Что называют средним арифметическим

Средняя арифметическая величина. Понятие средней арифметической

Средним арифметическим значением (часто его называют просто «среднее») называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности остается неизменным.

Исходя из определения, формула для расчета средней арифметической величины имеет вид:

= х₁ + х₂ + … + х_n = ,

где – средняя величина, n – количество значений, которое принимает СВ.

Результат можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе х_i на число элементов в группе с таким количеством. Получим формулу

= ,

где n – число групп.

Такую форму средней арифметической называют взвешенной арифметической в отличие от простой средней.

В качестве «весов» здесь выступают числа единиц совокупности в разных группах.

Свойства средней величины

Имеется несколько замечательных свойств средней величины.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений от среднего значения признака равна нулю.

1.1. Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на одно и то же число, то и средняя величина увеличится или уменьшится во столько же раз.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака добавить/вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет / уменьшится на это же число.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины меньше, чем от любого другого числа.

Мода

Модой дискретной случайной величины Х – обозначается Mo(X) называется значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность.

Отметим, что мода – это число, которое встречается чаще всего, а не частота встречаемости этого значения.

Если в вариационном ряду имеются два или несколько равных (и даже несколько различных, но больших чем соседние) значений признака, то вариационный ряд считается бимодальным («верблюдоподобным») либо мультимодальным. Это говорит о неоднородности совокупности значений, возможно, представляющей собой «агрегат» нескольких совокупностей с разными модами.

Медиана

Если упорядочить данные по величине, начиная с самой маленькой величины, и заканчивая самой большой, то медиана также будет характеристикой усреднения в упорядоченном наборе данных.

Определение. Медиана делит упорядоченный ряд значений пополам с равным числом (количеством) значений как выше, так и ниже ее.

Медиана (обозначается ) – это так называемое «серединное значение» упорядоченного ряда значений СВ.

Исходя из определения, количество значений, расположенных левее и правее медианы на числовой оси, одинаково.

Вариация массовых явлений. «Меры рассеяния»

Размах (интервал изменения)

Размах – это разность между максимальным и минимальным значением переменой в наборе данных. Размах обозначается R.

Размах R является самым простым показателем, который можно получить для выборки:

.

Понятно, что чем сильнее варьирует признак, тем больше и наоборот.

Математическое ожидание

Одной из основных числовых характеристик является математическое ожидание(или взвешенное среднее значение).

Определение. Математическое ожидание (оно обозначается МХ или М(Х)) представляет собой среднее ожидаемое значение рассматриваемой случайной величины в больших сериях испытаний с учетом вероятностей принимаемых значений и вычисляемое по формуле:

МХ =М(Х) = ,

которая в сокращенной записи выглядит следующим образом:

Или, другими словами: Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

В серии из большого количества испытаний среднее арифметическое полученных в этой серии значений СВ будет приближаться к ее математическому ожиданию. Этот факт имеет два важных следствия.

Следствие 1. Математическое ожидание СВ, распределение которой нам неизвестно, можно оценить средним арифметическим значений в достаточно большой серии ее последовательных испытаний. Более того, чем длиннее серия, тем точнее оценка.

Следствие 2. В практически интересных случаях серий испытаний можно оценивать наиболее вероятный результат, исходя из математического ожидания некоторой СВ.

Источник

3 простых формулы, чтобы посчитать среднее арифметическое

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие среднего арифметического

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Вот так:

Например, найдем среднее арифметическое чисел 5, 6 и 7. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.

Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на три.

Так получилась формула среднего арифметического:

Способы вычисления среднего арифметического

Стандартная формула. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и поделить эту сумму на их количество. Формула выглядит так:

Вычисление моды или наиболее часто встречающегося значения. Формула такая:

Вычисление медианы, то есть значения, которое делит упорядоченную выборку на две половины и находится между ними. Если такого значения нет, за медиану принимают среднее число между границами половин выборки. Формула выглядит так:

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: в магазине, на работе, в диалоге с другом или во время презентации перед инвесторами. Еще пригодятся, чтобы рассчитать среднюю скорость движения.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.

Примеры расчета среднего арифметического

Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.

Пример 2. Посчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.

Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.

Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.

Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.

Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.

Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.

В 5 классе можно искать среднее арифметическое с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Источник

Мерзляк 5 класс — § 36. Среднее арифметическое. Среднее значение величины

Вопросы к параграфу

1. Что называют средним арифметическим нескольких чисел?

Средним арифметическим чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.

2. Приведите примеры средних значений величин.

Часто используются следующие средние величины:

Решаем устно

1. Заполните цепочку вычислений:

2. Найдите четвёртую часть разности 5,2 — 2,4.

3. Найдите пятую часть произведения 1,8 • 1,5.

(1,8 • 1,5) : 5 = 1,8 • (1,5 : 5) = 1,8 • 0,3 = 0,54

5. От села до станции 2 км. Успеет ли пешеход на поезд, если выйдет из села за 0,6 ч до отхода поезда и будет двигаться со скоростью 2,5 км/ч?

2,5 • 0,6 = 1,5 (км) — можно пройти за 0,6 ч при скорости движения 2,5 км/ч.

Ответ: пешеход не успеет.

Упражнения

1033. Найдите среднее арифметическое чисел:

1) 10,3 и 9,1

(10,3 + 9,1) : 2 = 19,4 : 2 = 9,7

2) 2,8; 16,9 и 22

(2,8 + 16,9 + 22) : 3 = 41,7 : 3 = 13,9

1034. Найдите среднее арифметическое чисел:

1) 4,2 и 2,1

(4,2 + 2,1) : 2 = 6,3 : 2 = 3,15

2) 3,9; 6; 9,18 и 15,8

(3,9 + 6 + 9,18 + 15,8) : 4 = 34,88 : 4 = 8,72

1035. В течение недели в 8 ч утра Саша измерял температуру воздуха. Он получил такие результаты: 20 °С; 18 °С; 16 °С; 15 °С; 14 °С; 17 °С; 19 °С. Найдите среднее значение проведённых измерений.

(20 + 18 + 16 + 15 + 14 + 17 + 19) : 7 = 119 : 7 = 17 ( °С) — средняя температура воздуха в 8 ч утра.

1036. Найдите среднюю оценку по математике учащихся вашего класса за II четверть. Ответ округлите до единиц.

Для этого надо сложить все оценки учащихся классы, выставленные за II четверть, затем разделить полученное число на количество учащихся и округлить его до единиц.

Например, в классе 10 учеников, которые за II четверть получили оценки: 4, 5, 5, 3, 3, 4, 3, 5, 5, 5. Рассчитаем среднее арифметическое:

(4 + 5 + 5 + 3 + 3 + 4 + 3 + 5 + 5 + 5) : 10 = (4 • 2 + 5 • 5 + 3 • 3) : 10 = (8 + 25 + 9) : 10 = 42 : 10 = 4,2 ≈ 4.

Значит средняя оценка по математике — 4.

1037.1) Поезд ехал 4 ч со скоростью 64 км/ч и 5 ч со скоростью 53,2 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на протяжении всего пути.

1) 64 • 4 = 256 (км) — проехал поезд в первый отрезок времени.

2) 53,2 • 5 = 266 (км) — проехал поезд во второй отрезок времени.

3) 256 + 266 = 522 (км) — проехал поезд всего.

4) 4 + 5 = 9 (часов) — двигался поезд всего.

5) 522 : 9 = 58 (км/ч) — средняя скорость поезда.

2) В автомастерской работает 10 человек. У двоих из них месячная зарплата составляет 22 800 р., у четверых — 28 000 р., у троих 31 000 р., а у одного 32 000 р. Какова средняя зарплата работников мастерской?

(22 800 • 2 + 28 000 • 4 + 31 000 • 3 + 32 000) : 10 = 282 600 : 10 = 28 260 (рублей) — средняя месячная зарплата работников.

Ответ: 28 260 рублей.

1038.1) Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 56,4 км/ч и 4 ч со скоростью 62,7 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.

1) 56,4 • 3 = 169,2 (км) — проехал автомобиль в первый отрезок времени.

2) 62,7 • 4 = 250,8 (км) — проехал автомобиль во второй отрезок времени.

3) 169,2 + 250,8 = 420 (км) — проехал автомобиль всего.

