Что называют стандартным видом одночлена

Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · ( − 1 ) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

Приведем примеры степеней одночлена.

Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Источник

Одночлен и его стандартный вид

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.

Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.

Стандартный вид одночлена

Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.

Что такое одночлен стандартного вида?

Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).

Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.

Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.

-12a 3 b 2 (-4b 7 )=48a 3 b 9

Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.

Степень одночлена

Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.

Рассмотрим, как найти степень одночлена.

– 113с 3 х 6

У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9. Пример №5.

18ху

У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.

Источник

Одночлены

Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Выражения x + 2 или не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.

Число 0 называют нулевым одночленом.

Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы — буквенными множителями одночлена.

Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.

Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c:

Числовой множитель: 5.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена — это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.

А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:

так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.

Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена — это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.

Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит.

Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.

Пример. В одночлене коэффициент означает, что от x 2 берётся , потому что , а умножить на значит взять от множимого.

Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.

Приведение одночлена к стандартному виду

С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Привести одночлен к стандартному виду — значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:

Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:

Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:

Источник

Одночлены

Определения и примеры

Приведём ещё примеры одночленов:

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 5 2 является одночленом.

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Итак, приведём одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:

Мы привели одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a 5 b 2

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya 2 к стандартному виду

Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:

Пример 2. Привести одночлен 2m 3 n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m 3 × m и n × n

Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.

Сложение и вычитание одночленов

Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 6a 2 b и 2a 2 b

Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a 2 b оставим без изменений

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a 2 b 3 одночлен 2a 2 b 3

Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:

Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:

Умножение одночленов

Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

Пример 2. Перемножить одночлены 5x 2 y 3 и 7x 3 y 2 c

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

Пример 3. Перемножить одночлены −5a 2 bc и 2a 2 b 4

Пример 4. Перемножить одночлены x 2 y 5 и (−6xy 2 )

Пример 5. Найти значение выражения

Деление одночленов

Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Например, разделим одночлен 8a 2 b 2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:

Первый одночлен 8a 2 b 2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.

Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.

Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:

Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:

Пример 2. Разделить одночлен 12a 2 b 3 c 3 на одночлен 4a 2 bc

Пример 3. Разделить одночлен x 2 y 3 z на одночлен xy 2

Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.

и такое частное при перемножении с делителем x 2 будет давать в результате делимое 2x

Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.

Возведение одночлена в степень

Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.

Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.

Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена

Пример 2. Возвести одночлен −5a 3 b во вторую степень.

Пример 3. Возвести одночлен − a 2 bc 3 в пятую степень.

В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:

Пример 4. Представить одночлен 4x 2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Пример 5. Представить одночлен 121a 6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Таким образом, если произведение 11a 3 возвести во вторую степень, то получится 121a 6

(11a 3 ) 2 = 11 2 × (a 3 ) 2 = 121a 6

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 1. Разложить одночлен 3a 3 b 2 на множители

Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b

Либо степень b 2 можно не раскладывать на множители b и b

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a 2 b 3 c 4 на множители.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены

Перечень рассматриваемых вопросов:

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).

Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.

Правило приведения одночлена к стандартному виду:

Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:

Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Известное изречение гласит: «Теория без практики – мертва, практика без теории – слепа».

И сегодня мы найдём ту «золотую середину», между теорией и практикой, при дальнейшем изучении одночленов.

Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.

Стандартный вид одночлена – это такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных букв. При этом каждая буква участвует в записи один раз, а все буквы записаны в алфавитном порядке.

Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.

Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).

А одночлены 14ac 5 ax и 3k4k 2 записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, а буквенные множители повторяются.

Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.

Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

12a 2 bc 3 – одночлен 6-й степени.

xy 4 – одночлен 5-й степени

1,2cp 8 – одночлен 9-й степени

Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.

Это одночлены 0 степени.

У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.

Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.

• перемножить все числовые множители;

• поставить полученный коэффициент на первое место;

• получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.

Привести одночлен 4ac(-3)a 2 ck к стандартному виду.

Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы c – она равна двум.

Поставим полученное числовое значение в начало, буквенные множители запишем в алфавитном порядке.

Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.

Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:

1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;

2. привести все одночлены к стандартному виду;

3. сложить (вычесть) их коэффициенты;

4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.

Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.

Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.

Сумма подобных одночленов:

Разность подобных одночленов:

Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.

Действия над одночленами.

Усложним задачу. Приведём подобные одночлены:

-(-7)aaa · (bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a

Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.

Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.

Далее рассмотрим букву k, её степень находится как произведение степени 1 и 5, т.е. степень буквы k равна 5. Итак, первый одночлен в стандартном виде выглядит так: 448a 8 b 3 c 6 k 5

Второй одночлен записан в стандартном виде.

А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.

-(-7)aaa · 2(bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a = 448a 8 b 3 c 6 k 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 14a 8 b 3 c 6 k 5 = (448 + 2 – 14)a 8 b 3 c 6 k 5 = 436a 8 b 3 c 6 k 5

Таким образом, мы привели подобные одночлены.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах

Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.

Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.

Источник