Что называют точкой перегиба

Что называют точкой перегиба

Геометрический смысл точки перегиба состоит в том, что график функции \(f\left( x \right)\) переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую, т.е. кривая и касательная взаимно пересекаются (рисунок \(1\)).

Другое интересное свойство точки перегиба состоит в том, что график функции \(f\left( x \right)\) в окрестности точки перегиба \(\) расположен внутри одной пары вертикальных углов, образованных касательной и нормалью (рисунок \(2\)).

Если функция \(f\left( x \right)\) непрерывна и дифференцируема в точке \(,\) имеет вторую производную \(f»\left( <> \right)\) в некоторой проколотой \(\delta\)-окрестности точки \(\) и если вторая производная меняет знак при переходе через точку \(,\) то \(\) является точкой перегиба функции \(f\left( x \right).\)

Следовательно, в точке \(\) функция меняет направление выпуклости, т.е. c является, по определению, точкой перегиба.

Пусть \(f»\left( <> \right) = 0,\) \(f»’\left( <> \right) \ne 0.\) Тогда точка \(\) является точкой перегиба функции \(f\left( x \right).\)

Источник

Точки перегиба

Понятие точки перегиба.

Пусть функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x_0\) и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечную производную (\(f'(x_0)=+\infty\) или \(f(x_0)=-\infty\)). Тогда если эта функция при переходе через точку \(x_0\) меняет направление выпуклости, то есть существует \(\delta > 0\) такое, что на одном из интервалов \((x_0-\delta,x_0)\), \((x_0,x_<0>+\delta)\) она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то \(x_<0>\) называют точкой перегиба функции \(f(x)\), а точку \((x_<0>,f(x_0))\) — точкой перегиба графика функции \(y=f(x)\).

Например, для функций \(y=x^<3>\) и \(y=x^<1>\) \(x=0\) — точка перегиба.

\(y=x^<3>\)

\(y=x^<1>\)

Необходимое условие наличия точки перегиба.

Если \(x_<0>\) — точка перегиба функции \(f(x)\) и если функция \(f(x)\) имеет в некоторой окрестности точки \(x_<0>\) вторую производную, непрерывную в точке \(x_<0>\), то
$$
f″(x_0)=0.\label
$$

\(\circ\) Пусть \(f″(x_<0>)\neq 0\). Тогда в силу непрерывности функции \(f″(x)\) в точке \(x_<0>\)
$$
\exists\delta > 0:\ \forall x\in U_<\delta>(x_0)\ \rightarrow\ f″(x)=\operatornamef″(x_<0>),\nonumber
$$
то есть \(f″(x) > 0\) или \(f″(x) 0\)), либо строго выпукла вверх на интервале \(U_<\delta>(x_<0>)\). Но тогда \(x_<0>\) не является точкой перегиба. Следовательно, должно выполняться \eqref. \(\bullet\)

Достаточные условия наличия точки перегиба.

(Первое достаточное условие).

Если функция \(f\) непрерывна в точке \(x_<0>\), имеет в этой точке конечную или бесконечную производную, и если функция \(f″(x)\) меняет знак при переходе через точку \(x_<0>\), то \(x_0\) — точка перегиба функции \(f(x)\).

\(\circ\) Пусть, например, функция \(f″(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\) (в точке \(x_0\) вторая производная может и не существовать). Это означает, что существует \(\delta > 0\) такое, что на интервале \(\Delta_<1>=(x_<0>-\delta,x_<0>)\) выполняется неравенство \(f″(x) 0\).

Тогда gо теореме о достаточном условии выпуклости функция \(f(x)\) выпукла вверх на интервале \(\Delta_1\) и выпукла вниз на интервале \(\Delta_2\). Следовательно, точка \(x_<0>\) удовлетворяет всем условиям, указанным в определении точки перегиба. \(\bullet\)

Например, для функции \(f(x)=\operatornamex\) точка \(x=0\) — точка перегиба, так как \(f″(x)=-\displaystyle \frac<2x><(1+x^<2>)^<2>>\) меняет знак при переходе через точку \(x=0\) (рис. 1.3).

\(f(x)=\operatornamex\)

(Второе достаточное условие).

Если \(f^<(2)>(x_0)=0,\ f^<(3)>(x_0)\neq 0\), то \(x_0\) — точка перегиба функции \(f(x)\).

\(\circ\) Так как \(f^<(3)>(x_0)\neq 0\), то по теореме о строгом возрастании (убывании) функции \(f^<(2)>(x_0)\) либо строго возрастает, либо строго убывает в точке \(x_<0>\). По условию \(f^<(2)>(x_0)=0\), и поэтому \(f^<(2)>(x)\) имеет разные знаки на интервалах \((x_<0>-\delta,x_<0>)\) и \((x_<0>,x_<0>+\delta)\) при некотором \(\delta > 0\), откуда, используя теорему о первом достаточном условии наличия точек перегиба, заключаем, что \(x_0\) — точка перегиба функции \(f(x)\). \(\bullet\)

Например, для функции \(f(x)=\sin x\) (рис. 1.4) точка \(x=0\) — точка перегиба, так как \(f^<(2)>(0)=0,\;f^<(3)>(0)=-1\).

\(f(x)=\sin x\)

Источник

Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба.

Когда мы чертим график функции, важно определить интервалы выпуклости и точки перегиба. Они, наряду с промежутками убывания и возрастания, нужны нам для четкого представления функции в графическом виде.

Понимание этой темы требует знания того, что такое производная функции и как ее вычислить до некоторого порядка, а также умения решать разные виды неравенств.

В начале статьи определяются основные понятия. Потом мы покажем, какая связь существует между направлением выпуклости и значением второй производной на определенном интервале. Далее мы укажем условия, в которых можно определить точки перегиба графика. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое выпуклость/вогнутость функции и точки перегиба графика функции

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вниз на некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала.

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала.

Выпуклую вниз функцию можно иначе назвать вогнутой. Оба определения наглядно показаны на графике ниже:

Проще говоря, точка перегиба – это место на графике, в котором есть касательная, и направление выпуклости графика при прохождении через это место будет менять направление выпуклости. Если вы не помните, при каких условиях возможно существование вертикальной и невертикальной касательной, советуем повторить раздел о касательной графика функции в точке.

Ниже указан график функции, имеющей несколько точек перегиба, которые выделены красным. Уточним, что наличие точек перегиба не является обязательным. На графике одной функции их может быть одна, две, несколько, бесконечно много или ни одной.

Как найти интервалы выпуклости функции

В этом пункте мы расскажем о теореме, с помощью которой можно определить промежутки выпуклости на графике конкретной функции.

График функции будет иметь выпуклость по направлению вниз или вверх в том случае, если у соответствующей ему функции y = f ( x ) будет вторая конечная производная на указанном интервале x при условии, что неравенство f » ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ X ( f » ( x ) ≤ 0 ∀ x ∈ X ) будет верным.

Используя данную теорему, можно найти промежутки вогнутости и выпуклости на любом графике функции. Для этого нужно просто решить неравенства f » ( x ) ≥ 0 и f » ( x ) ≤ 0 на области определения соответствующей функции.

Уточним, что те точки, в которых вторая производная не существует, но функция y = f ( x ) определена, будут включаться в интервалы выпуклости и вогнутости.

Посмотрим на примере конкретной задачи, как правильно применять эту теорему.

Решение

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел. Начнем с вычисления второй производной.

Для наглядности изобразим график функции и отметим на нем выпуклую часть синим, а вогнутую – красным цветом.

А что же делать в случае, если область определения второй производной не совпадает с областью определения функции? Здесь нам пригодится замечание, сделанное выше: те точки, где конечная вторая производная не существует, мы тоже будем включать в отрезки вогнутости и выпуклости.

