Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью: определение и примеры нахождения
В статье ниже мы найдем определение, что же представляет собой расстояние между прямой и плоскостью, параллельными друг другу; разберем способ определить это расстояние и применим полученный навык в решении конкретных задач.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью: определение
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.
Указанное определение имеет тесную взаимосвязь со следующей теоремой.
Нахождение расстояния между параллельными прямой и плоскостью
Искомое расстояние между параллельными прямой и плоскостью обычно находится с использованием теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и пр.
Если же в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат, мы можем применить метод координат. Разберем его подробнее.
Построим решение этой задачи на указанном выше определении расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.
Вывод этой формулы можно изучить в статье о нахождении расстояния от точки до плоскости.
Таким образом, мы можем сформулировать алгоритм для нахождения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью:
— определяем координаты точки, принадлежащей заданной прямой (для этого пригодятся навыки работы с основными видами уравнений в пространстве);
Решение
Решение
Теперь запишем нормальное уравнение плоскости, заданной условием задачи уравнением плоскости в отрезках. Сначала осуществим переход к общему уравнению плоскости:
Полученное общее уравнение уже является нормальным уравнением плоскости, поэтому в дальнейших преобразованиях необходимости нет.
Наконец, вычислим расстояние от точки до плоскости, которое и будет являться требуемым расстоянием от заданной прямой к заданной плоскости:
Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения
Статья начинается с определение угла между прямой и плоскостью. В данной статье будет показано нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат. Подробно будут рассмотрены решение примеров и задач.
Угол между прямой и плоскостью – определение
Предварительно необходимо повторить понятие о прямой линии в пространстве и понятие плоскости. Для определения угла между прямой и плоскостью необходимый несколько вспомогательных определений. Рассмотрим эти определения подробно.
Прямая и плоскость пересекаются в том случае, когда они имеют одну общую точку, то есть она является точкой пересечения прямой и плоскости.
Прямая, пересекающая плоскость, может являться перпендикулярной относительно плоскости.
Прямая является перпендикулярной к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, находящейся в этой плоскости.
Отсюда получаем, что перпендикулярная к плоскости γ проекция прямой имеет точку пересечения. Получаем, что проекция прямой a – это прямая, принадлежащая плоскости γ и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
На данный момент имеем все необходимые сведения и данные для формулировки определения угла между прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, причем прямая не перпендикулярна к ней.
Определение угла, приведенное выше, помогает прийти к выводу о том, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми, то есть заданной прямой вместе с ее проекцией на плоскость. Значит, угол между ними всегда будет острым. Рассмотрим на картинке, приведенной ниже.
Угол, расположенный между прямой и плоскостью, считается прямым, то есть равным 90 градусов, а угол, расположенный между параллельными прямыми, не определяется. Бывают случаи, когда его значение берется равным нулю.
Нахождение угла между прямой и плоскостью
Задачи, где необходимо найти угол между прямой и плоскостью, имеет множество вариация решения. Ход самого решения зависит от имеющихся данных по условию. Частыми спутниками решения являются признаки подобия или равенства фигур, косинусы, синусы, тангенсы углов. Нахождение угла возможно при помощи метода координат. Рассмотрим его более детально.
Для начала необходимо применить определение угла между прямой и плоскостью методом координат. Тогда получим следующее.
Для вычисления угла необходимо преобразовать формулу, позволяющую получить значение этого угла при помощи имеющихся координат направляющего вектора прямой и нормального вектора.
Отсюда имеем, что косинусы равных углов являются равными, тогда последние равенства записываются в виде системы
Отсюда получим, что синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором заданной плоскости.
Раздел нахождения угла, образованного двумя векторами, выявили, что этот угол принимает значение скалярного произведения векторов и произведения этих длин. Процесс вычисления синуса угла, полученного пересечением прямой и плоскости, выполняется по формуле
Значит, формулой для вычисления угла между прямой и плоскостью с координатами направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости после преобразования получается вида
Выполним решение нескольких подобных примеров для закрепления материала.