4) 3 + 4 = 7 (часов) — двигался автомобиль всего.

5) 420 : 7 = 60 (км/ч) — средняя скорость автомобиля.

2) Фермер собрал с каждого гектара поля площадью 30 га по 30,2 ц пшеницы, а с каждого гектара поля площадью 20 га — по 32,3 ц пшеницы. Какой средний урожай с одного гектара собрал фермер?

1) 30,2 • 30 = 906 (ц) — собрали с первого поля.

2) 32,3 • 20 = 646 (ц) — собрали со второго поля.

3) 906 + 626 = 1552 (ц) — собрали всего.

4) 30 + 20 = 50 (га) — площадь двух полей.

5) 1552 : 50 = 31,04 (ц/га) — средняя урожайность.

1039.Среднее арифметическое чисел 7,8 и х равно 7,2. Найдите х.

(7,8 + х) : 2 = 7,2
7,8 + х = 7,2 • 2
7,8 + х = 14,4
х = 14,4 — 7,8
х = 6,6

1040.Среднее арифметическое чисел 6,4 и у равно 8,5. Найдите у.

(6,4 + у) : 2 = 8,5
6,4 + у = 8,5 • 2
6,4 + у = 17
у = 17 — 6,4
у = 10,6

1041.Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых в 4 раза меньше второго, равно 10. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно х, тогда второе число равно 4х. Составим уравнение:

(х + 4х) : 2 = 10
5х : 2 = 10
5х = 10 • 2
5х = 20
х = 20 : 5
х = 4 — первое число.

4 • 4 = 16 — второе число.

Ответ: первое число равно 4, а второе число равно 16.

1042.Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых на 4,6 больше второго, равно 8,2. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно х, тогда второе число равно (х — 4,6). Составим уравнение:

(х + (х — 4,6)) : 2 = 8,2
(2х — 4,6) : 2 = 8,2
2х — 4,6 = 8,2 • 2
2х — 4,6 = 16,4
2х = 16,4 + 4,6
2х = 21
х = 21 : 2
х = 10,5 — первое число.

10,5 — 4,6 = 5,9 — второе число.

Ответ: первое число 10,5, а второе число 5,9.

1043. Отметьте на координатном луче числа а и b и их среднее арифметическое, если:

1) а = 2, b = 6

с = (2 + 6) : 2 = 8 : 2 = 4 — среднее арифметическое.

2) а = 4, b = 7

с = (4 + 7) : 2 = 11 : 2 = 5,5 — среднее арифметическое.

Как расположена точка, соответствующая среднему арифметическому чисел а и b, относительно точек, соответствующих числам а и b?

Точка, соответствующая среднему арифметическому, расположена ровно посередине между точками а и b.

1044.Принимая участие в математической олимпиаде, Дима решил 10 задач. За каждую задачу он мог получить не более 12 баллов. За первые восемь задач мальчик получил среднюю оценку 7 баллов. Сколько баллов получил Дима за каждую из оставшихся двух задач, если среднее количество баллов за одну задачу составляло 8 баллов?

1) 8 • 10 = 80 (баллов) — получил Дима всего.

2) 7 • 8 = 56 (баллов) — получил Дима за первые 8 задач.

3) 80 — 56 = 24 (балла) — получил Дима за 9-ю и 10-ю задачу.

4) 24 : 2 = 12 (баллов) — средний бал за последние две задачи.

Так как, по условию, Дима не мог получить за задачу более 12 баллов, то оценка двух последних задач равна среднему баллу за них, а именно 12 баллам.

Ответ: за 9-ю и 10-ю задачу Дима получил по 12 баллов.

1045.Автомобиль ехал 3,4 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч и 1,6 ч по грунтовой дороге. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если средняя скорость на протяжении всего пути составляла 75,6 км/ч?

1) 3,4 + 1,6 = 5 (часов) — всего двигался автомобиль.

2) 75,6 • 5 = 378 (км) — всего проехал автомобиль.

3) 3,4 • 90 = 306 (км) — проехал автомобиль по шоссе.

4) 378 — 306 = 72 (км) — проехал автомобиль по грунтовой дороге.

