Что называют углом поворота радиуса окружности

Угол поворота, угол произвольной величины

Среди множества терминов тригонометрии важным является понятие угла поворота. В данной статье рассмотрим поворот и все соответствующие ему определения; дадим представление о полном обороте; изучим угол поворота и его характеристики, а также поворот фигуры вокруг точки. Для лучшего понимания теория будет снабжена иллюстрациями и практическими примерами.

Поворот точки вокруг точки

Центр поворота – точка, относительно которой осуществлен поворот.

Полный оборот

Если движение точки А по окружности продолжится, то будет выполнено два, три и так далее полных оборотов. На иллюстрации ниже справа отображено два полных оборота, а слева – три:

В рамках всего вышесказанного можно также говорить о частях полного оборота. Например, о половине оборота или трети, или четверти и так далее.

Угол поворота

Угол поворота имеет свои характеристики, одна из которых – направление поворота. По нему определяют, как перемещалась точка – по часовой стрелке или против.

Разберем характеристики угла поворота подробнее.

Направление поворота

Принято считать, что поворот по часовой стрелке – поворот в отрицательном направлении направлении, а поворот против часовой стрелки – поворот в положительном направлении.

Приведем графическую иллюстрацию различных поворотов: слева на чертеже – поворот в положительном направлении; справа – в отрицательном.

Величина угла поворота, угол произвольной величины

Угол поворота точки, не являющейся центром поворота, в полной мере определяется указанием его величины. С другой стороны, по величине угла поворота можно определить, каким образом поворот был осуществлен.

Знак плюс определяет поворот против часовой стрелки, а минус – по часовой стрелке.

Необходимо установить соответствие между самой величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.

Углы поворота, превышающие 180 или меньшие – 180 определяются, исходя из очевидного свойства последовательных поворотов:

Несколько последовательных поворотов точки А относительно центра О равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.

Поворот фигуры вокруг точки на угол

Понятие поворота точки легко распространить на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (такой поворот, при котором и точка, относительно которой осуществляется поворот, и сама поворачиваемая фигура лежат в одной плоскости).

Поворот фигуры – это поворот всех ее точек вокруг заданной точки на заданный угол.

Источник

Что называют углом поворота радиуса окружности

Движение тела по окружности можно описывать тем же способом, которым пользуются при описании прямолинейного движения. Но часто более удобным оказывается другой способ, с которым мы сейчас ознакомимся.

Представим себе, что некоторое тело движется по окружности радиусом (рис. 65). Проведем из центра О окружности радиус

к какой-нибудь течке тела А и будем следить не только за самим телом, но за радиусом, проведенным к нему. Мы увидим, что, по мере того как тело движется, радиус поворачивается. Если, например, тело за промежуток времени переместилось из точки А в точку В, то за это же время радиус повернулся на угол Этот угол мы будем называть углом поворота радиуса. О движении тела можно, следовательно, сказать, во-первых, что тело за промежуток времени прешло путь по дуге окружности, во-вторых, что оно совершило перемещение в, модуль которого равен длине хорды и, в-третьих, что радиус, проведенный к телу, совершил псвсрот на угол

Если бы тело двигалось по окружности другого радиуса (см. рис. 65), то длина пройденного пути была бы больше. Большей была бы и длина перемещения Угол же поворота ради в обоих случаях остается одним и тем же. Так, конец минутной стрелки маленьких ручных часов за 15 мин проходит путь длиной сколо 1,5 см. За это же время конец минутной стрелки огромных башенных часов (например, часов Спасской башни Кремля) проходит путь длиной в несколько метров. Но минутные стрелки всех часов в мире за четверть часа поворачиваются на один и тот же угол — 50° (рис. 66).

Если мы снова Еернемся к рисунку 65, то увидим, что у тел, движущихся по окружностям с радиусами равны не только угли псссрсга. В обоих случаях одинаковы и отношения длины дуги к радиусу:

По какой бы окружности ни двигалось тело, при равных углах поворота радиуса равны и отношения длины дуги к радиусу. Поэтому и сами углы можно измерять величиной этого отношения

При таком измерении углов за единицу измерения угла удобно принять не градус, а угол, соответствующий дуге, длина которой I равна радиусу потому что тогда угол будет равен единице. Такая единица измерения угла сейчас общепринята в науке, и называют ее радианом (сокращенно рад).

Радиан — это угол между двумя радиусами круга, вырезающий на окружности дугу, длина которой равна радиусу.

Легко установить связь между градусом и радианом.

Когда тело (или точка) совершит один полный оборот по окружности радиусом то длина пройденной дуги будет равна Поэтому величина угла в радианах равна:

Следэзательно, один оборот — это поворот радиуса на угол рад. В градусной мере этот же угол равен Отсюда

Таким образом, длина дуги, пройденной телом, и угол поворота радиуса, проведенного к нему, связаны формулой

Скорость равномерного движения тела по окружности тоже можно выражать в угловых единицах. Для этого используют понятие угловой скорости.

Под угловой скоростью мы будем понимать отношение угла поворота радиуса, проведенного к телу, к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот. Угловую скорость обозначают греческой буквой со (омега), так что

Так как здесь угол выражен в радианах, а время в секундах, то угловая скорость со измеряется в радианах в секунду (рад/сек).

В отличие от угловой скорости скорость измеряемую отношением длины пути ко времени и выражаемую в метрах в секунду, называют линейной скоростью. Между угловой скоростью со и линейной скоростью очень простая связь. Если в выражение для угловой скорости подставить вместо его значение то мы получим:

Так как в свою очередь то или

Линейная скорость точки равна произведению угловой скорости на радиус окружности, по которой происходит движение.

Скорость движения тела по окружности часто выражают также числом оборотов в единицу времени. Легко связать угловую скорость с числом оборотов в единицу времени. Действительно, при одном обороте радиус поворачивается на угол в рад. Значит, совершив в единицу времени, например, оборотов, радиус повернется на угол рад. Поэтому угловая скорость и число оборотов в единицу времени связаны выражением

Число оборотов в единицу времени обычно называют также частотой вращения. Величина, обратная частоте, определяет время, за которое тело делает один оборот. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой Т:

1. Что такое угловая скорость? В каких единицах ее измеряют?

2. Как связаны между собой угловая и линейная скорость?

3. Вычислите угловую и линейную скорость движения Земли вокруг Солнца. Радиус орбиты Земли считать равным 150 000.000 км.

4. Какова линейная скорость конца минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля, если длина стрелки 3,5 м? Сравните угловую скорость этой стрелки с угловой скоростью минутной стрелки ручных часов.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна части окружности или

Длина полуокружности равна А так как образовался развернутый угол, то 180.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

;

α рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

можно вычислять по формуле(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой рад (рис.5)

находят по формуле: , где (4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол (рис.6)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти градусную меру угла, равного рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим .

Так как , то рад, тогда (2)

Ответ: .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.

Вычисляем по формуле (2): рад

рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ: рад, рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3),

получим:

Ответ: .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .

По формуле (4) вычисляем

Ответ: 45 м 2

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны.

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ:

Источник