Что называют целыми выражениями
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.
Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.
Правило приведения многочлена к стандартному виду:
1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;
2)привести подобные члены.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?
Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.
Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)
Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.
Начнём с определения.
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.
Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.
Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.
8х + 12 – целое выражение.
Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.
Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Например, так выполняется умножение многочленов.
(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су
Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Например, так находится сумма многочленов:
(а + с) + (к + х) = а + с + к + х
И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.
Например, так находится разность двух многочленов.
(а + с) – (к + х) = а + с – к – х
Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.
Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.
Рассмотрим, как упрощать целое выражение.
Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).
Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =
Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду
= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3
Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.
Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.
Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.
(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к 2 + у 2 – 8х 2 )
Для доказательства этого утверждения упростим выражение.
Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.
Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Составьте целое выражение по тексту задачи.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).
Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.
2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х 2
Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.
Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.
Правило приведения многочлена к стандартному виду:
1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;
2)привести подобные члены.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?
Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.
Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)
Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.
Начнём с определения.
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.
Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.
Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.
8х + 12 – целое выражение.
Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.
Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Например, так выполняется умножение многочленов.
(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су
Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Например, так находится сумма многочленов:
(а + с) + (к + х) = а + с + к + х
И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.
Например, так находится разность двух многочленов.
(а + с) – (к + х) = а + с – к – х
Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.
Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.
Рассмотрим, как упрощать целое выражение.
Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).
Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =
Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду
= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3
Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.
Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.
Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.
(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к 2 + у 2 – 8х 2 )
Для доказательства этого утверждения упростим выражение.
Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.
Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Составьте целое выражение по тексту задачи.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).
Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.
2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х 2
Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.
Алгебра. 8 класс
Целые выражения – это такие выражения, которые состоят из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. 
Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными. 
Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.
Дробь – это выражение вида 
.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, потому что действия для нахождения значения целого выражения, всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменной может не иметь смысла.
- •
не имеет смысла при x = 0. •
не имеет смысла при x = y. Дробные выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями.
Рациональная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.
Примеры 
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Чтобы найти допустимые значения переменных в дроби, необходимо:
- • Приравнять знаменатель, содержащий переменные, к нулю.
• Решить полученное уравнение. Корни этого уравнения будут являться теми значениями переменных, которые обращают знаменатель в нуль.
• Исключить эти значения из всех действительных чисел.
Пример 1.
Найти допустимые значения переменной в дроби 
.
1) x(x + 1) = 0
2) x = 0 или x + 1 = 0
x = 0 или x = –1.
Корни уравнения 0 и – 1.
3) Допустимыми значениями x являются все числа, кроме 0 и –1.
Пример 2.
Найти значения x, при которых дробь 
равна нулю.
, когда x 2 – 1 = 0 и x + 1 ≠ 0.
1) x 2 – 1 = 0
2) (x – 1)(x + 1) = 0
x = ±1
3) x + 1 ≠ 0
x ≠ –1.
при x = 1.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Числовое значение целого выражения. Тождественное равенство целых выражений
Перечень рассматриваемых вопросов:
Равенство между буквенными выражениями, называют тождество, если оно превращается в верное числовое равенство, при подстановке в него вместо букв любых чисел.
Для доказательств тождеств используются свойства одночленов, многочленов и правила действия над ними.
Нулевые многочлены, равные 0, тождественны.
Ненулевые многочлены, равные 0, не тождественны.
Для любого целого выражения при любых числовых значениях входящих в него букв, соответствующее числовое выражение имеет смысл.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить числовое выражение?
Можно, если вместо букв подставим числа.
(16а – 15х)(3 + 4а) + (х + у)
Сегодня мы узнаем, как это сделать.
Как было сказано ранее, если в целое выражение подставить вместо букв числа, то получим числовое выражение.
Подставим его в выражение (17 + с) и получим:
Пусть а = 1; х = 3; у = –1.
Подставим его в выражение: (16а – 15х)(3 + 4а) + (х + у) и получим:
Результаты вычислений числовых выражений называют числовым значением целого выражения.
Стоит отметить, что для любого целого выражения, при любых числовых значениях входящих в него букв, соответствующее числовое выражение имеет смысл, т. к. не содержит деления на ноль, исходя из определения целого выражения.
Рассмотрим теперь равенство одночленов.
Оно превращается в верное числовое равенство, если в нём заменить буквы числами, т. к. в левой и в правой части будет стоять произведение чисел, но с переставленными множителями, а произведение чисел не зависит от порядка множителей.
3 · 4 · 5 · 5 · 4 · 5 · 5 = 3 · 4 · 4 · 5 · 5 · 5 · 5.
Когда говорят, что в равенстве буквы заменяют числами, то имеют ввиду, что одна и та же буква, где бы она не находилась в равенстве, заменяется одним и тем же числом.
Рассмотрим равенство многочленов.
Равенство между буквенными выражениями называют тождество, если оно превращается в верное числовое равенство при подстановке в него вместо букв любых чисел.