Необходимо перейти к вычислению синуса угла между прямой и плоскостью. Для этого необходимо произвести подстановку координат векторов a → и b → в заданную формулу. Получаем выражение вида
Отсюда найдем значение косинуса и значение самого угла. Получим:
Необходимо произвести подстановку координат векторов для вычисления искомого угла, образованного пересечением прямой и плоскости. получим выражение вида:
Ортогональнальная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
Проекция прямой на плоскость
Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.
Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.
Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».
Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».
Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.
Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).
Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице
Фигура
Рисунок
Свойство проекции
Наклонная к плоскости α
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Угол между прямой и плоскостью
Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O. )
На рисунке это угол φ
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O )
На рисунке это угол φ
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.
На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.
Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.
Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.
тремя точками, не лежащими прямой и точкой, не лежащей
на одной прямой на этой прямой
двумя пересекающимися прямыми двумя параллельными прямыми
Прямые в пространстве
Две прямые в пространстве пересекаются, если они имеют лишь одну общую точку:
Признак параллельности прямых:
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:
Прямая и плоскость в пространстве
Если каждая точка прямой принадлежит плоскости, то говорят, что и прямая принадлежит плоскости:
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости:
Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку:
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:
Плоскость и не лежащая на ней прямая либо пересекаются (в одной точке), либо не пересекаются (параллельны).
Признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда она параллельна некоторой прямой в этой плоскости:
Признак параллельности прямых:
Признак параллельности прямых:
Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей:
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения этой прямой и плоскости.
Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости:
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой:
Прямые, перпендикулярные одной плоскости, – параллельны:
Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, которые соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости, считают расстоянием между этими точкой и плоскостью.
Наклонной, проведённой из данной точки к плоскости, называется любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и не является перпендикуляром, проведённым к этой плоскости.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, называется проекцией (ортогональной проекцией) этой наклонной на плоскость.
АВ – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости α ;
АС – наклонная, проведённая из точки А к плоскости α ;
В – основание перпендикуляра АВ ;
С – основание наклонной АС ;
ВС – проекция наклонной АС на плоскость α.
Свойства перпендикуляра и наклонной:
Углом между наклонной и плоскость называется величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость:
Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой, проходящей в этой плоскости через основание наклонной:
Теорема про три перпендикуляра:
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной:
Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости:
Отрезок АВ – общий перпендикуляр прямой а и плоскости α.
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых ( a и b ) называется отрезок ( АВ ) с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Две скрещивающиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом только один.
Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых считается расстоянием между ними:
Плоскости в пространстве
Говорят, что две плоскости пересекаются, если в одной из них существуют точки как принадлежащие другой плоскости, так и не принадлежащие ей.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку:
Говорят, что две плоскости совпадают, если каждая точка одной плоскости является точкой другой, и наоборот:
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек:
Через точку вне плоскости можно провести плоскость параллельную данной и притом только одну.
Признак параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны:
Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
Длина некоторого отрезка выражает расстояние между двумя параллельными плоскостями, если этот отрезок является общим перпендикуляром этих плоскостей:
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.
Полуплоскости, о которых шла речь, называются гранями двугранного угла, а прямая – ребром двугранного угла:
α и β – грани, KL – ребро двугранного угла.
Все линейные углы данного двугранного угла совмещаются параллельным переносом и равны.
Мера линейного угла служит мерой и двугранного угла, которому этот линейный угол соответствует.
Линейные углы, соответствующие равным двугранным углам, равны. И наоборот: равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из мер двухгранных углов, образованных этими плоскостями.
Две плоскости называются перпендикулярными ( α⊥β ), если угол между ними равен 90°.
Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.
Если φ – величина угла между некоторыми двумя плоскостями, то
Признак перпендикулярности плоскостей:
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:
Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости:
Некоторые свойства прямых и плоскостей
Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны:
Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; более того, эта прямая образует с параллельными плоскостями равные углы:
Прямые, полученные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны между собой:
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:
радиан).
