Поверхности вращения в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Поверхностей вращения существует множество: цилиндр, конус, сфера, эллипсоиды, торы и др. Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, описываемая кривой (или прямой) образующей при ее вращении вокруг неподвижной оси (рис. 5.18). Эта поверхность определяется на чертеже заданием образующей и оси вращения.

Каждая точка образующей

На чертеже ось вращения располагают перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, например горизонтальной. Тогда все параллели проецируются на эту плоскость в истинную величину. Экватор и горло определят горизонтальный очерк поверхности. Фронтальным очерком такой поверхности будет главный меридиан, то есть меридиан, расположенный во фронтальной плоскости.

Рассмотрим некоторые тела и поверхности вращения.

Точка А, лежащая на перпендикуляре к оси вращения и обра­зующей, будет описывать наименьшую окружность, являющуюся горлом гиперболоида. Однополостный гиперболоид может быть также получен вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

3. Поверхности вращения, образованные вращением кривых вто­рого порядка:

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

Развертки поверхностей вращения

Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала моделей различных сооружений, форм для металлических отливок, сосудов, трубопроводов, резервуаров и т.п.

Приближенные развертки

Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой. Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку (условно-развертываемые поверхности). При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.

Условные развертки

Неразвертывающиеся поверхности не могут быть совмещены сплоскостью без разрывов и складок, т.е. теоретически они не имеют своей развертки. Поэтому говорят лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертывающихся поверхностей. На практике для получения развертки неразвертываемой поверхности, выполненной из листового материала, приходится кроме изгибания производить растяжение и сжатие определенных участков листа.

Построение условной развертки неразвертывающейся поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей — гранными, цилиндрическими или коническими.

Задание: построить проекции и натуральный вид фигуры сечения поверхности цилиндра плоскостью Р (рис. 11.1). Построить развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра.

Решение: на рисунке 11.1 изображены прямой круговой цилиндр, основание которого принадлежит горизонтальной плоскости проекций и секущая плоскость Р общего положения. Поскольку секущая плоскость наклонена к оси цилиндра, то боковая поверхность цилиндра пересекается по эллиптической кривой.Форма сечения в этом случае зависит от того, пересекает ли плоскость Р основания цилиндра. В рассматриваемом случае секущая плоскость Р не пересекает оснований цилиндра. Это видно из того, что горизонтальная проекция нижнего основания не пересекается с горизонтальным следом плоскости Р, а горизонтальная проекция горизонтали , по которой плоскость Р пересекается с плоскостью верхнего основания, не пересекает его горизонтальную проекцию.

Для нахождения эллипса сечения плоскости Р с боковой поверхностью цилиндра находят сначала его низшую и высшую точки.

Эти точки являются концами большой оси эллипса сечения и лежат на линии наибольшего наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости Р и пересекает ось цилиндра.

Для нахождения точек А и В проводят плоскость Σ, перпендикулярную к горизонтальному следу и проходящую через ось цилиндра. Эта плоскость перпендикулярна к плоскости . Затем находят линию пересечения плоскостей Р и Σ.

Боковая поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей и поэтому проецируется на горизонтальную плоскость проекций в окружность. Так как отрезок АВ является частью линии пересечения плоскостей Р и Σ, а точки А и В лежат на боковой поверхности цилиндра, то горизонтальные проекции точек А и В должны лежать на одной окружности и на горизонтальной проекции прямой пересечения плоскостей Р и Σ. По горизонтальным проекциям точек А и В находят их фронтальные проекции, исходя из условия, что точки А и В лежат на найденной прямой пересечения плоскостей Р и Σ.

Для определения остальных точек эллипса сечения на цилиндрической поверхности выбирают ряд образующих. За первую образующую выбирают ту, на которой лежит точка А. Остальные образующие получают делением окружности (горизонтальной плоскости цилиндрической поверхности) на 12 равных частей (можно делить на другое количество частей). Затем находят точки пересечения образующих с плоскостью Р. В рассматриваемом примере все образующие перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р совпадают с горизонтальными проекциями самих образующих.

Далее наносят горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) и находят фронтальные проекции этих точек, проводя через них горизонтали в плоскости.

Развёртка боковой поверхности прямого кругового цилиндра, не усечённого плоскостью, представляет собой прямоугольник с основанием, равным длине окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра. При построении развёртки боковой поверхности цилиндра, пересечённого плоскостью, на развёртке необходимо наносить точки, принадлежащие линии пересечения, и затем эти точки соединять плавной кривой линией (рис. 11.1).

Для этого на развёртке боковой поверхности цилиндра проводят 12 образующих, отстоящих друг от друга на равном расстоянии. За первую образующую рекомендуется выбирать ту, на которой лежит точка А. Затем наносят на все образующие последовательно точки А, 1, 2, 3, 4, 11, 5, В, 6, 7, 8, 9, 12, 10. Расстояние от этих точек до нижнего (или верхнего) основания проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра.

Задание: построить проекции и натуральную величину линии пересечения поверхности конуса плоскостью Р (рис. 11.3).

Решение: поверхность прямого кругового конуса относится к поверхностям вращения и является носителем кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы. Все эти кривые являются плоскими и, следовательно, могут быть получены в результате сечения конической поверхности плоскостью.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением образующей вокруг неподвижной оси (рис. 1). Эта поверх­ность определяется на чертеже заданием образующей и оси вращения.

Каждая точка образующей I описывает при своем вращении ок­ружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси вращения, с центром на оси. Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей называется экватором, наименьшая — горлом.

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называ­ют меридианальной. Линию ее пересечения с поверхностью — меридиа­ном. Меридиан, параллельный фронтальной плоскости проекций, назы­вается главным меридианом. Все меридианы равны между собой.

На чертеже ось вращения II располагают перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, например горизонтальной. Тогда все параллели проецируются на эту плоскость в истинную величину. Экватор и горло определят горизонтальный очерк поверхности. Фронтальным очерком такой поверхности будет главный меридиан, то есть меридиан, располо­женный во фронтальной плоскости.

Точки на поверхностях вращения могут быть построены с помо­щью параллелей, то есть окружностей на поверхности.

Цилиндром вращения называется поверхность, образованная вра­щением прямой вокруг параллельной ей оси.

Если ось цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальные проекции точек, лежащих на его поверхности, будут расположены на окружности, в которую спроецируется ци­линдр на горизонтальную плоскость Н (рис. 2).

Задача. Найти недостающие проекции точек М и К (рис. 2)

Для того, чтобы найти горизонтальную проек­цию точки М, проведем линию связи от фронталь­ной проекции М(m’) до пересечения с горизонталь­ной проекцией цилиндра (окружностью). Задача имеет два ответа: точки m1 и m2.

Однозначно определить положение фронталь­ной проекции точки К по одной только горизон­тальной проекции k невозможно. По линии связи, проведенной от горизонтальной проекции этой точ­ки, на поверхности цилиндра может находиться бесчисленное множество точек. В этом случае необходима дополнитель­ная информация о положении точки К.

При пересечении цилиндра вращения плоскостью, параллельной оси вращения, в сечении получаются две прямые — образующие (рис. 3).

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, в резуль­тате сечения получится окружность (рис. 4).

В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси враще­ния цилиндра, в сечении получается эллипс (рис. 5).

Сечение цилиндра плоскостью

В общем случае построение линии пересечения поверхности плоскостью заключается в нахождении общих точек, то есть точек, принадлежащих одновременно секущей плоскости и поверхности.
Для нахождения этих точек применяют способ дополнительных секущих плоскостей:

Дополнительные плоскости проводят таким образом, чтобы они пересекали поверхность по наиболее простым линиям.

Нахождение точек линии пересечения начинают с определения ха­рактерных (опорных) точек. К ним относятся

Для более точного построения линии пересечения необходимо по­строить еще и дополнительные (промежуточные) точки.

Прямой круговой конус

Сечение конуса плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении кону­са вращения могут получиться различные линии.

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола (рис. 8, в, г, д) — в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости.

Для конуса наиболее простыми линиями являются прямые (образующие) и окружности.

Горизонтальную проекцию точки А найдем с помощью образующей. Проведем через точку А и вершину конуса S вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р(Рv). Она пересе­кает конус по двум образующим SM и SN. Их фрон­тальные проекции совпадают. Строим горизон­тальные проекции образующих. Затем проводим через точку а’ линию связи. На пересечении ли­нии связи и горизонтальных проекций образую­щих определим горизонтальную проекцию точки. Задача имеет два ответа: точки а₁ и а₂ (рис. 9).

Горизонтальную проекцию точки В найдем, построив окружность, на которой она лежит. Для этого через точку проведем горизонтальную плоскость Т(Тv), которая пересекает конус по ок­ружности радиуса r.

Строим горизонтальную проекцию этой окружности. Через точку b’ проведем линию связи до ее пересечения с окружностью. Задача также имеет два ответа — точки b₁ и b₂.

Рассмотрим пример построения проекций линии пересечения ко­нуса фронтально — проецирующей плоскостью Р (P_V). В этом случае в се­чении получается эллипс (рис. 10).

Сначала определим характерные (опорные) точки.

Фронтальная проек­ция линии сечения совпа­дает с фронтальным следом плоскости P_V. Нижняя точ­ка 1 лежит на образующей AS, верхняя — 2 на обра­зующей ВS. Эти точки оп­ределяют положение боль­шой оси эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси.

Чтобы найти малую ось, разделим отрезок 1-2 на две равные части. Точки 3 и 4 определяют малую ось эллипса. Точки 5 и 6, расположенные на образующих CS и DS, являются точками границы ви­димости для профильной плоскости проекций. Проекции точек 1, 2, 5 и 6 находятся на соответствующих проекциях образующих. Чтобы найти про­екции точек 3 и 4, проводим дополнительную секущую плоскость Т(Тv).

Она рассекает конус по окружности радиуса г. На этой окружности на­ходятся проекции данных точек. Для точного построения необходимо определить дополнительные (случайные точки). Проекции этих точек находим аналогично точкам 3 и 4 или проводя через эти точки образую­щие. Соединяем полученные проекции точек. Определяем видимость. На горизонтальной плоскости все точки, лежащие на поверхности конуса, видимы. На профильной — точки 5, 3, 1, 4, 6 видимы, остальные — нет.

Шаровой поверхностью (или сфе­рой) называется поверхность, образован­ная при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Если шаровая поверхность пересе­кается плоскостью, то в сечении всегда получается окружность, которая может спроецироваться:

Чтобы построить проекции точки, лежащей на поверхности шара, необходимо через нее провести секущую плоскость, параллельную плос­кости проекций, затем построить окружность, на которой находится эта точка.

Сечение шаровой поверхности плоскостью

Пересечем поверхность шара фронтально-проецирующей плоскостью Q(Q_v) (рис. 12). Построение начинаем с определения характерных точек.

Точки 1 и 2 находятся на главном меридиане. Эти точки — концы малой оси эллипса, а также это самая высокая и самая низкая точки. Их горизонтальные и профильные проекции строим по фронтальным проекциям.

Точки 3 и 4 находятся на профильном меридиане и оп­ределяют видимость на профильной плоскости проекций. Горизонтальные проекции точек находим по профильным проекциям.

Точки 5 и 6 принадлежат экватору и являются точками границы видимости на горизонтальной проекции. Профильные проекции точек находим по горизонтальным проекциям.