Решение

Для начала выясним область определения функции.

Теперь вычисляем вторую производную:

Нанесем получившиеся точки на график и определим знак выражения на всех интервалах, которые войдут в область определения исходной функции. На графике эта область обозначена штриховкой. Если значение положительно, отмечаем интервал плюсом, если отрицательно, то минусом.

Изобразим график, отметив на нем выпуклую часть синим, а вогнутую красным цветом. Вертикальная асимптота отмечена черным пунктиром.

Условия перегиба графика функции

Начнем с формулировки необходимого условия перегиба графика некоторой функции.

Первое достаточное условие существования точки перегиба графика функции

Все сказанное выше удобно представить в виде последовательности действий.

Как найти точки перегиба графика функции

Для наглядности разберем две задачи.

Решение

Указанная функция определена на всем множестве действительных чисел. Считаем первую производную:

Вычисляем вторую производную:

Далее определяем, когда она будет обращаться в 0 :

Дуги показывают направление выпуклости графика в каждом интервале.

Решение задачи наглядно изображено на графике: синий цвет – выпуклости, красный – вогнутость, черный цвет означает точки перегиба.

Решение

Область определения заданной функции – множество всех действительных чисел. Вычисляем производную:

Это значит, что через данную точку будет проходить вертикальная касательная к графику. Следовательно, 3 может быть абсциссой точки перегиба.

Вычисляем вторую производную. Также находим область ее определения и точки, в которых она обращается в 0 :

У нас получились еще две возможные точки перегиба. Нанесем их все на числовую прямую и разметим получившиеся интервалы знаками:

Перемена знака будет происходить при прохождении через каждую указанную точку, значит, они все являются точками перегиба.

Ответ: Изобразим график функции, отметив вогнутости красным, выпуклости синим и точки перегиба – черным:

Зная первое достаточное условие перегиба, мы можем определить нужные точки, в которых не обязательно наличие второй производной. Исходя из этого, первое условие можно считать наиболее универсальным и пригодным для решения разных типов задач.

Отметим, что существует еще два условия перегиба, однако их можно применять только тогда, когда в указанной точке есть конечная производная.

Второе достаточное условие перегиба графика функции

Решение

Первое, что нужно сделать, – это убедиться в том, что данная точка вообще будет принадлежать графику этой функции.

Заданная функция определена для всех аргументов, являющихся действительными числами. Вычислим первую и вторую производные:

Третья производная не будет обращаться в нуль ни при одном значении x. Поэтому можно заключить, что данная точка будет точкой перегиба графика функции.

Ответ: Покажем решение на иллюстрации:

Третье достаточное условие перегиба графика функции

Решение

Теперь вычислим, при каких значениях вторая производная будет обращаться в 0 :

Мы получили, что при x = 3 график функции может иметь точку перегиба. Используем третье условие, чтобы подтвердить это:

Ответ: Вот график данной функции с отмеченными выпуклостями, вогнутостями и точкой перегиба:

Источник

Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба.

При исследовании функции и построении ее графика на одном из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Эти данные вместе с промежутками возрастания и убывания позволяют схематично представить график исследуемой функции.

Дальнейшее изложение подразумевает, что Вы умеете находить производные функции до некоторого порядка и решать неравенства разных видов.

Изучение материала начнем с необходимых определений и понятий. Далее озвучим связь между значением второй производной функции на некотором интервале и направлением ее выпуклости. После этого перейдем к условиям, которые позводляют определять точки перегиба графика функции. По тексту будем приводить характерные примеры с подробными решениями.

Навигация по странице.

Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.

Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.

Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.

На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

Нахождение интервалов выпуклости функции.

Сформулируем теорему, которая позволяет определять промежутки выпуклости функции.

Эта теорема позволяет находитьть промежутки вогнутости и выпуклости функции, нужно лишь на области определения исходной функции решить неравенства и соответственно.

Следует отметить, что точки, в которых функция y=f(x) определена, а вторая производная не существует, будем включать в интервалы вогнутости и выпуклости.

Разберемся с этим на примере.

Выяснить промежутки, на которых график функции имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз.

Область определения функции — это все множество действительных чисел.

Найдем вторую производную.

Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить и соответственно.

Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале и выпуклая вверх на интервале .

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом.

Сейчас рассмотрим пример, когда область определения второй производной не совпадает с областью определения функции. В этом случае, как мы уже отмечали, точки области определения, в которых не существует конечная вторая производная, следует включать в интервалы выпуклости и (или) вогнутости.

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции .

Начнем с области определения функции:

Найдем вторую производную:

Областью определения второй производной является множество . Как видите, x=0 принадлежит области определения исходной функции, но не принадлежит области определения второй производной. Не забывайте про эту точку, ее нужно будет включить в интервал выпуклости и (или) вогнутости.

Таким образом,

и

При график функции имеет выпуклость направленную вниз, при — выпуклость направленную вверх.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, черной пунктирной прямой является вертикальная асимптота.

Необходимое и достаточные условия перегиба.

Необходимое условие перегиба.

Сформулируем необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке и имеет при непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство .

Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения , в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. Что это означает? А означает это следующее: абсциссами точек перегиба могут быть все из области определения функции, для которых и . Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль.

Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .

Сейчас обобщим всю информацию в виде алгоритма.

Алгоритм нахождения точек перегиба функции.

Находим все абсциссы возможных точек перегиба графика функции ( или и ) и выясняем, проходя через какие вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции.

Рассмотрим два примера нахождения точек перегиба для разъяснения.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Областью определения функции является все множество действительных чисел.

Найдем первую производную:

Областью определения первой производной также является все множество действительных чисел, поэтому равенства и не выполняется ни для каких .

Найдем вторую производную:

Выясним при каких значениях аргумента x вторая производная обращается в ноль:

Теперь осталось проверить по достаточному признаку перегиба, в каких из этих точек вторая производная меняет знак. Для этого нанесем точки x=-2 и x=3 на числовую ось и, как в обобщенном методе интервалов, расставим знаки второй производной над каждым промежутком. Под каждым интервалом схематично дугами показано направление выпуклости графика функции.

Взглянув еще раз на числовую ось и знаки второй производной на ее промежутках, можно делать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости. График функции выпуклый на интервале и вогнутый на интервалах и .

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

Найдите абсциссы всех точек перегиба графика функции .

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел.

Найдем производную.

Находим вторую производную, область ее определения и точки, в которых она обращается в ноль:

Получили еще две возможные абсциссы точек перегиба. Отмечаем все три точки на числовой прямой и определяем знак второй производной на каждом из полученных интервалов.

Вторая производная меняет знак, проходя через каждую из точек, следовательно, все они являются абсциссами точек перегиба.

Части графика функции на интервалах выпуклости изображены синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

Первое достаточное условие перегиба графика функции позволяет определять точки перегиба и не требуют существования второй производной в них. Поэтому, первое достаточное условие можно считать универсальным и самым используемым.

Сейчас сформулируем еще два достаточных условия перегиба, но они применимы лишь при существовании конечной производной в точке перегиба до некоторого порядка.

Второе достаточное условие перегиба.

Выяснить, является ли точка точкой перегиба графика функции .

Для начала убедимся, что точка принадлежит графику функции:

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Найдем первую и вторую производные.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом, точка перегиба показана черной точкой.

Третье достаточное условие перегиба.

Найдите точки перегиба графика функции .

Функция определена на всем множестве действительных чисел.

Таким образом, в точке с абсциссой x=3 может быть перегиб графика функции. Чтобы убедиться в том, что х=3 действительно абсцисса точки перегиба, воспользуемся третьим достаточным условием.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом, точка перегиба показана черной точкой.

Источник