума, если

Это в свою очередь зависит от значения квадратичной формы:

Для характеристики знака этой суммы используем матрицу Гесса, которая была введена раньше. Теперь сформулируем условия положительной (отрицательной) определенности матрицы Гесса. Для этого введем понятие главных миноров матрицы H (X 0 ).

Определение 6. Минор, расположенный на пересечении первых k строк и k столбцов матрицы называется главным минором k-го порядка.

Например:

Случай экстремума функции двух переменных z = f (x, y) является частным случаем экстремума функции многих переменных.

Условный экстремум функции многих переменных

Данные последнего столбика таблицы подставляем в нормальную систему уравнений.

Пример 1. Дана таблица

Найти коэффициенты прямолинейной связи между x и y.

Решение. Строим расширенную таблицу.

По таблице составляем систему уравнений при n = 5:

Домножим второе уравнение на (-1; 6) и добавим к первому. Получим:

Ответ: y = 1,96 x + 1,06.

Построение эмпирических формул в случае нелинейной зависимости

Параболическая зависимость

Пусть зависимость между переменными величинами задается формулой y = ax 2 + bx + c. Такая зависимость называется параболической. Воспользуемся методом наименьших квадратов для нахождения коэффициентов a, b, c.

Допустим, что нам задана эмпирическая таблица, по которой строим рисунок (рис. 13).

По аналогии с линейной зависимостью рассмотрим сумму квадратов невязок:

Подставив вместо δ_i их значение в F (a, b, c), получим:

Наложим требование, чтобы функция F (a, b, c) достигла минимума, и запишем необходимое условие существования экстремума:

Расписав систему уравнений в развернутом виде и выполнив соответствующие элементарные преобразования, получим нормальную систему уравнений для случая параболической зависимости:

Нелинейные зависимости, сводящиеся к линейным. Гиперболическая зависимость

Пусть зависимость между переменными x и y, которые заданы эмпирической таблицей, задается формулой

Такая зависимость называется гиперболической. Выполним преобразование переменных:

Введем новые обозначения:
Тогда исходное уравнение можно записать в виде:

Очевидно, что зависимость между переменными величинами и является линейной. Нужно найти значение а₁ и b₁. Для этого составим новую эмпирическую таблицу.

Для этой эмпирической таблицы составим нормальную систему уравнений для а₁ и b₁. Получим:

Найдя из этой системы значение а₁ и b₁, находим соответствующие значения a и b:

Показательная зависимость

Предположим, что зависимость между x и y задана формулой y = Be kx , то есть связь заданный с помощью показательной функции. Нужно найти коэффициенты B и k.

Прологарифмируем выражение y = Be kx при основании e, получим: ln y = lnB + kx. Введя обозначения b = ln B, получим следующую зависимость: . Для нахождения k и B можно воспользоваться нормальной системой уравнений, перейдя предварительно к новой эмпирической таблице.

Тогда B находим по формуле B = e b , найденные значения B и k подставим в исходную формулу.

Cтепенная зависимость

Пусть переменные x и y связаны формулой y = Bx k . Прологарифмируем эту функцию (при x > 0): ln y = ln B + k ln x. Введя новые обозначения b = lnB, снова приходим к линейной зависимости .
Чтобы воспользоваться нормальной системой уравнений для нахождения k и b, составляем новую эмпирическую таблицу.

Из нормальной системы находим k и b, затем находим B и полученные значения подставляем в формулу y = Bx k .

Пример 2. По данной эмпирической таблицей найти гиперболическую зависимость между x и y:

Решение. Сделав соответствующие обозначения, получим формулу . Составляем новую расширенную эмпирическую таблицу для и .

Для нахождения a₁ и b₁ решаем систему уравнений:

Тогда

Таким образом получаем:

Пример 3. Задана эмпирическая таблица:

Найти связь между x и y по формуле y = Be kx .

Решение. Согласно теории после введения новых обозначений зависимость между и будет выглядеть так: Создаем расширенную эмпирическую таблицу для и :

При составлении таблицы используем формулу ln (x ⋅ 10 p ) = ln x + p ln 10, значение ln x берем из соответствующих логарифмических таблиц, а ln 10 = 2,3026. Записываем нормальную систему уравнений для нахождения коэффициентов прямолинейной зависимости:

По логарифмической таблицами имеем B = e 0,723 ≈ 2,07.
Ответ: y = 2,07 e 0,985 x .

Пример 4. В таблице заданы расход топлива на 100 км (y) в зависимости от пробега автомобиля (x) тыс. км.

Выбрать вид зависимости между x и y и определить параметры этой зависимости.

Решение. Анализ показывает, что зависимость между величинами x и y параболическая, то есть y = ax 2 + bx + c.
Выписываем расширенную таблицу:

Составляем систему уравнений:

Таким образом, получим: y = 0,04 x 2 – 1,15 x + 31,54.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник