Что называют выражением с переменной
Числовые и буквенные выражения
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Числовые выражения: что это
Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.
Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.
Например:
Это простые числовые выражения.
Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:
Это сложные числовые выражения.
Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».
Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.
Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.
11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.
При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:
Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)
Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.
Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.
Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2
14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2
Буквенные выражения
Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.
В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.
Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.
Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.
У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:
Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.
Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).
Выражения с переменными
Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.
Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.
Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.
5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a
Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.
Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.
Задание раз.
Задание два.
Составьте буквенное выражение:
Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.
Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.
Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?
150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.
Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.
Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения
В этом разделе мы узнаем, что называют числовым выражением и значением выражения, научимся читать выражения.
Значение выражения — это результат выполненных действий.
Чтение числовых выражений
Решение числовых выражений
45 – (30 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 30 прибавляем 2.
30 + 2 = 32
Теперь нужно из 45 вычесть 38.
45 – 32 = 13
45 – (30 + 2) = 13
Сравнение значений числовых выражений
Сравнить числовое выражение – найти значение каждого из выражений и их сравнить.
Для этого найдем значения каждого из них:
Буквенные выражения
Буквенным называется математическое выражение, в котором используются цифры, знаки действий и буквы. Например, (47 + d) – 11.
Для записи буквенных выражений необходимо знать некоторые буквы латинского алфавита. Мы приводим его полностью, чтобы ты знал, с какими буквами можешь встретиться при составлении, решении или чтении буквенных выражений.
Чаще всего используются буквы:
a, b, c, d, x, y, k, m, n
Алгоритм решения буквенного выражения
1. Прочитать буквенное выражение
2. Записать буквенное выражение
3. Подставить значение неизвестного в выражении
4. Вычислить результат
Читаем выражение: Из 28 вычесть с или Найти разность числа 28 и с
Подставим вместо неизвестного «с» число 4.
У нас получается выражение: 28 – 4
Переменные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении с + x + 2 переменными являются буквы c и x. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение с + x + 2 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных c и x. Для изменения значений используется знак равенства
Мы изменили значения переменных c и x. Переменной c присвоили значение 2, переменной x присвоили значение 3, тогда выражение с + х + 2 будет выглядеть так:
Теперь мы можем найти значение этого выражения:
с + х + 2 = 2 + 3 + 2 = 5 + 2 = 7
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: определения, примеры.
Запись условий задач с помощью принятых в математике обозначений приводит к появлению так называемых математических выражений, которые называют просто выражениями. В этой статье мы подробно поговорим про числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: дадим определения и приведем примеры выражений каждого вида.
Навигация по странице.
Числовые выражения – что это?
Можно сделать вывод, что на этом этапе изучения математики числовыми выражениями называют имеющие математический смысл записи, составленные из чисел, скобок и знаков сложения и вычитания.
А в старших классах разнообразие записей числовых выражений разрастается как снежный ком, катящийся с горы. В них появляются обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа и отрицательные числа, степени, корни, логарифмы, синусы, косинусы и так далее.
Обобщим всю информацию в определение числового выражения:
Разъясним все составные части озвученного определения.
В числовых выражениях могут участвовать абсолютно любые числа: от натуральных до действительных, и даже комплексных. То есть, в числовых выражениях можно встретить
Что касается скобок, то имеют место как числовые выражения, в которых есть скобки, так и выражения без них. Если в числовом выражении есть скобки, то они в основном
В качестве специальных математических символов и обозначений, которые можно встретить в числовых выражениях, приведем знак модуля. Для примера покажем числовое выражение с модулем 
.
Что такое буквенные выражения?
Итак, если допустить в числовом выражении присутствие букв, которыми обозначены некоторые числа, то получится так называемое буквенное выражение. Дадим соответствующее определение.
Выражение, содержащее буквы, которыми обозначены некоторые числа, называется буквенным выражением.
Из данного определения понятно, что принципиально буквенное выражение отличается от числового выражения тем, что может содержать буквы. Обычно в буквенных выражениях используются маленькие буквы латинского алфавита ( a, b, c, … ), а при обозначении углов – маленькие буквы греческого алфавита ( α, β, γ, … ).
Итак, буквенные выражения могут быть составлены из чисел, букв и содержать все математические символы, которые могут встречаться в числовых выражениях, такие как скобки, знаки корней, логарифмы, тригонометрические и другие функции и т.п. Отдельно подчеркнем, что буквенное выражение содержит по крайней мере одну букву. Но может содержать и несколько одинаковых или различных букв.
Выражения с переменными
Если в буквенном выражении буква обозначает величину, которая принимает не какое-то одно конкретное значение, а может принимать различные значения, то эту букву называют переменной и выражение называют выражением с переменной.
Выражение с переменными – это буквенное выражение, в котором буквы (все или некоторые) обозначают величины, принимающие различные значения.
Вообще, переход от понятия буквенного выражения к выражению с переменными происходит в 7 классе, когда начинают изучать алгебру. До этого момента буквенные выражения моделировали какие-то конкретные задачи. В алгебре же начинают смотреть на выражение более общо, без привязки к конкретной задаче, с пониманием того, что данное выражение подходит под огромное число задач.
В заключение этого пункта обратим внимание еще на один момент: по внешнему виду буквенного выражения невозможно узнать, являются ли входящие в него буквы переменными или нет. Поэтому ничто нам не мешает считать эти буквы переменными. При этом разница между терминами «буквенное выражение» и «выражение с переменными» исчезает.
Значения числовых и буквенных выражений. Выражения с переменными
Значения числовых и буквенных выражений. Выражения с переменными
В статье рассмотрены наиболее популярные темы, которые встречаются в контрольно – измерительных материалах по математике. Все задания составляются в соответствии с кодификатором требований о подготовке к ЕГЭ.
В задания ЕГЭ по математике базового уровня входят следующие темы о значении:
— Выражений с переменными;
Раздел Преобразование буквенных выражений содержит в себе небольшие подразделы, которые включают темы о преобразовании выражений, включающих:
Данные задания ЕГЭ по математике 2020 встречаются довольно часто, поэтому перед тем как приступить к разбору вышеописанных тем, нужно изучить само понятие о значении выражения.
Рассмотрим определение данного понятия. Значение выражения – это цифра, которая получается после выполнения необходимых операций с выражением.
Данное определение также называют числом с набором следующих действий: сложение, вычитание, деление и умножение.
Рассмотрим пример: 1+2. Данное выражение представляет собой сложение чисел, ответом будет число 3 – это значение выражения.
Обычно при нахождении значения у числового выражения, слово «числового» не используют, так как в данном случае понятно, что имеется в виду. Существуют числовые выражения, у которых невозможно найти значение, так как необходимо выполнить действия, не имеющие смысла, например, разделить на нуль. В таких случаях считают, что у выражения нет решения.
Такими выражениями принято называть выражения с наличием букв. Если заменить буквы на число, то получится выражение, содержащее числа.
Рассмотрим пример: 2 * х + у, пусть х = 1, у = 2. Далее следует заменить буквы цифрами, и высчитать значение выражения: 2 * 1 + 2= 4. Ответ: 4.
В математике буквы в выражении принимают разные значения, при этом буквы — переменные, а выражения с наличием букв – выражения, содержащие переменные.
Выражения, содержащие переменные
Значением таких выражений называют значения числовых выражений, которые получены путём подстановки. Пример: 3 * а * в + в, пусть а = 2, в = 1. Теперь поставляем числа в само выражение и получаем: 3 * 2 * 1 + 1 = 7. Ответ: 7. В некоторых случаях переменные могут быть разные, но значение выражений у этих переменных должно быть единое.
Значение у переменной можно задавать из допустимого значения, соответствующего им. Так как в другом варианте, при подстановке значений, которые не принадлежат области с допустимыми значениями, получится выражение, не имеющее смысла.
Также нужно учитывать, что бывают выражения с переменными, у которых значение не имеет подчинённости от заданных переменных. Например: 5 + х – х. В данном случае значение выражения не связано с переменной х. Во всех случая значение выражения будет равняться пяти.
Преобразование буквенных выражений может быть включать:
Рассмотрим каждый вид преобразования по отдельности.
Преобразование буквенных выражений, имеющих степени
Рассмотрим несколько правил преобразования степенных выражений:
— Произведение с одинаковыми основаниями ( а^p * a^q = a^ (p+ q ); a^ ( p + q) = а^p * a^q );
— Частное с равными показателями (а^p / a^q = a^(p – q ); a^(p – q ) = а^p / a^q = ф^p / a^ q );
— Степень в степени ( a^p )^q = a^pq; a^pq = ( a^p )^q = ( a^q )^p);
— Степени произведения с частным ( ab^p = a^p * b^p; (a / b)^p = ( a^p ) / (b^p); a^p * b^p = ab^p; ( a^p ) / (b^p = (a / b)^p.