Чтобы найти положение большой оси эллипса (точки 7 и 8) разде­лим отрезок 12 пополам. Фронтальные проекции точек (точки 7 и 8) совпадают с серединой этого отрезка. В этой же точке находится фрон­тальная проекция центра окружности сечения. На горизонтальную плос­кость диаметр окружности проецируется без искажения. Поэтому точки 7 и 8 будут находиться на расстоянии R от центра окружности сечения (рис. 12).

Для большей точности строим несколько дополнительных точек.

Полученные точки соединяем плавной кривой линией с учетом ее видимости.

Тор — поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр.

Если ось вращения проходит вне окружности, то поверхность на­зывается «открытый тор» или «тор — кольцо» (рис. 13); если ось касает тор» (рис. 15 — 16). Тор, изображенный на рис. 15, называется также «тор-яблоко», а на рис. 16 — «тор-лимон». Сфера — частный случай торовой поверхности.

рис. 13 рис. 14 рис. 15 рис. 16

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка:

двухполостный гиперболоид вращения — поверхность, обра­зованная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис. 19).

рис. 17 рис. 18 рис. 19

Источник

Глава 8. Поверхности

§ 54. Поверхности вращения

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении любой кривой вокруг оси i (рис. 103).

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а).

Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

© Красноярский государственный аграрный университет
© Управление информационных технологий
© Кафедра Технологии машиностроения

Источник

Глава 8. Поверхности

§ 54. Поверхности вращения

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении любой кривой вокруг оси i (рис. 103).

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а).

Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

© Красноярский государственный аграрный университет
© Управление информационных технологий
© Кафедра Технологии машиностроения

Источник

Поверхность вращения

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Содержание

Примеры

Площадь

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами , площадь поверхности равна

.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат действительна формула

Объём

Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Поверхность вращения» в других словарях:

поверхность вращения — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN surface of revolution … Справочник технического переводчика

поверхность вращения — sukimosi paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. surface of revolution; surface of rotation vok. Drehfläche, f; Rotationsfläche, f; Umdrehungsfläche, f rus. поверхность вращения, f pranc. surface de rotation, f; surface de… … Fizikos terminų žodynas

поверхность вращения — ↑ вращение конус. конический. эллипсоид, сфероид. гиперболоид. параболоид. катеноид. | псевдосфера. меридиан. параллель. локсодрома. | винтовая линия. ▼ сфера, круглый цилиндр ↓ купол, обработка резанием (какая) … Идеографический словарь русского языка

производящая поверхность вращения — Поверхность, образующая в станочном зацеплении поверхность витка червяка. Примечания 1. Различают производящие конус, тор и другие поверхности вращения, образующие главные или номинальные поверхности витков обрабатываемых червяков. 2. Различают… … Справочник технического переводчика

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов … Википедия

ПОВЕРХНОСТЬ — ПОВЕРХНОСТЬ, поверхности, жен. Наружная, особенно верхняя сторона предмета. Поверхность земли. Поверхность воды. Гладкая, зеркальная поверхность. || Граница, отделяющая геометрическое тело от внешнего пространства или от другого тела; след… … Толковый словарь Ушакова

ПОВЕРХНОСТЬ — ПОВЕРХНОСТЬ, поверхности, жен. Наружная, особенно верхняя сторона предмета. Поверхность земли. Поверхность воды. Гладкая, зеркальная поверхность. || Граница, отделяющая геометрическое тело от внешнего пространства или от другого тела; след… … Толковый словарь Ушакова

Поверхность — (Surface, Oberflache). Всякую непрерывную кривую линиюможно представить, как след движущейся точки. подобно этому и всякую П.можно образовать или описать движением в пространстве некоторой кривойлинии неизменяемого или изменяемого вида и размеров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

ПОВЕРХНОСТЬ — (1) граница раздела между двумя контактирующими средами, общая часть двух смежных областей пространства (сред); видимая граница, отделяющая геометрическое (физ.) тело от внешнего пространства или др. среды (тела), которая может быть внешней или… … Большая политехническая энциклопедия

Источник