5) 72 : 1,6 = 45 (км/ч) — скорость автомобиля по грунтовой дороге.

1046.Купили 2 кг конфет одного вида по 255 р. за килограмм, 4 кг конфет второго вида по 285 р. за килограмм и ещё 3 кг конфет третьего вида. Средняя цена купленных конфет составляла 260 р. за килограмм. Сколько стоил килограмм конфет третьего вида?

1) 255 • 2 = 510 (р) — заплатили за конфеты первого вида.

2) 285 • 4 = 1 140 (р) — заплатили за конфеты второго вида.

3) 1 140 + 510 = 1 640 (р) — заплатили за конфеты первых двух видов.

4) 2 + 4 + 3 = 9 (кг) — конфет купили всего.

5) 260 • 9 = 2340 (р) — заплатили за все конфеты.

6) 2340 — 1650 = 690 (р) — заплатили за конфеты третьего вида.

7) 690 : 3 = 230 (р) — цена за кг конфет третьего вида.

1047. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 2,1, а среднее арифметическое трёх других чисел — 2,8. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.

(2,1 • 4 + 2,8 • 3) : 7 = (8,4 + 8,4) : 7 = 16,8 : 7 = 2,4 — среднее арифметическое семи чисел.

Ответ: среднее арифметическое 2,4.

1048.Среднее арифметическое семи чисел равно 10,2, а среднее арифметическое трёх других чисел — 6,8. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.

(10,2 • 7 + 6,8 • 3) : 10 = (71,4 + 20,4) : 10 = 91,8 : 10 = 9,18 — среднее арифметическое десяти чисел.

Ответ: среднее арифметическое 9,18.

1049. Средний возраст одиннадцати футболистов команды равен 22 годам. Во время игры одного из футболистов удалили с поля, после чего средний возраст оставшихся игроков составил 21 год. Сколько лет было футболисту, который покинул поле?

1) 22 • 11 = 242 (года) — суммарный возраст всех одиннадцати игроков команды.

2) 21 • 10 = 210 (лет) — суммарный возраст оставшихся десяти игроков команды.

3) 242 — 210 = 32 (года) — возраст удалённого игрока.

1050. На сколько среднее арифметическое всех чётных чисел от 1 до 1 000 включительно больше, чем среднее арифметическое всех нечётных чисел от 1 до 1 000 включительно?

1051.Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.

Упражнения для повторения

1052. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

1) a = 9,88 : 3,8 = 2,6

Ответ: a = 2,6; b =2,06; с = 3,5.

Ответ: x = 2,8; y = 2,74; z = 13,4.

1053.1) Периметр прямоугольника равен 36,8 см, а одна из его сторон — 13,8 см. Вычислите площадь прямоугольника.

Дано:

P = 36,8 см
a = 13,8 см

Найти:

Решение:

P = (a + b) • 2. Составим уравнение:

36,8 = (13,8 + b) • 2
13,8 + b = 36,8 : 2
13,8 + b = 18,4
b = 18,4 — 13,8
b = 4,6 (см) — длина второй стороны прямоугольника.

S = 13,8 • 4,6 = 63,48 (см²) — площадь прямоугольника.

2) Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 7,2 см, что составляет 0,8 его длины и 0,18 его высоты. Вычислите объём параллелепипеда.

1) 7,2 : 8 • 10 = 0,9 • 10 = 9 (см) — длина прямоугольного параллелепипеда.

2) 7,2 : 18 • 100 = 0,4 • 100 = 40 (см) — высота прямоугольного параллелепипеда.

3) 9 • 7,2 • 40 = 360 • 7,2 = 2592 (см³) — объём прямоугольного параллелепипеда.

1054. В 25 банок разлили поровну 32 кг мёда. Сколько мёда налили в каждую банку? Ответ округлите до десятых.

32 : 25 = 1,28 (кг) ≈ 1,3 (кг) — мёда налили в каждую банку.

Задача от мудрой совы

1055.Одновременно на сковороду можно положить двух карасей. Чтобы поджарить одного карася с одной стороны, нужна 1 мин. Можно ли за 3 мин поджарить с двух сторон трёх карасей?

Да, если действовать следующим образом:

Источник