Рассмотрим примеры таких преобразований.
Преобразование буквенных выражений с радикалами
Данная тема содержится в КИМах ЕГЭ по математике, она изучается 7 классе по алгебре, приступим к рассмотрению. Радикалом называют подкоренное выражение. Рассмотрим необходимые формулы, которые будут полезны в процессе преобразования:
Данные выражения принимают за иррациональные. Для наглядности разберём пример иррационального преобразования:
Нужно упростить данное выражение: 4 √32^5.
Данное выражение нужно представить в виде: 16 – a^4 – 2a и воспользоваться второй формулой: 4 √32^5 = 4 √16 * 4 √a^4 * 4 √2a = 2a 4√2a.
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
В некоторых КИМах могут встречаться задания на преобразование выражений с логарифмами.
Данные преобразования производятся в соответствии со свойствами логарифмов. Для решения подобных заданий следует знать свойства логарифмов, которые могут решить задачу.
— loga b^m = m log a b;
— loga^k b^m = m/k loga b;
— loga b = logc b/logc a;
— loga b * logc d = logc d * loga d;
— a logc b = b logc a.
Вышеизложенные свойства можно применять в любом порядке. При подготовке к ЕГЭ по математике нужно тщательно повторить данные свойства, также важно уметь их использовать в процессе преобразования выражений. Начать следует с числовых выражений. Но как же найти свойство, с помощью которого преобразовать выражение? Обычно это несложно, следует сопоставить логарифм, который нужно преобразовать и выражение, содержащее свойства логарифмов.
Преобразование выражений, содержащих функции тригонометрии
Под данным термином понимают упрощение выражений, используя формулы из тригонометрии.
Существуют правила, которым нужно следовать в процессе преобразования выражений:
— Если выражение имеет больше количество тригонометрических функций, следует сократить их количество, здесь нужно применять тождества тригонометрии;
— Выражение, содержащее разные аргументы следует привести к единому;
— Для того чтобы получить функцию, следует воспользоваться формулами;
— Если в выражении присутствуют функции высоких степеней, следует воспользоваться тождествами тригонометрии или применить формулы, с помощью которых можно понизить степень.
— tg a = sin a / cos a, ctg a = cos a / sin a;
Рассмотрим пример. Нужно упростить выражение: cos^2 a / 2 – 1 / 2 cos a. Применяем формулу, с помощью которой можно понизить степень: ( cos a + 1 ) / 2 – 1 / 2 cos a = 1 / 2.
После изучения данной темы и рассмотрения примеров рекомендуем прочитать литературу с более подробным разбором примеров ЕГЭ по математике, изучив данные, а также дополнительные материалы вы в совершенстве будете владеть темой значения числовых и буквенных выражений.
Выражения с переменными
Урок 2. Алгебра 7 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Выражения с переменными»
· ввести понятие «выражение с переменными»;
· ввести понятие «область определения выражения».
Вспомним, что на прошлом уроке мы говорили о числовых выражениях и значениях числовых выражений.
Числовым выражением называется запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.
Значением числового выражения называется число, которое получается при выполнении всех действий числового выражения.
Буквенным выражением называется запись, состоящая из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.
Строчные буквы латинского алфавита чаще всего используют при записи буквенных выражений.
Следует также знать, что и одна буква является буквенным выражением.
Давайте решим задачу.
Велосипедист двигается со скорость 15 километров в час. Какой путь он проедет за время t?
Известно, что путь можно найти скорость умножив на время. Тогда путь, который проедет велосипедист, будет равен 15t.
Теперь, если нам нужно будет узнать, какое расстояние проехал велосипедист, например, за 3 часа, мы подставим в выражение 15 ∙ t вместо буквы t число 3, то есть найдём значение выражения при t = 3, и получим 45 километров.
В нашем случае буква t называется переменой, а само выражение – выражением с переменной.
То есть, переменная – это буква, входящая в буквенное выражение, которая может принимать различные значения.
Если мы в выражение с переменной вместо переменной подставим число, то получим числовое выражение.
Теперь, прежде, чем перейти к решению упражнений, вернёмся к выражению 15t, которое мы получили при решении первой задачи. Здесь переменная t может принимать только положительные значения, так как время не может быть отрицательным, и это множество значений называется областью определения выражения 15t.
Таким образом, важно помнить, что в область определения любого выражения могут входить только те значения переменных, при которых получается числовое равенство, имеющее смысл.
А сейчас давайте решим некоторые упражнения.