( а + 3) · (а + 3) = (а + 3) 2
Тождество, так как при a = 2 равенство сохраняется:
(2 + 3) · (2 + 3) = (2 + 3) 2
В математике тождества очень часто приходится доказывать. Поэтому, для доказательства тождества используются ранее изученные нами свойства одночленов, многочленов и правила действия над ними.
Стоит отметить, что нулевые многочлены, равны нулю тождественно, т. е при любых числовых значениях букв, числовое значение целого выражения будет равно нулю.
Ненулевые многочлены, равные 0, не тождественны.
Ненулевые многочлены могут обращаться в ноль при определённых числовых значениях букв, а при других значениях букв, многочлен не обратиться в ноль.
а + с, обратится в ноль, только при а = –с,
k – х, обратится в ноль, только при k = х.
х 2 + у 2 + 1, не обратится в ноль ни при каких числовых значениях х и у.
А теперь рассмотрим, как доказывать тождество.
Рассмотрим задание. Докажите тождество:
(7а + с)(16а – 5с) = 112а 2 – 19ас – 5с 2
(7а + с)(16а – 5с) = 7а·16а + 7а·(-5)с + 16ас + с(-5)с = 112а 2 – 35ас + 16ас – 5с 2 = 112а 2 – 19ас – 5с 2
Для доказательства, преобразуем левую часть равенства, применив правило умножения многочленов, затем приведём подобные члены.
В результате преобразования левая и правая часть равенства оказались равны, что и требовалось доказать.
А теперь рассмотрим, как можно доказывать неравенства. Рассмотрим следующее задание.
Докажите, что для любых чисел а и с верно следующее неравенство:
Для любого числа а число а 4 ≥ 0.
Для любого числа с число с 4 ≥ 0.
Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое тождество и как найти числовое значение целого выражения.
Для углублённого изучения материала.
Докажем следующее тождество.
у(2х + у)(2х – у) + 5у 2 = 4х 2 у – у 2 (у – 5)
Для доказательства тождества будем преобразовывать как правую, так и левую часть равенства.
Для этого раскроем скобки, используя правила умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен, затем приведем к стандартному виду полученные выражения.
у(2х + у)(2х – у) + 5у 2 = у(2х2х + 2х(-у) + 2ху – уу) + 5у 2 = у(4х 2 – у 2 ) + 5 у 2 = 4х 2 у – у 3 + 5у 2
4х 2 у – у 2 (у – 5) = 4х 2 у – у 2 у + 5 у 2 = 4х 2 у – у 3 + 5у 2
В результате преобразования левая и правая часть равенства оказались равны, что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Вычислите числовое значение выражения при а = х = 1
(3ааааа + 2х) (3а 5 – 2х) + 4х 2
Для решения задания, нужно упростить выражение, используя правило умножения многочлена на многочлен, затем привести полученный многочлен в стандартный вид и привести подобные члены.
(3ааааа + 2х) (3а 5 – 2х) + 9х 2 = (3а 5 + 2х) (3а 5 – 2х) +9х 2 = 3а 5 · 3а 5 + (–2х) · 3а 5 + 2х · 3а 5 – 2х · 2х + 9х 2 = 9а 10 – 6а 5 х + 6а 5 х – 4х 2 + 4х 2 = 9а 10 = 9 · 1 = 9.
2. Найдите периметр закрашенного прямоугольника при а = 40 см, c = 0,8 м, k = 50 см.
Для выполнения задания, нужно вспомнить, что такое периметр – это сумма всех сторон многоугольника. Периметр прямоугольника, это сумма его четырёх сторон а + а + (с + k) + (с + k). Но стоит обратить внимание на сторону с, она выражена в метрах и требует перевода в см, т. е. с = 0,8 м = 8 (см).
Периметр прямоугольника равен:
40 см + 40 см + 80 см + 80 см + 50 см + 50 см = 340 (см).
Рациональные выражения. Общая теория.
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
! Целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.
В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
! Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.
Напомним, что целые выражения имеют смысл при любых значениях переменных.
Чтобы найти значение рационального выражения, надо :
1) подставить числовое значение переменной в данное выражение ;
Целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.
В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.
Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.
Чтобы найти значение рационального выражения, надо:
1) Подставить числовое значение переменной в данное выражение;
2) Выполнить все действия.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений или областью определения выражения.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Данный материал используется мной в качестве дополнительного материала к учебнику «Алгебра 8кл», Мерзляк А.Г., для формирования четких умений по теме «Рациональные выражения. Рациональные дроби». Многим учащимся не совсем понятен теоретический материал, представленный в учебнике. Я прикрепляю к домашнему заданию иную версию, выстроенную логически.
Номер материала: ДБ-734614
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах
Время чтения: 2 минуты
Время чтения: 2 минуты
Во Франции планируют ввести уголовное наказание за буллинг в школе
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о профориентации и перспективах рынка труда
Время чтения: 3 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.